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(吳縣中學,江蘇 蘇州 215151)

所謂的聯(lián)想就是在頭腦中由一種已知了解的事物想到另一種事物的心理過程.由于高中數(shù)學較之于其他學科有著獨有的特點，在教學過程中通過適當?shù)穆?lián)想，能夠喚起學生對已學知識的加速認識，同時也能夠?qū)ξ粗獌?nèi)容通過現(xiàn)有的認知過程和經(jīng)驗，類比推理出知識脈絡(luò)或解題思路，從而理清知識間的內(nèi)在聯(lián)系.因此，培養(yǎng)學生的數(shù)學聯(lián)想對于數(shù)學教學、數(shù)學解題很有必要.

教師教學要面對幾十名甚至上百名思維有差異的學生，如果千篇一律地使用一種解題思路，那么很難滿足所有的學生.更何況學生的想法、思路比較“跳躍”，方式多樣，教師如果固定使用某一類教學方式、解題模式，不僅不能達到有效的教學目的，同時還可能制約學生的思維發(fā)展，長此以往進行類似的教學則不利于拓寬學生的解題思路.因此教師在教學過程中要鼓勵學生多多發(fā)言，無論其思路的對與錯、簡與繁，都不能簡單肯定與否定，要教會其分析其中的“閃光點”或“瑕疵”[1].

筆者結(jié)合平時的教學，從等式結(jié)構(gòu)聯(lián)想、數(shù)與形的聯(lián)想、構(gòu)造圖像的聯(lián)想、解題通法的聯(lián)想、講授新知的聯(lián)想等5個方面，談?wù)剶?shù)學聯(lián)想教學對提升學生思維能力、促進學生解題能力的重要性.

1 等式結(jié)構(gòu)的聯(lián)想，串聯(lián)不同“知識板塊”

在數(shù)學解題過程中常常能見到一些已知等式，僅僅通過一些常規(guī)的處理方式，題目是不能得到解決的，需要通過一定的聯(lián)想，轉(zhuǎn)換解題視角，將已有的條件變換為學生所熟悉的知識情形或已經(jīng)解決過的數(shù)學問題，從而串聯(lián)不同的“知識板塊”，達到“跨界”解題的目的.

解法1(不等式視角)由a+b+c=0且a>b>0,可得

a+a+c>a+b+c>a+c+a,

從而

2a+c>a+2c,

于是

消元構(gòu)造齊次式,得

亦即

數(shù)學解題需要站在多元化的視角進行觀察、分析，若只是局限在一個解題思路中，無論是自行獨立研究的結(jié)果還是被告知的解法，則都會存在認識的局限性；若能從不同的角度去觀察問題，則會得到多樣化的解題思路.一道好的數(shù)學題，往往入口很寬，渠道很多，上述問題從表面上看是以不等式為背景，實則通過轉(zhuǎn)化、遷移等方式，綜合考查了解析幾何中的點到直線的距離公式、直線的斜率等知識點.學生如果死盯著基本不等式，那是無濟于事的，出題者的意圖也是希望學生通過扎實的數(shù)學功底和轉(zhuǎn)化技巧，將問題輕松解決.教師要重視訓練學生的思維，這樣才能透徹地理解、看清問題的本質(zhì)，也有利于培養(yǎng)學生的解題能力、提升數(shù)學思維能力，這也是數(shù)學核心素養(yǎng)形成的必經(jīng)之路.

2 數(shù)與形的聯(lián)想，提升思維簡化運算

數(shù)學歸根結(jié)底是研究數(shù)與形的學科，數(shù)形結(jié)合也成了高中數(shù)學中最重要的思想方法之一.

(2018年上海市數(shù)學高考試題第12題)

圖1

當然，這就需要教師在平日的教學中多多放手讓學生去嘗試，學生平時如果不去思考，那么當其獨自解題時，就算給了時間讓他們思考，學生也不知從何入手，只能像只“無頭蒼蠅到處亂撞”，就算偶爾找到了解題方法，也只能說是“瞎貓碰到死耗子”，并非必然，學生實際的解題能力并沒有得到提高.

換言之，數(shù)學解題中需要聯(lián)想，但是也要求學生觀察問題的高度要高一些，從不同的角度來觀察問題，通過適當?shù)霓D(zhuǎn)化將原有問題背景進行遷移，轉(zhuǎn)變?yōu)榱硗獾臄?shù)學“模塊”，從而找到解題的切入口.

3 構(gòu)造圖像的聯(lián)想，深挖問題的本質(zhì)

數(shù)學學科中的核心素養(yǎng)之一：直觀想象，其主要表現(xiàn)就是需要學生建立形與數(shù)的聯(lián)系.學生在解題中如遇到結(jié)構(gòu)熟悉的等式往往可以通過構(gòu)造圖形，將“已有的數(shù)”與“構(gòu)造的形”相結(jié)合，增強運用幾何直觀來思考數(shù)學問題的意識.

例3已知a,b∈R+,a2+b2-ab=3,則2a+b的最大值是______.

a=2sinA,b=2sinB,

從而 2a+b= 4sinA+2sinB=

4sinA+2sin(120°-A)=

類似的題型在高中數(shù)學競賽中也時常出現(xiàn)，例如：

(2018年陜西省高中數(shù)學聯(lián)賽試題第9題)

分析由已知的3個等式可構(gòu)造余弦定理

S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC,

即

亦即

xy+xz+yz=4.

