張 悅， 安子軍， 劉子強， 白曉鵬

(燕山大學(xué) 機械工程學(xué)院，河北 秦皇島 066004)

精密鋼球傳動系統(tǒng)是一種利用鋼球作為中介體來傳遞運動和力的新型傳動機構(gòu)，該機構(gòu)具有無隙嚙合、承載能力強、效率高、傳動比范圍廣、噪聲小等優(yōu)點。同時本文采用十字鋼球等速輸出機構(gòu)，該機構(gòu)能夠承受軸向載荷以及隨機適應(yīng)偏心距的要求。故精密鋼球傳動在機械手、伺服傳動機構(gòu)、機床分度機構(gòu)等經(jīng)常頻繁往復(fù)工作的機構(gòu)中具有良好的應(yīng)用前景[1-3]。

關(guān)于精密鋼球傳動的研究，國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)取得一系列成果。文獻(xiàn)[4]對擺線鋼球傳動的齒形形成和運動原理進(jìn)行了闡述，并對齒形連續(xù)性及齒形參數(shù)選擇進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[5]利用赫茲接觸理論對擺線槽進(jìn)行了接觸強度計算，并進(jìn)行了參數(shù)影響分析。文獻(xiàn)[6]通過采用一種新的效率計算方法對擺線槽形進(jìn)行優(yōu)化，提出一種新型等速輸出機構(gòu)，并通過試驗對輸出機構(gòu)的效率進(jìn)行了測試。文獻(xiàn)[7]建立了機構(gòu)的力學(xué)模型，進(jìn)行了力學(xué)性能分析，為新型減速器的定量設(shè)計提供了理論依據(jù)。張鵬等在忽略擺線槽曲率對嚙合剛度的影響以及不計鋼球質(zhì)量和軸向預(yù)緊力作用的情況下，利用牛頓第二定律對擺線鋼球行星傳動系統(tǒng)建立了平移-扭轉(zhuǎn)耦合動力學(xué)模型，文獻(xiàn)[8]揭示了系統(tǒng)的固有特性，分析了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)對固有頻率的影響；文獻(xiàn)[9]利用多尺度法對系統(tǒng)進(jìn)行了動力穩(wěn)定性分析得到系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件，并通過攝動法計算出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。楊榮剛等[10]在忽略嚙合副嚙合剛度為時變剛度的情況下，得到系統(tǒng)的固有頻率和主振型，分析了結(jié)構(gòu)參數(shù)對固有頻率的影響，并通過試驗驗證了理論的正確性。系統(tǒng)在軸向預(yù)緊力的作用下，能夠使嚙合副實時四點接觸。同時忽略鋼球?qū)绊懹嬎憬Y(jié)果的精確性。因此，建立考慮嚙合副四點接觸、鋼球運動和嚙合副時變剛度等因素的動力學(xué)分析模型，對求解固有頻率和主振型具有理論意義和學(xué)術(shù)價值。

綜合考慮擺線槽曲率變化和法向力變化的影響，利用赫茲接觸理論，通過求解由軸向力平衡方程和力矩平衡方程組成的非線性方程組，得到嚙合副時變剛度。建立考慮嚙合副四點接觸、鋼球運動和嚙合副時變剛度等影響因素的精密鋼球傳動平移-扭轉(zhuǎn)耦合動力學(xué)模型，推導(dǎo)系統(tǒng)動力學(xué)方程，通過自由振動特征方程求解系統(tǒng)各階固有頻率以及與其對應(yīng)的主振型。

1 精密鋼球傳動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)介紹

精密鋼球傳動的結(jié)構(gòu)，如圖1(a)所示。等速嚙合副滾動槽結(jié)構(gòu)，如圖1(b)所示。中心盤右側(cè)加工有外擺線槽，行星盤左側(cè)加工有內(nèi)擺線槽，在內(nèi)外擺線槽的交錯區(qū)域放置減速鋼球。行星盤右側(cè)和浮動盤左側(cè)加工有相同數(shù)量且相互平行的截面為等曲率半徑的雙圓弧滾動槽，在滾動槽中放置等速鋼球組1。浮動盤右側(cè)和輸出盤左側(cè)加工有相同數(shù)量且相互平行的截面為等曲率半徑的雙圓弧滾動槽，在滾動槽中放置等速鋼球組2。浮動盤左右兩側(cè)的滾動槽相互垂直。機構(gòu)運轉(zhuǎn)時，輸入軸帶動行星盤轉(zhuǎn)動，行星盤推動減速鋼球運動，減速鋼球在中心盤的限制作用下反推行星盤，使得行星盤以較低速度轉(zhuǎn)動。行星盤通過等速鋼球組1、浮動盤和等速鋼球組2將轉(zhuǎn)速等速傳遞給輸出軸，實現(xiàn)等速輸出。等速輸出機構(gòu)的等效機構(gòu)為十字滑塊機構(gòu)。

