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(南京市第二十九中學(xué),江蘇 南京 210036)

●張?jiān)骑w

(南京市第十二中學(xué),江蘇 南京 210011)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡(jiǎn)稱(chēng)《新課標(biāo)》)指出：高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.這6個(gè)素養(yǎng)既相互獨(dú)立、又相互交融，是一個(gè)有機(jī)的整體.章建躍博士曾指出：核心素養(yǎng)是在復(fù)雜情景中解決問(wèn)題的能力和品格，是個(gè)體與情景的持續(xù)活動(dòng)中通過(guò)不斷解決問(wèn)題、創(chuàng)生意義而形成的.同樣地，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成是以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，以數(shù)學(xué)活動(dòng)為路徑而實(shí)現(xiàn)的.

面對(duì)高三較難習(xí)題的教學(xué)，作為一線教師在平時(shí)的教學(xué)中不僅要認(rèn)真體會(huì)和感悟《新課標(biāo)》帶來(lái)的變化，更應(yīng)該思考：如何在高三的習(xí)題教學(xué)課堂中落實(shí)核心素養(yǎng)，如何讓以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的高三數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)課堂更高效？那就是要教會(huì)學(xué)生思考.學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，一定要讓學(xué)生的思維“活”起來(lái)，提倡獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等多種學(xué)習(xí)方式，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性.同時(shí)，教師要適時(shí)給予學(xué)生引導(dǎo)和幫助，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，讓學(xué)生高度參與課堂、融入課堂，培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題并分析和解決問(wèn)題的能力，感受數(shù)學(xué)化的過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)課所帶來(lái)的數(shù)學(xué)“味”，那就是“思維”.只有教會(huì)學(xué)生思考，才能讓學(xué)生達(dá)到“深度”學(xué)習(xí)，才能讓學(xué)習(xí)“真正”發(fā)生，才會(huì)讓核心素養(yǎng)落到實(shí)處.下面結(jié)合一道高三模考試題的解析，談?wù)剶?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí).

1 案例呈現(xiàn)

作為填空壓軸題,它究竟難在哪里，它反映的是哪一類(lèi)問(wèn)題，你會(huì)選擇哪種方式化解這類(lèi)問(wèn)題的難點(diǎn)，題目中能否找到一些具有暗示作用的信息，你是否使用了題目中所有的條件，各個(gè)條件之間的關(guān)系是否存在一定的關(guān)聯(lián)，如何自然地幫助和指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題……通過(guò)這些問(wèn)題的分析和講評(píng)，教會(huì)學(xué)生思考，讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考.

2 解法探究

解法1取AC的中點(diǎn)，化不等為相等.

圖1

從而

又P為線段BC上任意一點(diǎn)，且恒有

從而

PD2≥P0D2.

tan(∠BAF+∠CAF)=-3，

因此

解之得

故

對(duì)于該題難點(diǎn)的突破，教師在講評(píng)時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生從以下3個(gè)方面進(jìn)行嘗試.

嘗試1聯(lián)想極化恒等式.

由 (a+b)2=a2+2a·b+b2,

(1)

學(xué)生自然會(huì)聯(lián)想到

(a-b)2=a2-2a·b+b2,

(2)

式(1)+式(2)，得

(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2),

(3)

式(1)-式(2)，得

(4)

師：你能從幾何的視角刻畫(huà)式(3)和式(4)嗎？

嘗試2聯(lián)想向量的投影.

對(duì)于難點(diǎn)的突破，學(xué)生最有可能想到的是向量數(shù)量積的定義，即

師：下一步如何思考？

對(duì)學(xué)生而言，這是一個(gè)思維上的挑戰(zhàn)，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考、敢于嘗試.他們可能?chē)L試使用余弦定理，遇到障礙時(shí)教師應(yīng)適時(shí)給予提示，讓學(xué)生“以退求進(jìn)”也許會(huì)有新的發(fā)現(xiàn).教師要學(xué)會(huì)等待，給學(xué)生思考的時(shí)間和空間，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程，深化對(duì)概念的理解，才能達(dá)到對(duì)知識(shí)的靈活應(yīng)用.

