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        求解三維空間分數(shù)階對流擴散方程的Douglas-Gunn格式

        2019-02-19 01:38:50,,
        鄭州大學學報(理學版) 2019年1期
        關(guān)鍵詞:算例二階差分

        , ,,

        (1.西北工業(yè)大學 計算科學研究中心 陜西 西安 710129; 2. 河南工業(yè)大學 理學院 河南 鄭州 450001)

        0 引言

        近年來,自然界中的反常擴散現(xiàn)象受到科研人員的廣泛關(guān)注,為研究其獨特的物理過程,常常用分數(shù)階偏微分方程建立相應的數(shù)學模型. 其中,在包含對流和超擴散兩個物理過程的散布現(xiàn)象中,粒子束的傳播與經(jīng)典的布朗運動模型不再一致,此時把經(jīng)典對流擴散方程中的空間二階導數(shù)替換成分數(shù)階導數(shù)構(gòu)建的空間分數(shù)階對流擴散方程(SFADE)能更準確地模擬這一現(xiàn)象. 分數(shù)階導數(shù)或積分具有非局部性,這給相應方程的求解帶來了很大困難,在大多數(shù)情況下很難得到解析解,因此研究可靠而有效的數(shù)值方法就顯得尤為重要. 目前常用的數(shù)值解法包括有限差分法[1-2]、有限元法[3-4]、有限體積法[5]、配點法[6]以及譜方法[7]等.

        由于三維模型在科學研究中有廣泛應用,本文考慮有限區(qū)域上帶有零Dirichlet邊界條件的三維SFADE的數(shù)值求解. 分數(shù)階導數(shù)是一個非局部算子,這就使得離散SFADE得到的線性系統(tǒng)的剛度矩陣不再是稀疏矩陣,導致計算工作量和存儲量都非常大,尤其在多維空間情形下. 目前求解三維SFADE的數(shù)值方法還比較少. 文獻[8]采用了一種交替方向穩(wěn)定法(alternating direction implicit method, ADI)差分格式求解三維SFADE,并提高了精度.文獻[9]提出了一種求解三維分數(shù)階擴散方程的ADI差分格式.文獻[10]研究了一種求解三維空間分數(shù)階擴散方程的快速迭代ADI有限差分方法. 在本文中,我們將提出一種求解三維SFADE的有效的ADI有限差分格式,這種方法是將經(jīng)典的Douglas-Gunn格式中的二階中心差分算子推廣為包含左、右分數(shù)階導數(shù)離散算子及一階中心差分算子在內(nèi)的復雜算子得到的,同時給出了該格式的穩(wěn)定性和收斂性的必要證明. 最后用數(shù)值實驗驗證了理論分析的結(jié)果.

        1 三維SFADE及其Douglas-Gunn格式

        本文考慮三維SFADE及它的初邊值條件為

        (1)

        u(x,y,z,t)=0, (x,y,z,t)∈?Ω×[0,T],

        (2)

        u(x,y,z,0)=u0(x,y,z), (x,y,z)∈Ω,

        (3)

        1.1 Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)的離散

        其中系數(shù)為

        (4)

        (5)

        同時,用中心差分近似對流項的一階導數(shù),記

        /2h1.

        (6)

        1.2 三維SFADE的有限差分近似

        用公式(4)~(6)離散空間導數(shù),時間方向采用Crank-Nicolson格式. 記

        然后方程(1)就可以表示為

        (7)

        (8)

        (9)

        采用經(jīng)典的Douglas-Gunn格式分解式(9)得到ADI格式,即

        (10)

        (11)

        (12)

        (13)

        與經(jīng)典的Douglas-Gunn格式不同,3個方向的二階中心差分算子在此處分別被替換為δα,x、δβ,y、δγ,z,它們是包含了左、右分數(shù)階導數(shù)離散算子等在內(nèi)的復雜算子,可以認為是經(jīng)典Douglas-Gunn格式在求解分數(shù)階方程中的推廣. 接下來,我們將給出收斂性和穩(wěn)定性的必要證明.

        2 收斂性和穩(wěn)定性分析

        顯然,如果在格式(10)~(13)中消去中間解變量,則得到格式(9),即格式(10)~(13)和(9)是等價的. 下面用矩陣法證明格式(9)是無條件穩(wěn)定和收斂的. 首先把方程(9)表示成矩陣形式, 令

        (14)

        (15)

        (16)

        (17)

        其中Aα,Aβ,Aγ是Toeplitz矩陣,Aα和B分別表示為

        其中:I是單位矩陣;符號?表示Kronecker積[12].Aβ、Aγ與Aα類似. 利用上述記號,式(9)可以寫為

        τFn+1/2.

        (18)

        為了證明式(18)的穩(wěn)定性和收斂性,下面列出一些相關(guān)的引理和定理.

        引理1[13]一個n階實矩陣A是正定的,當且僅當矩陣H=(A+AT)/2是正定的;H是正定的,當且僅當H的特征值都是正的.

        引理2[13]設A是一個n階復矩陣,AH表示A的共軛轉(zhuǎn)置,記H=(A+AH)/2,則對于A的任意特征值λ,它的實部滿足不等式λmin(H)≤R(λ(A))≤λmax(H),這里λmin(H)和λmax(H)分別表示H的最小和最大特征值.