2 嚙合剛度分析

在間隙調(diào)節(jié)機構(gòu)的軸向預(yù)緊力Fa的作用下，輸出盤相對中心盤產(chǎn)生軸向微位移δa，各個嚙合點處產(chǎn)生預(yù)變形量，使得嚙合副實時四點接觸(無隙嚙合)。

中心盤、減速鋼球和行星盤組成減速嚙合副。

減速副在軸向預(yù)緊力的作用下，第i個減速鋼球嚙合點A，B，C，D承擔(dān)的法向預(yù)緊力分別為FPAi，F(xiàn)PBi，F(xiàn)PCi，F(xiàn)PDi，法向預(yù)變形量分別為δPAi，δPBi，δPCi，δPDi。由行星盤相對于中心盤軸向微位移δ13與法向預(yù)變形量的幾何關(guān)系可知

(1)

式中：β1為槽型角。

圖1 精密鋼球傳動結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of precision ball transmission

輸入軸順時針轉(zhuǎn)動時，行星盤受到阻力矩T1作用，因傳力嚙合點的變形量增加，非傳力嚙合點的變形量減小，使行星盤的轉(zhuǎn)角產(chǎn)生滯后量α13，行星盤相對于中心盤的軸向微位移變化量Δδ13。

減速副在運轉(zhuǎn)的過程中存在“換側(cè)”現(xiàn)象，即傳力側(cè)與非傳力側(cè)相互轉(zhuǎn)化。當(dāng)0≤Φ2i<π時，即減速鋼球位于坐標(biāo)軸Y的左側(cè)，嚙合點B，D為傳力嚙合點，嚙合點A，C為非傳力嚙合點；當(dāng)π≤Φ2i<2π時，即減速鋼球位于坐標(biāo)軸Y的右側(cè)，嚙合點A，C為傳力嚙合點，嚙合點B，D為非傳力嚙合點，如圖3所示。則傳力側(cè)與非傳力側(cè)的變形協(xié)調(diào)方程分別為

(2)

式中：li為行星盤幾何中心O3到嚙合力方向PO2i的垂直距離，li=Z3e|sinΦ2i|；Z3為行星盤的齒數(shù)；e為輸入軸偏心距一半；Φ2i為第i個減速鋼球嚙合法平面繞O2i點逆時針轉(zhuǎn)過的角度。

由Hertz接觸理論可知，嚙合點法向力與變形量的非線性關(guān)系[11]為

(3)

其中，對于傳力側(cè)Gi=G1i

對于非傳力側(cè)Gi=G2i

由行星盤軸向力平衡和力矩平衡可得

(4)

式中：Φ4i為第i個減速鋼球嚙合法平面繞P點逆時針轉(zhuǎn)過的角度。

因嚙合點法向力與嚙合點變形量為非線性關(guān)系，由文獻(xiàn)[12]可知，實際嚙合剛度為

kni=dF/dδ

(5)

式中：n分別取嚙合點A，B，C，D；dF為嚙合法向力的微小變化量；dδ為對應(yīng)方向的微小變形量。

機構(gòu)運轉(zhuǎn)時，減速鋼球的嚙合點位置實時變化，使嚙合點處的曲率和函數(shù)以及嚙合點法向力實時發(fā)生變化。故求得的嚙合副嚙合剛度為時變剛度[13]。由于嚙合剛度的表達(dá)式復(fù)雜，無顯式表達(dá)式，故用MATLAB擬合工具箱中的傅里葉擬合可得，如圖2所示。

(6)

式中：kmA為時變嚙合剛度kAi的平均值。

行星盤、等速鋼球組1和浮動盤組成等速嚙合副1。浮動盤、等速鋼球組2和輸出盤組成等速嚙合副2。等速機構(gòu)中滾動槽截面采用等曲率半徑的雙圓弧結(jié)構(gòu)，嚙合點處的曲率和函數(shù)為定值。但作用力臂實時變化，使嚙合法向力實時變化。因此，等速嚙合副嚙合剛度亦為時變剛度，如圖2所示。

