一、選擇題

1.A 2.C 3.D 4.C 5.D 6.D 7.B.A 9.D 10.C 11.B 12.B 13.D 14.C 5.A 16.D 17.C 18.A 19.C 20.C 1.C 22.A 23.C 24.C 25.B 26.B 7.A 28.C 29.B 30.D 31.C 32.C 3.B 34.D

二、填空題

三、解答題

55.(1)已知?jiǎng)狱c(diǎn)E到定點(diǎn)D(1,0)的距離等于點(diǎn)E到直線x=-1的距離,由拋物線的定義知E點(diǎn)的軌跡是以D(1,0)為焦點(diǎn),以x=-1為準(zhǔn)線的拋物線,故曲線C的方程為y2=4x。

(2)由題意可知直線l1,l2的斜率存在,傾斜角互補(bǔ),則斜率互為相反數(shù),且不等于零。

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線l1的方程為y=k(x-1)+2,k≠0;

直線l2的方程為y=-k(x-1)+2。

已知此方程一個(gè)根為1,故x1×1=

所以,直線A B的斜率為定值-1。

56.(1)設(shè)C(x0,y0),則由拋物線的定義得

所以p=2,拋物線的方程為x2=4y。

(2)因?yàn)閨BM|=|BN|,所以點(diǎn)B在線段MN的中垂線上。

設(shè)B(x1,y1),則M(x1-2,0),N(x1+2,0)。

此時(shí)x1=±22。

57.(1)設(shè)拋物線D的方程為x2=2p y

所以拋物線D的方程是x2=4y。

(2)設(shè)切線y-y0=k(x-x0),即k x-y+y0-k x0=0。

設(shè)兩切線斜率分別為k1,k2,則k1+k2

所以切線與x軸圍成的三角形面積S的最小值為32。

58.(1)由題意可設(shè)拋物線方程為x2=2p y,其準(zhǔn)線方程為

所以拋物線的方程為x2=4y。

(2)由(1)可得點(diǎn)M(4,4)。

設(shè)直線MD的方程為:y=k(x-4)+4。

設(shè)D(x1,y1),E(x2,y2),則xM·x1=1 6k-tu。

所以直線D E的方程為y-4(k-1)2=

故直線D E過定點(diǎn)(-4,8)。

設(shè)C(x1,y1),G(x2,y2),直線C G的方程為

因?yàn)镚為△A B C的重心,所以y1=y2。

60.(1)因?yàn)閽佄锞€C1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是,所以過焦點(diǎn)且在x軸上截距為2的

設(shè)點(diǎn)Q(xQ,yQ),N(xN,yN)。

解得p=2。

所以拋物線C1的方程為x2=4y。

(2)設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1＞0,2＜0),設(shè)過A點(diǎn)的切線方程為y-y1=1(x-x1),聯(lián)立拋物線方程x2=2p y,利用新的方程的判別式等于零,可得同理設(shè)過B點(diǎn)的切線的斜率為k2,解得k2=

因此,x1,x2是方程x2-2a x-4p2=0的兩根,則x1+x2=2a,x1x2=-4p2。

61.(1)易知F(1,0),設(shè)A B:x=λ y+1。

且由(1)知y1y2=-4,y1+y2=4λ。

代入①得:

|MN|≥4,僅當(dāng)λ=0時(shí),|MN|取最小值4。

綜上所述,|MN|的最小值是4。

故軌跡C的方程為y2=2x。

又t1≠t2,故t1t2=-1。

將t1t2=-1代入上式,可得(x+2)2+y2-2(t1+t2)y-4=0。

令y=0,則x=0或x=-4。

故以MN為直徑的圓被x軸截得的弦長為定值4。

63.(1)因?yàn)閳AN:(x+1)2+y2=2,所以圓心N為(-1,0),半徑r=2。

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),當(dāng)直線l的斜率為-1時(shí),設(shè)l的方程為y=-x+m,則:

(2)i)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),因?yàn)橹本€l是圓N的切線,所以l的方程為-1。與y2=x聯(lián)立,可得(y1+y2)+1=5-32≠0,不符合題意 。

i i)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k x+m,即k x-y+m=0(k≠0)。

因?yàn)辄c(diǎn)M和點(diǎn)N關(guān)于直線y=x對稱,所以M的坐標(biāo)為(0,-1)。

A(x1,y1),B(x2,y2)在直線y=k x+m上代入并化簡,得(1+k2)y1y2+(k2-m)·(y1+y2)+m2+k2=0。

綜上所述,存在滿足條件的直線,其方程為y=-x+1。