        煤炭資源影響著我國社會經(jīng)濟的發(fā)展,是社會發(fā)展的重要基礎資源。隨著我國工業(yè)技術(shù)的迅猛發(fā)展,煤炭資源的需求量逐漸增加,為新時代背景下煤炭資源的開發(fā)提出了更高的要求。隨著自動化技術(shù)在各領域中的廣泛應用,煤礦機電設備的自動化程度也越來越高,有效滿足了煤炭資源供給需求。

        引理3設A∈Rm×n,B∈Rr×s,C∈Rp×q,則(A?B)?C=A?(B?C).

        證明此結(jié)論可以由Kronecker積的定義直接得到.

        引理4設A,B∈Rm×n,C∈Rs×t,則有(A+B)?C=A?C+B?C,C?(A+B)=C?A+C?B.

        證明此結(jié)論可以由Kronecker積的定義直接得到.

        引理5[12]設A∈Rm×n,B∈Rr×s,C∈Rn×p,D∈Rs×t,則(A?B)(C?D)=AC?BD(∈Rmr×pt).

        引理6[12]對于任意的矩陣A和B,有(A?B)T=AT?BT.

        為了敘述并證明下述引理和定理,記‖·‖表示矩陣的2-范數(shù).

        引理8設A∈Rn×n是正定矩陣,則對任意的σ∈R且σ>0,有‖(I+σA)-1‖<1.

        引理9設A∈Rn×n是正定矩陣,則對任意的σ∈R且σ>0,有‖(I+σA)-1(I-σA)‖<1.

        證明由矩陣2-范數(shù)的定義并記y=(I+σA)-1x,可得

        引理10設A,B,I∈Rn×n,A和B乘積可交換,且(I-A)-1、(I-B)-1存在,則(I+A)與(I-B)-1,(I-A)-1與(I-B)-1也是乘積可交換的.

        證明首先,由AB=BA,不難驗證(I±A)(I-B)=(I-B)(I±A). 所以有

        (I+A)(I-B)-1=(I-B)-1(I-B)(I+A)(I-B)-1=(I-B)-1(I+A)(I-B)(I-B)-1=

        (I-B)-1(I+A),(I-A)-1(I-B)-1=((I-B)(I-A))-1=((I-A)(I-B))-1=(I-B)-1(I-A)-1.

        定理3差分格式(9)是無條件穩(wěn)定的.

        (19)

        (20)

        3 數(shù)值結(jié)果

        下面,我們通過兩個數(shù)值算例驗證本文所提出的數(shù)值格式的穩(wěn)定性和收斂階,也就是說格式是有效的,并在時間和空間方向都具有較高的二階收斂精度. 設U和Uh分別表示問題(1)~(3)的解析解和采用格式(10)~(13)得到的數(shù)值解,用離散的L∞和L2范數(shù)計算全局截斷誤差,即

        算例1在問題(1)~(3)中,取Ω=(0,1)×(0,1)×(0,1),T=1;對流和擴散系數(shù)分別為k1=k2=k3=-1,a1=a2=b1=b2=c1=c2=1;初值取u0(x,y,z)=x3(1-x)3y3(1-y)3z3(1-z)3. 已知的解析解為u(x,y,z,t)=e-tx3(1-x)3y3(1-y)3z3(1-z)3,由以上條件容易算出f(x,y,z,t).

        對常系數(shù)算例1取優(yōu)化的步長比例M=N1=N2=N3進行測試. 表1列出的數(shù)值結(jié)果表明,用格式(10)~(13)計算常系數(shù)問題(1)~(3)時,算法是無條件穩(wěn)定的,而且在時間及空間方向都是二階收斂的,這和理論分析的結(jié)果一致.

        算例2在問題(1)~(3)中,取Ω=(0,1)×(0,1)×(0,1),T=1;對流和擴散系數(shù)分別為k1=0.25x,k2=0.25y,k3=0.25z,a1=xα,a2=(1-x)α,b1=yβ,b2=(1-y)β,c1=zγ,c2=(1-z)γ;初值取u0(x,y,z)=x3(1-x)3y3(1-y)3z3(1-z)3.已知的解析解為u(x,y,z,t)=e-tx3(1-x)3y3(1-y)3z3·(1-z)3,由以上條件f(x,y,z,t)容易算出.

        表2列出了變系數(shù)算例2的數(shù)值結(jié)果,這里也取優(yōu)化的步長比例M=N1=N2=N3進行測試,數(shù)值結(jié)果表明用格式(10)~(13)計算變系數(shù)問題(1)~(3)時,算法是無條件穩(wěn)定的,而且在時間及空間方向也都具有二階收斂率,這和理論分析的結(jié)果是非常吻合的.

        表1 算例1在時刻t=1,取M=N1=N2=N3的數(shù)值誤差和收斂階Tab.1 The errors and convergence orders for example 1 at t=1 with M=N1=N2=N3

        表2 算例2在時刻t=1,取M=N1=N2=N3的數(shù)值誤差和收斂階Tab.2 The errors and convergence orders for example 2 at t=1 with M=N1=N2=N3

        4 結(jié)論

        本文將求解三維整數(shù)階拋物方程的經(jīng)典Douglas-Gunn格式推廣到分數(shù)階,提出了一種求解三維SFADE的有效的數(shù)值方法,并證明該格式具有無條件穩(wěn)定性和較高的二階收斂精度,必要而充足的數(shù)值實驗驗證了理論結(jié)果. 最后,由于分數(shù)階導數(shù)是非局部算子,對于多維空間問題的求解需要耗費較大的計算工作量和空間存儲量,在今后的工作中,我們將考慮開展適當?shù)目焖偎惴?,以減少計算花費和加快計算速度.

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