(7)

式中：kmA1為時變嚙合剛度kA1j1的平均值。

同理可得嚙合副的其余嚙合點處嚙合剛度。

圖2 時變嚙合剛度kAi和kA1j1變化曲線Fig.2 Variation curve for time-varying mesh stiffness kAi and kA1j1

3 動力學(xué)模型建立

在動力學(xué)分析中作如下假設(shè)：①忽略傳動系統(tǒng)運動過程中各構(gòu)件的軸向振動；②采用集中參數(shù)模型，主要構(gòu)件簡化為剛體，軸承和各構(gòu)件嚙合處簡化為彈簧；③忽略各處的阻尼和摩擦力。

如圖3、圖4所示，Φ1i為第i個減速鋼球繞O2點轉(zhuǎn)過的角度，Φ4i為第i個減速鋼球嚙合法平面繞P點轉(zhuǎn)過的角度，Φ2i為第i個減速鋼球嚙合法平面繞O2i點逆時針轉(zhuǎn)過的角度，Φ3為行星盤自轉(zhuǎn)繞O3點轉(zhuǎn)過的角度。O1XY為固定坐標(biāo)系，O2X2Y2為與減速鋼球系固連的坐標(biāo)系，O2iX2iY2i為各減速鋼球坐標(biāo)系，i=1,2,...,Z2，其中Z2為減速鋼球數(shù)，O3X3Y3為與行星盤固連的隨動坐標(biāo)系，O9x9y9為與浮動盤固連的坐標(biāo)系，O9x9y9的兩坐標(biāo)軸與O3X3Y3的兩坐標(biāo)軸平行，O8j1x8j1y8j1為等速鋼球組1中各鋼球的坐標(biāo)系，j1=1,2, ...,Z8，其中Z8為等速鋼球數(shù)，O1x5y5為與輸出軸固連的坐標(biāo)系，O1x5y5的兩坐標(biāo)軸與O9x9y9的兩坐標(biāo)軸平行，O7j2x7j2y7j2為等速鋼球組2中各鋼球的坐標(biāo)系，j2=1,2, ...,Z7，其中Z7為等速鋼球數(shù)。xj，yj(j=0,1,21,22, ...,2Z2,3,81,82, ...,8Z8,9,71,72,...,7Z7,5)為各構(gòu)件因振動產(chǎn)生的線位移，u0，u1，u3，u9，u5分別為各構(gòu)件因振動產(chǎn)生的角位移(本文中的每個滾動槽放置一個鋼球，滾動槽數(shù)與等速鋼球數(shù)相等)。

3.1 各構(gòu)件相對位移

由圖3可知，中心盤、行星盤相對減速鋼球位移沿嚙合線方向的投影為

(8)

圖3 減速嚙合副動力學(xué)模型Fig.3 Dynamic model of reduction speed meshing pair

輸入偏心軸相對行星盤的位移為

(9)

減速嚙合副嚙合點A，B，C，D處變形量分別為

(10)

由圖4可知，行星盤、浮動盤和輸出盤相對等速鋼球位移沿嚙合線方向的投影為

(11)

圖4 等速嚙合副動力學(xué)模型Fig.4 Dynamic model of constant speed meshing pair

式中：f(j1)，f(j2)均為符號函數(shù)。

式中：lj1，l98j1，l97j2，lj2分別為幾何中心O3，O8，O7，O5到嚙合點法平面的距離；j1=j11,j12時，分別為位于X3軸上、下方的等速鋼球組1中的鋼球；j2=j21,j22時，分別為位于Y3軸右、左方的等速鋼球組2中的鋼球。

力臂lj1，l98j1，l97j2，lj2的表達(dá)式分別為

(12)

式中：α(j1)=|j1-[Z8/4]|·(2π/Z8)；α(j2)=|j2-[Z7/4]| ·(2π/Z7)；Rw為等速鋼球分布圓半徑；Z2為減速鋼球個數(shù)； [Z8/4]，[Z7/4]分別為對Z8/4，Z7/4取整。

等速嚙合副1嚙合點A1，B1，C1，D1變形量為

(13)

等速嚙合副2嚙合點A2，B2，C2，D2變形量為

(14)

3.2 各構(gòu)件動力學(xué)微分方程

輸入偏心軸的動力學(xué)微分方程為

(15)

