張海濤

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山西大同 037009）

行列式的出現(xiàn)已有300余年歷史,它的大多數(shù)功能在當(dāng)今線性代數(shù)中雖然已被矩陣運(yùn)算代替,然而它的技巧性強(qiáng),形式漂亮,所以在各類考試中屢有出現(xiàn)[1-3]。行列式的計(jì)算,尤其是各類特殊形式的n階行列式,難度偏大,不宜掌握。給出其中一類三對(duì)角線及其變化之后的形式的計(jì)算。

1 三對(duì)角線型行列式的算法

三對(duì)角線型行列式：行列式的主對(duì)角線線上元素與主對(duì)角線上方和下方第一條次對(duì)角線上元素不全為零,而其余元素全為零，稱其為三對(duì)角線型行列式。

此類行列式的計(jì)算通常有如下方法：

方法1：化為上（下）三角行列式，即把主對(duì)角線下（上）方的元素全部消為零。

例1計(jì)算

解化為上三角行列式

方法2：數(shù)學(xué)歸納法，首先介紹兩種數(shù)學(xué)歸納法。

第一數(shù)學(xué)歸納法：設(shè)有一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題，如果

1)當(dāng)n=1時(shí)，命題成立；

2）假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。

有時(shí)用第一數(shù)學(xué)歸納法證明命題，僅用歸納假設(shè)“n=k時(shí)命題成立”，還不能證明命題成立，它要求有更強(qiáng)的歸納假設(shè)，這就是第二數(shù)學(xué)歸納法。

第二數(shù)學(xué)歸納法：設(shè)有一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題，如果

1)當(dāng)n=n0時(shí)，命題成立(n0具體定)；

2)假設(shè)n≤k時(shí)，命題成立，證明n=k+1時(shí)命題也成立。

應(yīng)用第二數(shù)學(xué)歸納法證明三對(duì)角線型行列式時(shí)，困難在于第二步，解決的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用假設(shè)，一般常常按照某一行或列展開，求出遞推公式后計(jì)算。

例2用數(shù)學(xué)歸納法證明

證明當(dāng)n=2時(shí)cos 2α,結(jié)論成立。

假設(shè)n≤k時(shí)結(jié)論成立，下面證明n=k+1時(shí)結(jié)論也成立。

記左端的行列式為Dn，按照最后一行展開，得到Dk+1=

2 cosα·Dk-Dk+1,由假設(shè),Dk-1=cos(k-1)α,Dk=coskα得到Dk+1=2 cosαcoskα-(coskαcosα+sinkαsinα)=coskαcosα-sinkαsinα=cos(k+1)α。

由數(shù)學(xué)歸納法可知,對(duì)一切大于或等于1的自然數(shù)命題成立。

方法3:遞推法

大多數(shù)三對(duì)角型行列式，如果各行（列）所含元素結(jié)構(gòu)相同，均可使用遞推法計(jì)算。先用展開式或拆項(xiàng)等方法，將原行列式表成兩個(gè)低階同型行列式的線性關(guān)系，再用遞推公式及某些低階行列式的值求出僅用一個(gè)相鄰的行列式表示原行列式的關(guān)系式，在此基礎(chǔ)上用遞推法求出或證明所需結(jié)果。

例3計(jì)算行列式

解按照第一列展開，有

所以

因此

所以

故A＝(n+1)an。

2 三對(duì)角線型變型變形行列式的計(jì)算

爪型或箭型都可歸為三對(duì)角型變形行列式。計(jì)算此類行列式的基本方法有化成上（下）三角形行列式，第一數(shù)學(xué)歸納法，遞推歸納法，展開法。

例4行列式

解當(dāng)ai≠0(i=1,2,…,n)時(shí)，將新行列式的第i+1列乘以后都加到第一列，得到

當(dāng)ai=0(i=1,2,…,n)時(shí)，顯然D=0。

三對(duì)角線型及其變形行列式的計(jì)算方法中，每道題的解法不唯一，仔細(xì)觀察，盡量選擇相對(duì)較簡(jiǎn)單的解法。