樊仕松 劉強(qiáng)

摘 要：三視圖還原直觀圖的問題是高考必考內(nèi)容。然而在近幾年的教學(xué)中，感覺學(xué)生對(duì)三視圖的還原是越來越困難。這里筆者就三視圖還原的方法技巧淺談三視圖還原直觀圖的方法技巧。

關(guān)鍵詞：三視圖；直觀圖；方法

眾所周知，對(duì)于旋轉(zhuǎn)體；可根據(jù)三個(gè)視圖的點(diǎn)線位置直接想象還原；對(duì)于組合體，可以用拼接法還原；這兩種方法還原特定類型的三視圖，比較容易求解。但平時(shí)我們會(huì)遇到大量的棱錐，棱柱的三視圖的還原。這類問題對(duì)于空間想象能力要求較高，學(xué)生求解起來比較吃力。這類問題可以分為兩種類型：

1. 幾何體的底面水平朝下

底面水平朝下這一特征在三個(gè)視圖中顯示出來表現(xiàn)為正視圖和側(cè)視圖的底邊線段是水平的。所以通過正視圖和側(cè)視圖的底邊線段是否水平就可以大致判斷幾何體是否底面水平朝下。還原時(shí)可以從俯視圖尋找突破口，求解也相對(duì)容易。

2. 幾何體的底面非底面朝下

底面非水平朝下這一特征在三個(gè)視圖中顯示出來表現(xiàn)為正視圖和側(cè)視圖的底邊往往是點(diǎn)。所以正視圖和側(cè)視圖的朝下的形狀表現(xiàn)出來是點(diǎn)，則可以大致判斷幾何體底面并不是水平朝下。這類問題還原起來相對(duì)麻煩。從俯視圖入手顯然行不通。

對(duì)于第二種類型，筆者在這里展示一種非常有效的還原方法——切割描點(diǎn)法。下面對(duì)這種方法詳細(xì)描述。有幾點(diǎn)要加以說明：

首先，棱錐棱柱的還原，一般可以放在長（正）方體中來思考。視圖如果不是長（正）方形，我們就稱之為視圖有“缺失”。對(duì)于有缺失的視圖，如果頂點(diǎn)相對(duì)對(duì)邊處于中間位置或底邊相對(duì)對(duì)邊長度較短，我們就稱之為“一半”。

其次，視圖中虛實(shí)線的作用。虛實(shí)線實(shí)際上是幾何體棱投影的體現(xiàn)。實(shí)線是前面的棱的投影，虛線是被擋住的棱的投影，一般是處于幾何體沿投影線方形靠后的棱的投影。

最后，從投影方向上在長方體（正方體）根據(jù)某個(gè)視圖的外部輪廓線進(jìn)行切割，應(yīng)得到能產(chǎn)生視圖中的線面關(guān)系的最大幾何體。

由此得到“切割描點(diǎn)法”的步驟，通過下面的例題來說明：

例1 如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為（ ）

A. 22 B. 6

C. 3D. 23

第一步：切割

首先觀察三個(gè)視圖，從有“一半”的側(cè)視圖入手，在正方體ABCD-A1B1C1D1的左、右兩個(gè)側(cè)面上畫出相應(yīng)的左視圖形狀，即可得到能產(chǎn)生左視圖所有線面關(guān)系的最大的幾何體——三棱柱PDD1-QCC1，易見該三棱柱前面兩個(gè)斜面上面的和下面的部分（即棱錐PA1D1-QB1C1和棱錐PAD-QBC）被切除。這里把去掉的頂點(diǎn)用覆蓋，如圖1-1所示。

圖1-1

其次，從另一個(gè)有“缺失”的視圖入手。這里選擇從正視圖入手，只考慮得到外部輪廓線，從前后兩個(gè)側(cè)面上畫出相應(yīng)的正視圖的圖形，顯然該正方體對(duì)角面ADC1B1下方的部分被切除。故正方體右下方的頂點(diǎn)B需去掉，則得到如下圖1-2。

圖1-2

最后，從俯視圖入手，和前面過程一樣，在上下兩個(gè)側(cè)面上畫出輪廓線，則對(duì)角面ACC1A1前方的部分（即幾何體ABC-A1B1C1）需要切除，如此前面?zhèn)让嬗疫叺睦馍系捻旤c(diǎn)Q（即為該棱的中點(diǎn)）需去掉，如圖1-3。