式中：k01x，k01y分別為中心盤與輸入軸x，y向的支承剛度；k03x，k03y分別為行星盤與輸入軸x，y向的支承剛度；T1為輸入軸轉(zhuǎn)矩。

中心盤的動力學(xué)微分方程為

(16)

式中：k1x，k1y分別為中心盤x，y向的支承剛度；k1u為中心盤的扭轉(zhuǎn)支承剛度。

行星盤的動力學(xué)微分方程為

(17)

等速鋼球組1中第j1個鋼球的動力學(xué)微分方程為

(kB1j1δB1j1-kA1j1δA1j1+kC1j1δC1j1-kD1j1δD1j1)=0

(18)

等速鋼球組2中第j2個鋼球的動力學(xué)微分方程為

(19)

式中：β2為等速嚙合副的壓力角。

第i個減速鋼球的動力學(xué)微分方程為

(20)

輸出盤的動力學(xué)微分方程為

(21)

式中：T2為輸出軸轉(zhuǎn)矩；k5y為輸出盤y向的支承剛度。

浮動盤的動力學(xué)微分方程為

(22)

3.3 系統(tǒng)動力學(xué)方程

聯(lián)立式(15)～式(22)，系統(tǒng)動力學(xué)方程的矩陣形式為

(23)

q=[x0y0u0x1y1u1x21y21...x2Z2y2Z2x3y3u3x81...
x8Z8x9y9u9y71...y7Z7y5u5]T

M=diag(m0,m0,J0,m1,m1,J1,m21,m21,...,m2Z2,m2Z2,
m3,m3,J3,m81,...,m8Z8,m9,m9,J9,m71,...,m7Z7,m5,J5)

j=j11,j12(j11=1,2,...,Z8/2;j12=1,2,...,Z8/2)

j1=j11,j12(j11=1,2,...,Z8/2;j12=1,2,...,Z8/2)

j1=j11,j12(j11=1,2,...,Z8/2;j12=1,2,...,Z8/2)

j1=j11,j12(j11=1,2,...,Z8/2;j12=1,2,...,Z8/2)

j1=j11,j12;j2=j21,j22

(j11=1,2,...,Z8/2;j12=1,2,...,Z8/2)

(j21=1,2,...,Z7/2;j22=1,2,...,Z7/2)

j2=j21,j22(j21=1,2,...,Z7/2;j22=1,2,...,Z7/2)

j2=j21,j22(j21=1,2,...,Z7/2;j22=1,2,...,Z7/2)

j2=j21,j22(j21=1,2,...,Z7/2;j22=1,2,...,Z7/2)

j2=j21,j22(j21=1,2,...,Z7/2;j22=1,2,...,Z7/2)

式中：T為外激勵列陣，其中T1為輸入軸轉(zhuǎn)矩，T2為輸出軸轉(zhuǎn)矩；剛度矩陣K為14+2Z2+Z7+Z8維的對稱陣；q為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)列陣；質(zhì)量矩陣M為對角陣。

4 固有頻率的求解

由式(23)可知，當(dāng)系統(tǒng)外部激勵列陣T=0時，無阻尼自由振動方程(矩陣形式)為

(24)

令式(24)的通解為q(t)=φhsin(ωht+θh)，則可將式(24)轉(zhuǎn)化為變特征值問題，其方程為：

(25)

式中：ωh為系統(tǒng)第h階固有頻率；φh為與其對應(yīng)的振型矢量。

系統(tǒng)支承剛度取值如下：k03x=k03y=6×108N/m,k01x=k01y=k1x=k1y=k5y=5×108N/m,k1u= 5×106N·m/rad。

樣機參數(shù)取值如下：Z1=9，Z2=10，Z3=11、短幅系數(shù)H=0.4，e=1.6 mm、滾圓半徑r0=4 mm、減速鋼球半徑rq=2 mm，β1=π/4，Rw=35 mm、等速鋼球半徑rw=2 mm、滾動槽曲率半徑rh=2rw，β2=π/6，Z7=6，Z8=6，E1=206 GPa，E2=206 GPa，μ1=0.3，μ2=0.3、軸向預(yù)緊力Fa=700 N、阻力矩T1=6 N·m。傳動系統(tǒng)各構(gòu)件的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量均由UG NX實體建模獲得，見表1。

表1 傳動系統(tǒng)質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量

由系統(tǒng)動力學(xué)方程式(25)求得系統(tǒng)的固有頻率和相應(yīng)振型矢量。減速嚙合副和等速嚙合副的嚙合剛度均為時變剛度，并且呈周期性變化，因此系統(tǒng)的固有頻率和主振型[14]也是不斷變化的。