讓學(xué)生回歸課本，復(fù)習(xí)蘇教版《數(shù)學(xué)(必修4)》第77頁(yè)的鏈接“向量b在向量a方向上的投影”，會(huì)為該題的求解帶來(lái)全新的想法：如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，設(shè)∠APC=α，當(dāng)點(diǎn)P在線段CF上時(shí)，

即

高三的復(fù)習(xí)不是簡(jiǎn)單的重復(fù)，而是在原有的基礎(chǔ)上對(duì)知識(shí)再開(kāi)發(fā)、再認(rèn)識(shí)、再提高和再應(yīng)用的過(guò)程.課本是復(fù)習(xí)的首要資料，不但要細(xì)致而且要做到全面不留死角，通過(guò)復(fù)習(xí)讓學(xué)過(guò)的知識(shí)連成線、結(jié)成網(wǎng)，打通各知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系，不斷為學(xué)生創(chuàng)造探究的點(diǎn)，能夠在原有認(rèn)知的基礎(chǔ)上提升學(xué)生的元認(rèn)知水平.

嘗試3聯(lián)想向量數(shù)量積圓.

x2+y2-cx=λ，

即

圖2

為什么會(huì)想到隱圓⊙D，是如何想到的，還存在哪些與向量相關(guān)的隱圓……這些設(shè)問(wèn)都是教師為學(xué)生創(chuàng)設(shè)的探究背景，啟發(fā)其思路，進(jìn)而探究規(guī)律.另外，教師要注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合，實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)教學(xué)手段難以達(dá)到的效果，從而得以轉(zhuǎn)變教學(xué)與學(xué)習(xí)的方式.比如，借助幾何畫(huà)板對(duì)隱圓⊙D的動(dòng)態(tài)分析，可以把原本很抽象的知識(shí)變得直觀形象，更易于學(xué)生理解和接受.在這個(gè)難點(diǎn)突破的過(guò)程中，讓學(xué)生下意識(shí)地積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而促進(jìn)學(xué)生思維能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展，也為培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)奠定基礎(chǔ).

圖3

解法2建立直角坐標(biāo)系.

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)、AC所在的直線為x軸建立如圖3所示的平面直角坐標(biāo)系xAy，由tanA=-3易得直線AB的方程為y=-3x(其中x≤0).設(shè)B(x0,-3x0),C(a,0)，由

得

即

(x0-a,-3x0)=3(x1-a,y1)，

從而

因?yàn)镻0D⊥BC，所以

即

又

解之得

解法3建立斜坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解.

圖4

又由S△ABC=1，得

(5)

由P為線段BC上任意一點(diǎn)，且恒有

(6)

(7)

聯(lián)立式(5)和式(7)，得

3 探根尋源

( )

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C.AC=ABD.AC=BC

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第7題)

例1來(lái)源于例2的改編，教師要揣摩命題者的意圖以及該題所要考查的內(nèi)容，如通過(guò)該題的考查需要達(dá)到什么樣的目標(biāo)，要解決這個(gè)問(wèn)題需要學(xué)生掌握哪些知識(shí)和技能，為了更好地解決這個(gè)問(wèn)題是否要作一些知識(shí)的拓展.建議教師可以先讓學(xué)生自己研究例2，讓學(xué)生思考：考查的是什么內(nèi)容、切入點(diǎn)是什么、難點(diǎn)是什么、采取何種方式破解難點(diǎn)、滲透了哪些數(shù)學(xué)思想和方法、是否存在求解問(wèn)題的通性通法等.教師精心備課，設(shè)計(jì)好問(wèn)題，才能讓學(xué)生經(jīng)歷探索和發(fā)現(xiàn)的過(guò)程并學(xué)會(huì)思考.

