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        物塊沿斜面下滑時(shí)間問題探討

        2019-03-05 01:29:58鄒兆貴
        物理通報(bào) 2019年3期
        關(guān)鍵詞:支持力水平面物塊

        鄒兆貴

        (長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡濱江中學(xué) 湖南 長(zhǎng)沙 410013)

        高中物理教學(xué)當(dāng)中,經(jīng)常會(huì)遇到求物塊沿斜面下滑所用時(shí)間的問題.通常斜面固定不動(dòng),由牛頓運(yùn)動(dòng)定律能夠快速求解物塊沿斜面下滑的加速度,從而求出下滑所用時(shí)間.鮮見針對(duì)斜面不固定時(shí)(斜面與水平面存在摩擦)物塊沿斜面下滑所用時(shí)間的問題,本文就此做一般論述.

        1 問題描述

        如圖1所示,一質(zhì)量為M的斜面靜止在水平面上,斜面傾角為θ,斜面總長(zhǎng)為L(zhǎng),M與水平面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ.把一質(zhì)量為m的物塊從斜面頂端無初速度釋放(物塊與斜面之間接觸面光滑),求物塊經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間t滑到斜面底端.(假設(shè)斜面與水平面之間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力)

        圖1 題圖

        2 問題分析與解答

        如圖2所示,設(shè)物塊從斜面頂端下滑到圖2所示位置時(shí)刻,斜面的水平加速度大小為a1,斜面對(duì)物塊的支持力為Fn.物塊對(duì)斜面的壓力為Fn1,水平地面對(duì)斜面的滑動(dòng)摩擦力為Ff.地面對(duì)斜面的支持力為Fn2.以水平面作參考的慣性系中,對(duì)斜面,水平方向上有

        Fn1sinθ-Ff=Ma1

        (1)

        豎直方向上有

        Fn1cosθ+Mg=Fn2

        (2)

        由滑動(dòng)摩擦力公式知

        Ff=μFn2

        (3)

        圖2 分析圖

        對(duì)物塊,以斜面作參考的非慣性系中,物塊相對(duì)于斜面的加速度方向沿斜面向下,用a2表示物塊相對(duì)于斜面的加速度,引入慣性力-ma1,對(duì)物塊,沿斜面方向

        mgsinθ+ma1cosθ=ma2

        (4)

        垂直斜面方向

        ma1sinθ+Fn-mgcosθ=0

        (5)

        由牛頓第三定律知

        Fn=Fn1

        (6)

        由式(5)得

        Fn=mgcosθ-ma1sinθ

        (7)

        把式(6)、式(7)代入式(2)得

        Fn2=mgcos2θ-ma1sinθcosθ+Mg

        (8)

        把式(3)、(6)、(7)、(8)代入式(1)得

        mgcosθsinθ-ma1sin2θ-

        μ(mgcos2θ-ma1sinθcosθ+Mg)=Ma1

        (9)

        由式(9)得

        (10)

        把式(10)代入式(4)得

        (11)

        當(dāng)μ,g,θ,m,M均為定值時(shí),由式(11)易知a2為定值,故物塊相對(duì)斜面沿斜面向下做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng).在以斜面作參考的非慣性系中,對(duì)物塊,由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式知

        (12)

        聯(lián)立式(11)、式(12)得

        (13)

        設(shè)斜面與水平面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ0時(shí),斜面相對(duì)于水平面剛好要滑動(dòng).此時(shí)a1=0,代入式(10)得

        a1=0

        斜面保持靜止,把a(bǔ)1=0代入式(4)得

        a2=gsinθ

        把a(bǔ)2=gsinθ代入式(12)得

        物塊相對(duì)斜面下滑的加速度為

        物塊下滑至斜面底端用時(shí)

        特別地,當(dāng)μ=0時(shí)

        計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[1~6]一致.

        此時(shí)

        3 結(jié)束語

        物塊沿斜面下滑所用時(shí)間問題,關(guān)鍵在于求解物塊相對(duì)于斜面的加速度.斜面不固定時(shí)(斜面與水平地面存在摩擦),對(duì)物塊取非慣性系斜面作參考系,引入慣性力能夠方便求解物塊相對(duì)于斜面的加速度大?。祟悊栴}綜合涉及了受力分析、牛頓運(yùn)動(dòng)定律、慣性系與非慣性系,可以作為一個(gè)很好的研究非慣性系中物體相對(duì)運(yùn)動(dòng)的實(shí)例.

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