豈振華

在高中數(shù)學(xué)必修2“空間幾何體的直觀圖”這一節(jié)課后練習(xí)中，第3題利用斜二測畫法得到的：①三角形的直觀圖是三角形，②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形，③正方形的直觀圖是正方形，④菱形的直觀圖是菱形，以上結(jié)論正確的是（ ）。在傳統(tǒng)教學(xué)中，教師讓學(xué)生舉例，利用斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖，觀察，得出結(jié)論。采用這種方法，比較費(fèi)時，而且學(xué)生畫的是特例，不是任意的圖形。利用幾何畫板，可以任意改變平面圖形的形狀，相應(yīng)地平面圖形直觀圖的形狀發(fā)生變化；也可以任意改變平面圖形直觀圖的形狀，相應(yīng)地平面圖形的形狀發(fā)生變化。學(xué)生通過觀察，有了直觀感受，然后得出一般的結(jié)論。本文重點(diǎn)研究如何利用幾何畫板，通過任意改變平面圖形的形狀，來改變平面圖形直觀圖的形狀；通過任意改變平面圖形直觀圖的形狀，來改變平面圖形的形狀。

一、建立直角坐標(biāo)系xOy與水平放置的直角坐標(biāo)系x′O′y′

單擊“繪圖”菜單中的“定義坐標(biāo)系”。單擊文字工具，小手放到原點(diǎn)處，當(dāng)小手變黑時，雙擊鼠標(biāo)左鍵，標(biāo)簽輸入O，單擊“確定”。用同樣方法將數(shù)軸分別標(biāo)為x、y。單擊點(diǎn)工具，點(diǎn)放到x軸上，單擊鼠標(biāo)左鍵，將得到的點(diǎn)標(biāo)為O′。選中點(diǎn)O′，單擊“變換”菜單中的“標(biāo)記中心”，將點(diǎn)O′設(shè)置為中心。選中x軸，單擊“變換”菜單中的“旋轉(zhuǎn)”，輸入“45”，單擊“確定”。將旋轉(zhuǎn)后的直線標(biāo)記為y′.x′軸與x軸重合。

二、創(chuàng)建“斜二測畫法”變換

單擊點(diǎn)工具，點(diǎn)放到任意位置，單擊鼠標(biāo)左鍵，將得到的點(diǎn)標(biāo)為A1.選中點(diǎn)A1、x軸，單擊“構(gòu)造”菜單中的“垂線”。箭頭放到垂線與x軸的交點(diǎn)處，當(dāng)箭頭變?yōu)闄M向箭頭時，單擊鼠標(biāo)左鍵，得到垂線與x軸的交點(diǎn)，標(biāo)記為B1.將點(diǎn)B1設(shè)置為中心。選中點(diǎn)A1，單擊“變換”菜單中的“縮放”，系統(tǒng)默認(rèn)縮放1/2，單擊“縮放”，將縮放后的點(diǎn)標(biāo)為C1.選中點(diǎn)C1，單擊“變換”菜單中的“旋轉(zhuǎn)”，輸入“- 45”，單擊“旋轉(zhuǎn)”，將旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)標(biāo)為D1.依次選中點(diǎn)O、O′，單擊“變換”菜單中的“標(biāo)記向量”，將OO′設(shè)置為平移向量。選中點(diǎn)D1，單擊“變換”菜單中的“平移”，單擊“平移”。將平移后的點(diǎn)標(biāo)為A1′.點(diǎn)A1′就是利用斜二測畫法點(diǎn)A1的直觀圖。依次選中點(diǎn)A1、A1′，單擊“變換”菜單中的“創(chuàng)建自定義變換”，輸入“斜二測畫法”，單擊“確定”。選中點(diǎn)A1、B1、C1、D1、A1′，x軸的垂線，單擊“顯示”菜單中的“隱藏對象”。