4 案例反思

數(shù)學(xué)的6個(gè)核心素養(yǎng)不是孤立的，而是相互聯(lián)系和滲透的一個(gè)整體，是通過(guò)學(xué)生學(xué)習(xí)而逐步形成的正確價(jià)值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力.數(shù)學(xué)課堂為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí)提供了必備的環(huán)境，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要體現(xiàn)4個(gè)方面：情景與問(wèn)題、知識(shí)與技能、思維與表達(dá)、交流與反思.只有教會(huì)學(xué)生如何思考問(wèn)題，才能更好地踐行核心素養(yǎng)，才能真正地將核心素養(yǎng)落在實(shí)處.

4.1 關(guān)注“四基”，提升核心素養(yǎng)

“四基”(即基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn))是《新課標(biāo)》的課程目標(biāo)之一，“四基”是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的基石，是獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)和實(shí)現(xiàn)“四能”的必備能力，也是突破較難習(xí)題所具有的關(guān)鍵能力.俗話(huà)說(shuō)：基礎(chǔ)不牢，地動(dòng)山搖.只有扎實(shí)地構(gòu)筑和鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，并掌握解決問(wèn)題的常規(guī)方法和技巧，才能在一題多解中培養(yǎng)學(xué)生的選擇能力和對(duì)新問(wèn)題的把控能力，才能教會(huì)學(xué)生思考.

4.2 問(wèn)題“引領(lǐng)”，教會(huì)學(xué)生思考

美國(guó)數(shù)學(xué)家哈爾莫斯曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：?jiǎn)栴}是數(shù)學(xué)的心臟，是數(shù)學(xué)思想的源泉，是數(shù)學(xué)思維的動(dòng)力.要想讓學(xué)生的思維得到持續(xù)性發(fā)展，就必須培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，進(jìn)而提升學(xué)生提出問(wèn)題的能力，更重要的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考.

怎樣才能較好地引領(lǐng)學(xué)生思考呢？比如對(duì)于較難的習(xí)題，一定要找到學(xué)生的痛點(diǎn)是什么、如何將難點(diǎn)進(jìn)行分解、如何將學(xué)生思維的“痛點(diǎn)”變成他們探究的“興奮點(diǎn)”……這不僅需要學(xué)生有扎實(shí)的基本功，更需要教師的問(wèn)題引領(lǐng)，用好提示語(yǔ)引導(dǎo)學(xué)生思考，比如它是一類(lèi)什么問(wèn)題、要求或要證的目標(biāo)是什么、這個(gè)目標(biāo)究竟指的是什么意思、要解決這個(gè)問(wèn)題需要什么材料、材料是直接的還是間接的、如何用數(shù)學(xué)的方式呈現(xiàn)這些材料、為什么這樣想、為什么這么做、你是怎么想到的、你是否還有其他的想法等.鼓勵(lì)學(xué)生去不斷嘗試，不要害怕失敗，只有堅(jiān)持才能取得成功.如果學(xué)生離開(kāi)了教師也能這么想問(wèn)題的話(huà)，那么他才真正學(xué)會(huì)了思考.

問(wèn)題的設(shè)置要符合學(xué)生的認(rèn)知水平，要有針對(duì)性、遞進(jìn)性、開(kāi)放性和挑戰(zhàn)性，讓學(xué)生的心靈產(chǎn)生共鳴，理解問(wèn)題的本質(zhì).教會(huì)學(xué)生思考，其實(shí)就是學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察問(wèn)題、用數(shù)學(xué)的思維思考問(wèn)題、用數(shù)學(xué)的方式表達(dá)問(wèn)題，是否學(xué)會(huì)思考是檢驗(yàn)核心素養(yǎng)是否有效的方式，因此，教會(huì)學(xué)生思考比純粹教給學(xué)生方法更重要.

總而言之，教會(huì)學(xué)生思考，教師要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)適宜學(xué)生的教學(xué)情境，讓學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)、比較的方法深度思考，提升學(xué)生的思維力，實(shí)現(xiàn)高效和精準(zhǔn)教學(xué)，從而真正將核心素養(yǎng)落到實(shí)處.