■江蘇省沭陽(yáng)高級(jí)中學(xué) 項(xiàng)敬磊

直線與拋物線的位置關(guān)系問(wèn)題,看似簡(jiǎn)單,卻變化萬(wàn)千。讓我們從一個(gè)簡(jiǎn)單的例題談起。

引例:過(guò)定點(diǎn)P(0,2)作直線l,使直線l與拋物線y2=4x有且只有一個(gè)公共點(diǎn),這樣的直線l共有____條。

分析:利用數(shù)形結(jié)合便可找到答案。

解:如圖1,過(guò)點(diǎn)P與拋物線y2=4x僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條:2條切線、1條與x軸平行的直線。

故答案為3。

評(píng)注:直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),要考慮相交于一點(diǎn)的情況,不要漏掉。

變式1:直線l:y=x-1與拋物線y2=4x是否相交?如果相交,試求兩交點(diǎn)之間的距離。

分析:可聯(lián)立直線方程與拋物線方程,消去y后得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程,通過(guò)考查判別式Δ的正負(fù)來(lái)判斷它們的位置關(guān)系。而對(duì)于本題,由于直線l:y=x-1過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)(1,0),故直線l與拋物線必相交。

解:因?yàn)橹本€l:y=x-1過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F(1,0),所以直線l與拋物線必相交。

設(shè)交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2)。

圖1

設(shè)A、B兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為|A A′|、|B B′|,則:

評(píng)注:在拋物線中過(guò)焦點(diǎn)的弦稱為“焦點(diǎn)弦”。拋物線的定義本身也是拋物線最本質(zhì)的性質(zhì),在求焦點(diǎn)弦長(zhǎng)時(shí)起著至關(guān)重要的作用。

變式2:若直線l:y=k x-2交拋物線y2=8x于A、B兩點(diǎn),且A B的中點(diǎn)為M(2,y0),求y0及弦A B的長(zhǎng)。

分析:對(duì)A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)而不求,進(jìn)而利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式|xA-xB|來(lái)求y0及弦A B的長(zhǎng)。

解:把y=k x-2代入y2=8x,得:

k2x2-(4k+8)x+4=0。

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)。

因?yàn)锳 B中點(diǎn)為M(2,y0),所以x1+x2=4,即,解得k=2或k=-1。

又Δ=1 6k2+6 4k+tu-1 6k2＞0,則k＞-1,k=2。

此時(shí)直線的方程為y=2x-2。

因?yàn)镸(2,y0)在直線上,所以y0=2。

評(píng)注:拋物線弦的中點(diǎn)坐標(biāo)和方程的兩根之和的密切聯(lián)系是解決中點(diǎn)弦問(wèn)題的關(guān)鍵,方程思想也是解析幾何的核心思想。

變式3:(1)已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)為F(1,0),直線l與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn)。若A B的中點(diǎn)為(2,2),則直線l的方程為____。

(2)過(guò)拋物線y2=x上的點(diǎn)A(4,2)作傾角互補(bǔ)的兩條直線A B、A C,交拋物線于B、C,則直線B C的斜率為____。

分析:(1)直線l過(guò)點(diǎn)(2,2),故要求直線直線l的方程,只需求直線l的斜率。又(2,2)是弦A B的中點(diǎn),故宜采用點(diǎn)差法。(2)本小題雖未涉及弦的中點(diǎn),但A,B,C三點(diǎn)都在拋物線上,并探究的是三條弦的斜率關(guān)系,故也宜采用點(diǎn)差法。

解:(1)因?yàn)閽佄锞€C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)為F(1,0),所以,拋物線的方程為y2=4x。

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有y1+y2=

①-②得:

所以直線l的斜率為1,且過(guò)點(diǎn)(2,2),直線方程為y-2=x-2,即y=x。

(2)設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),代入拋物線的方程得:

①②兩式作差整理得:

①③兩式作差整理得:

又因?yàn)閗AC=-kAB,所以整理得y1+y2=-4。

評(píng)注:在拋物線y2=2m x(m≠0)中,若直線l與拋物線相交于M、N兩點(diǎn),點(diǎn)P(x0,y0)是弦MN的中點(diǎn),弦MN所在的直線l的斜率為kMN,則kMN·y0=m。利用這個(gè)結(jié)論解有關(guān)問(wèn)題,可以大大減少運(yùn)算量。