再將已知3個等式相加，可得

2x2+2y2+2x2+xy+zx+yz=14，

從而

x2+y2+z2=5，

(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2zx+2yz=13,

故

數(shù)學解題方法是平日技巧的積累,數(shù)學思想則是解題方法的升華.解決數(shù)學問題的核心就是數(shù)學思想方法，學習數(shù)學知識同樣也需要數(shù)學思想.在平日的教學中，教師應(yīng)該積極引導學生自主去聯(lián)想數(shù)學思想，讓學生站在較高的平臺上去研究數(shù)學問題，思考數(shù)學解題方向，這樣學生的思維能力才能得到充分的開發(fā)與提升，從而解決數(shù)學問題就變得簡單、自然、順暢.

4 解題通法的聯(lián)想，少走彎路“直奔主題”

聯(lián)想不僅局限在陌生題目上，對于結(jié)構(gòu)類似的題目也可通過聯(lián)想尋找到解題的通性通法，上面的案例往往是“由式想形”，通過已知的等式聯(lián)想到解析幾何的距離、方程等，也有很多高考題通過圖像結(jié)合已知條件，讓學生“由形到式”找出相應(yīng)值之間的關(guān)系，從而解決相關(guān)問題.

圖2

例5如圖2，在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的角平分線交AC于點D,且BD=1,則4a+c的最小值為______.

(2018年江蘇省數(shù)學高考試題第13題)

江蘇省數(shù)學高考已經(jīng)多次考到了利用建系處理向量數(shù)量積的問題.本題雖然并非考查向量數(shù)量積，但此圖形與之前向量問題的處理方法如出一轍，都可以通過建系來作為解題突破口.建系后本題所有點的坐標都能通過a,c來表示，再利用點A,C,D共線得到a,c之間的關(guān)系，找到解題的突破口，從而下面的解題就變得水到渠成了.

圖3

在高三課堂教學中，教師肯定講了很多有關(guān)建系的題目，但大多數(shù)題目解決的方案都是“硬塞給”學生，學生缺乏自主體驗和尋求解題思路的機會，因此教師更需要讓學生通過比較分析、總結(jié)反思出解決類似題目的“套路”.

“習慣成自然”，學生要養(yǎng)成好的思維習慣，教師也有必要幫助學生養(yǎng)成良好的學習習慣.好的解題習慣會讓學生在不知不覺中形成好的解題思路，如上面涉及的向量、三角建系坐標化.正所謂：題勿需多，經(jīng)典即可；法勿需雜，適用就行.

5 講授新知識聯(lián)想，類比新舊知識學習過程

課堂教學中教師不可能解決所有的問題、講遍所有的方法，而應(yīng)該注重通過解決一類問題的方法，經(jīng)過適當修正后“嫁接”到其他問題上面，這就是我們口中的聯(lián)想遷移.這也是學生在學習新知識中所需要的一種重要的能力，由已有的知識學習過程類比推理出新知識的內(nèi)容及研究過程.

數(shù)學中的創(chuàng)造性需要聯(lián)想，數(shù)學新知識的發(fā)現(xiàn)活動往往以猜想的形式呈現(xiàn).聯(lián)想、想象能使人開拓嶄新的思路，開創(chuàng)新的探索方向和研究領(lǐng)域，提出新的假設(shè)和理論.從舊的方向看新的問題，需要有創(chuàng)造性的想象、聯(lián)想能力.

例如，學習向量的加法運算時，教師教學可以通過讓學生感受“數(shù)學是充滿聯(lián)系的，并不是孤立的”入手，要讓學生用聯(lián)系、對比的目光來觀察和研究新的知識.教師可以讓學生回憶數(shù)的研究順序：概念、運算、運算律、應(yīng)用……因此，類比、聯(lián)想向量的學習我們也應(yīng)該選擇類似的過程，首先研究加法，從而引出所要學習的新內(nèi)容，讓一切順理成章，自然過渡.

可是現(xiàn)在大部分的課堂教學都是輕視概念本身，而注重過度練習.很多教師在概念教學上不舍得花時間，導致學生的概念生成是被動的，錯題訂正也是被教師“牽著鼻子”走，解題也是進入了機械式的模仿，自己往往沒有“自主選擇”權(quán).長期這樣的教學會讓學生對于題目本質(zhì)的理解、問題所考查的方向不明確，導致在問題思路選擇上出現(xiàn)偏差.因此現(xiàn)階段教師有必要讓學生更多地參與到教學中來，讓其真正成為課堂的主人.

要提升學生數(shù)學的聯(lián)想能力，需要教師通過正確的引導，使學生習慣從不同的方向、視角、高度重新審視問題.若遇到解題障礙，則迂回前行，摸索新的解題套路，形成方法，從中提煉思想，總結(jié)經(jīng)驗，完善解題過程，從而達到提升素養(yǎng)的目的.

奧蘇貝爾曾經(jīng)說過：“教育的本質(zhì)是當學生忘卻所學內(nèi)容后依然能夠保存下來的東西.”這也是我們教育的本源，課堂上教學生的新知識，并不是為了知識的本身，更多的是為了幫助學生找到掌握知識的方法，完善和優(yōu)化學習過程，在這過程中沉淀出更高品質(zhì)的數(shù)學核心素養(yǎng)，將數(shù)學應(yīng)用到實際生活中，激發(fā)學生對學習的興趣.

數(shù)學聯(lián)想能力的培養(yǎng)，不僅可以培養(yǎng)學生形成良好的學習習慣、掌握數(shù)學各個知識板塊內(nèi)的相互聯(lián)系、抓住數(shù)學問題的本質(zhì)內(nèi)容、領(lǐng)悟數(shù)學學科的價值所在，同時還能讓學生對數(shù)學思想方法的理解更加深刻，真正地讓數(shù)學核心素養(yǎng)在數(shù)學課堂上生根發(fā)芽.