如圖5～圖9所示，精密鋼球傳動系統(tǒng)46階固有頻率隨轉(zhuǎn)角Φ2i(0～2π)的變化規(guī)律，均呈周期性變化。

圖5 傳動系統(tǒng)的1～10階固有頻率周期變化曲線Fig.5 Periodic variation curves of 1—10 order natural frequencies of drive system

圖6 傳動系統(tǒng)的27～29階固有頻率周期變化曲線Fig.6 Periodic variation curves of 27—29 order natural frequencies of drive system

圖7 傳動系統(tǒng)的30～34階固有頻率周期變化曲線Fig.7 Periodic variation curves of 30—34 order natural frequencies of drive system

圖8 傳動系統(tǒng)的39～42階固有頻率周期變化曲線Fig.8 Periodic variation curves of 39—42 order natural frequencies of drive system

圖5中，從下至上依次為系統(tǒng)的前10階固有頻率。前10階固有頻率軌跡變化的周期數(shù)與減速鋼球數(shù)相等，均為10。低階(1～10階)固有頻率對應(yīng)的振動模式均為減速鋼球平移振動，相鄰的固有頻率變化軌跡的斜率分別在點A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H，I附近急劇變化，看似相交實則未交，故前10階相鄰固有頻率軌跡在點A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H，I處會發(fā)生模態(tài)躍遷。

圖6中，自下而上分別為系統(tǒng)27～29階固有頻率。固有頻率軌跡呈周期性變化，周期數(shù)等于減速鋼球數(shù)。對應(yīng)的振動模式均為減速鋼球平移振動，固有頻率軌跡斜率在點A，B，C，D附近急劇變化，故27階與28階固有頻率會在點A，B處發(fā)生模態(tài)躍遷，28階與29階固有頻率會在點C，D處發(fā)生模態(tài)躍遷。

圖7中，自下而上分別為系統(tǒng)30～34階固有頻率。固有頻率軌跡呈周期性變化，且周期數(shù)等于減速鋼球數(shù)。對應(yīng)的振動模式均為減速鋼球平移振動，固有頻率軌跡斜率在點A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H附近急劇變化，故30階與31階固有頻率在點A，B處，31階與32階固有頻率在點C，D，E處，32階與33階固有頻率在點G，F(xiàn)處，33階與34階固有頻率在點H處均會發(fā)生模態(tài)躍遷。

圖8中，自下而上分別為系統(tǒng)39～42階固有頻率。固有頻率軌跡呈周期性變化。固有頻率軌跡斜率在點A，B，C附近急劇變化，且在點A，B，C處產(chǎn)生了固有頻率“軌跡相交”現(xiàn)象。39階和42階固有頻率為等速鋼球組1直線振動模式，40階和41階固有頻率為等速鋼球組2直線振動模式。在“軌跡相交”位置A，C處，隨著轉(zhuǎn)角Φ2i的增加，會使等速鋼球組1直線振動模式與等速鋼球組2直線振動模式之間發(fā)生變化。

圖9 傳動系統(tǒng)其余固有頻率周期變化曲線Fig.9 Periodic variation curves of other natural frequencies of drive system

5 結(jié) 論

本文考慮了嚙合副四點接觸、鋼球及嚙合副時變剛度等影響因素，通過對精密鋼球傳動系統(tǒng)平移-扭轉(zhuǎn)耦合動力學(xué)模型的研究，得到如下結(jié)論：

(1) 考慮擺線槽曲率變化和嚙合法向力變化對嚙合剛度的影響，通過基于Hertz接觸理論的精密鋼球傳動嚙合副時變剛度計算方法，求得傳動系統(tǒng)的時變嚙合剛度呈周期性變化。

(2)應(yīng)用系統(tǒng)平移-扭轉(zhuǎn)耦合動力學(xué)模型，求解的系統(tǒng)各階固有頻率均呈周期性變化，低階(1～10階)、中高階(25～34階)固有頻率變化的周期數(shù)與減速鋼球數(shù)相等，在低階(1～10階)、中高階(27～29階)和(30～34階)的各自固有頻率軌跡接近處發(fā)生模態(tài)躍遷。

(3)在高階(39～42階)固有頻率對應(yīng)的振型中，隨著轉(zhuǎn)角的增加，在固有頻率軌跡相交處，等速鋼球組1直線振動模式與等速鋼球組2直線振動模式之間會發(fā)生變化。