圖1-3

第二步：描點(diǎn)

將正方體中剩下的頂點(diǎn)P、D、C1、D1描出，如圖1-4即可得到，該幾何體為一個(gè)三棱柱，標(biāo)記字母，即為三棱柱P-C1D1D（見圖1-5）。

圖1-4

圖1-5

第三步：檢驗(yàn)

對(duì)照三個(gè)視圖進(jìn)行檢驗(yàn)，完全吻合，故最長的棱長為PC1=12+22+22=3，故選C。

例2 還原下邊的三視圖。

第一步：切割

步驟參照例1，得到初步圖像2-1。

圖2-1

第二步：描點(diǎn)將點(diǎn)描出后，可得該幾何體為四棱錐A-BCDE（圖2-2）。

第三步：檢驗(yàn)

檢驗(yàn)三個(gè)視圖，發(fā)現(xiàn)左視圖不吻合。具體體現(xiàn)在虛實(shí)線沒有對(duì)上，由此可見，上述四棱錐的底面四邊形需要根據(jù)實(shí)線連接相應(yīng)對(duì)角線，如圖2-3。

圖2-2

圖2-3

該對(duì)角線實(shí)際上為幾何體的棱，只有投影方向前方的棱的投影才能是實(shí)線。這就意味著該底面另外兩個(gè)頂點(diǎn)B、D中，需要去掉一個(gè)，經(jīng)分析可知，需要去掉的頂點(diǎn)為B，如圖2-4所示。

這樣就得到的幾何體應(yīng)為一個(gè)三棱錐A-CDE，如圖2-5所示：進(jìn)行驗(yàn)證可知，該幾何體的三視圖完全吻合。

圖2-4

圖2-5

“切割描點(diǎn)法”步驟：

第一步：切割（從有缺失的圖形入手，尤其是有“一半”的視圖入手。）

第二步：描點(diǎn)（將最后保留的頂點(diǎn)描出。）

第三步：檢驗(yàn)（檢驗(yàn)三個(gè)視圖。到了這一步，可能出現(xiàn)虛實(shí)線不吻合的情況，這時(shí)應(yīng)該用下述的想法來操作：實(shí)線在所得幾何體沿投影方向的前方連，虛線在后方連。虛實(shí)線實(shí)際上是棱的投影的體現(xiàn)。故連起來之后，一般來說，有頂點(diǎn)要去掉，通過視圖分析所去掉的點(diǎn)，最后再進(jìn)行檢驗(yàn)。）

對(duì)于虛實(shí)線的應(yīng)用，可以用過下述例子來說明。

例3 某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體體積為 。

解析：三個(gè)視圖都沒有“缺失”，故而只能通過虛實(shí)線和輪廓線入手。需要在正方體中進(jìn)行考慮，實(shí)線在前方連，虛線在后方連，如圖3-1所示。

描出該幾何體（粗線部分），如圖3-2，經(jīng)計(jì)算可得，幾何體的體積為7。

圖3-1

圖3-2

還原三視圖可用的方法技巧歸納如下：

1. 根據(jù)三個(gè)視圖的點(diǎn)線位置直接想象還原，特別是旋轉(zhuǎn)體；

2. 拼接法還原組合體；

3. “切割描點(diǎn)法”還原較難想象的幾何體。

三視圖識(shí)別與還原幾何體關(guān)鍵在于有強(qiáng)大的空間想象能力，這個(gè)能力是數(shù)學(xué)科學(xué)核心素養(yǎng)之一。在培養(yǎng)空間想象能力的同時(shí)，掌握一定的還原技巧也是十分必要的。平時(shí)需要多觀察，多想象，多歸納，努力提升自己的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

筆者淺薄的探究希望為迷途中的學(xué)生起到一定的指導(dǎo)作用，不足之處，敬請指正。也希望有更多的同仁展現(xiàn)自己的好的方法，供大家欣賞學(xué)習(xí)。

作者簡介：

樊仕松，劉強(qiáng)，湖北省恩施土家族苗族自治州，湖北省巴東一中。