三、創(chuàng)建“反斜二測畫法”變換

構(gòu)造任意點(diǎn)A2′.選中點(diǎn)A2′、y′軸，單擊“構(gòu)造”菜單中的“平行線”。作平行線與y′軸的交點(diǎn)，標(biāo)為B2′.將點(diǎn)B2′設(shè)置為中心。選中點(diǎn)A2′，單擊“變換”菜單中的“縮放”，分子輸入“2”，分母輸入“1”，單擊“縮放”，將縮放后的點(diǎn)標(biāo)為C2′.選中點(diǎn)C2′，單擊“變換”菜單中的“旋轉(zhuǎn)”，輸入“45”，單擊“旋轉(zhuǎn)”，將旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)標(biāo)為D2′。依次選中點(diǎn)O′、O，單擊“變換”菜單中的“標(biāo)記向量”。選中點(diǎn)D2′，單擊“變換”菜單中的“平移”，單擊“平移”，將平移后的點(diǎn)標(biāo)為A2。點(diǎn)A2就是利用斜二測畫法，直觀圖為點(diǎn)A2′對應(yīng)的平面圖形。依次選中點(diǎn)A2′、A2，單擊“變換”菜單中的“創(chuàng)建自定義變換”，輸入“反斜二測畫法”，單擊“確定”。隱藏點(diǎn)A2′、B2′、C2′、D2′、A2，y′軸平行線。

四、通過任意改變平面圖形的形狀，來改變平面圖形直觀圖的形狀

以平行四邊形為例，作任意點(diǎn)A3、B3、C3，依次選中點(diǎn)B3、C3，單擊“變換”菜單中的“標(biāo)記向量”。選中點(diǎn)A3，單擊“變換”菜單中的“平移”，單擊“平移”，將平移后的點(diǎn)標(biāo)為D3.單擊線段直尺工具，連接A3B3、B3C3、C3D3、D3A3.選中平行四邊形A3B3C3D3，單擊“變換”菜單中的“斜二測畫法”，得到利用斜二測畫法平行四邊形的直觀圖，頂點(diǎn)分別標(biāo)為A3′、B3′、C3′、D3′.用箭頭分別拖動點(diǎn)A3、B3、C3，任意改變平行四邊形A3B3C3D3的形狀，觀察平行四邊形直觀圖的形狀。通過觀察可以發(fā)現(xiàn)：利用斜二測畫法，平行四邊形的直觀圖還是平行四邊形（圖1）。觀察平行四邊形的對邊可以發(fā)現(xiàn)：相等的線段在直觀圖中仍然相等；若兩條線段平行，則在直觀圖中對應(yīng)的兩條線段仍然平行。觀察平行四邊形的對角可以發(fā)現(xiàn)：角的水平放置的直觀圖一定是角，相等的角在直觀圖中仍然相等。

五、通過任意改變平面圖形直觀圖的形狀，來改變平面圖形的形狀

以正方形為例，作任意點(diǎn)A4′、B4′，將點(diǎn)A4′設(shè)置為中心。選中點(diǎn)B4′，單擊“變換”菜單中的“旋轉(zhuǎn)”，輸入“90”，單擊“旋轉(zhuǎn)”，將旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)標(biāo)為D4′.將點(diǎn)B4′設(shè)置為中心。選中點(diǎn)A4′，單擊“變換”菜單中的“旋轉(zhuǎn)”，輸入“-90”，單擊“旋轉(zhuǎn)”，將旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)標(biāo)為C4′.單擊線段直尺工具，連接A4′B4′、B4′C4′、C4′D4′、D4′A4′.選中正方形A4′B4′C4′D4′，單擊“變換”菜單中的“反斜二測畫法”，得到直觀圖A4′B4′C4′D4′對應(yīng)的平面圖形，頂點(diǎn)分別標(biāo)為A4、B4、C4、D4.用箭頭分別拖動點(diǎn)A4′、B4′，任意改變直觀圖A4′B4′C4′D4′的形狀，觀察平面圖形A4B4C4D4的形狀。通過觀察可以發(fā)現(xiàn)：利用斜二測畫法，直觀圖是正方形，對應(yīng)的平面圖形不是正方形，是平行四邊形（圖2）。

（作者單位 山西省晉中市左權(quán)中學(xué)校）