鄒兆貴
(長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡濱江中學(xué) 湖南 長(zhǎng)沙 410013)
高中物理教學(xué)當(dāng)中,經(jīng)常會(huì)遇到求物塊沿斜面下滑所用時(shí)間的問題.通常斜面固定不動(dòng),由牛頓運(yùn)動(dòng)定律能夠快速求解物塊沿斜面下滑的加速度,從而求出下滑所用時(shí)間.鮮見針對(duì)斜面不固定時(shí)(斜面與水平面存在摩擦)物塊沿斜面下滑所用時(shí)間的問題,本文就此做一般論述.
如圖1所示,一質(zhì)量為M的斜面靜止在水平面上,斜面傾角為θ,斜面總長(zhǎng)為L(zhǎng),M與水平面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ.把一質(zhì)量為m的物塊從斜面頂端無初速度釋放(物塊與斜面之間接觸面光滑),求物塊經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間t滑到斜面底端.(假設(shè)斜面與水平面之間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力)
圖1 題圖
如圖2所示,設(shè)物塊從斜面頂端下滑到圖2所示位置時(shí)刻,斜面的水平加速度大小為a1,斜面對(duì)物塊的支持力為Fn.物塊對(duì)斜面的壓力為Fn1,水平地面對(duì)斜面的滑動(dòng)摩擦力為Ff.地面對(duì)斜面的支持力為Fn2.以水平面作參考的慣性系中,對(duì)斜面,水平方向上有
Fn1sinθ-Ff=Ma1
(1)
豎直方向上有
Fn1cosθ+Mg=Fn2
(2)
由滑動(dòng)摩擦力公式知
Ff=μFn2
(3)
圖2 分析圖
對(duì)物塊,以斜面作參考的非慣性系中,物塊相對(duì)于斜面的加速度方向沿斜面向下,用a2表示物塊相對(duì)于斜面的加速度,引入慣性力-ma1,對(duì)物塊,沿斜面方向
mgsinθ+ma1cosθ=ma2
(4)
垂直斜面方向
ma1sinθ+Fn-mgcosθ=0
(5)
由牛頓第三定律知
Fn=Fn1
(6)
由式(5)得
Fn=mgcosθ-ma1sinθ
(7)
把式(6)、式(7)代入式(2)得
Fn2=mgcos2θ-ma1sinθcosθ+Mg
(8)
把式(3)、(6)、(7)、(8)代入式(1)得
mgcosθsinθ-ma1sin2θ-
μ(mgcos2θ-ma1sinθcosθ+Mg)=Ma1
(9)
由式(9)得
(10)
把式(10)代入式(4)得
(11)
當(dāng)μ,g,θ,m,M均為定值時(shí),由式(11)易知a2為定值,故物塊相對(duì)斜面沿斜面向下做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng).在以斜面作參考的非慣性系中,對(duì)物塊,由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式知
(12)
聯(lián)立式(11)、式(12)得
(13)
設(shè)斜面與水平面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ0時(shí),斜面相對(duì)于水平面剛好要滑動(dòng).此時(shí)a1=0,代入式(10)得
a1=0
斜面保持靜止,把a(bǔ)1=0代入式(4)得
a2=gsinθ
把a(bǔ)2=gsinθ代入式(12)得
物塊相對(duì)斜面下滑的加速度為
物塊下滑至斜面底端用時(shí)
特別地,當(dāng)μ=0時(shí)
計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[1~6]一致.
此時(shí)
物塊沿斜面下滑所用時(shí)間問題,關(guān)鍵在于求解物塊相對(duì)于斜面的加速度.斜面不固定時(shí)(斜面與水平地面存在摩擦),對(duì)物塊取非慣性系斜面作參考系,引入慣性力能夠方便求解物塊相對(duì)于斜面的加速度大?。祟悊栴}綜合涉及了受力分析、牛頓運(yùn)動(dòng)定律、慣性系與非慣性系,可以作為一個(gè)很好的研究非慣性系中物體相對(duì)運(yùn)動(dòng)的實(shí)例.