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        小雷諾數(shù)下彈性圓柱殼行波振動問題研究

        2019-02-19 01:39:14,
        關(guān)鍵詞:薄板行波振幅

        , ,

        (燕山大學(xué) 理學(xué)院 河北 秦皇島 066004)

        0 引言

        工程中存在大量有關(guān)振動的問題,如海洋柔性結(jié)構(gòu)的渦激振動[1-2]、大型冷卻塔風(fēng)致響應(yīng)[3-4]、 橋梁結(jié)構(gòu)的自振[5]以及水下航行器的振動[6]等.其中,水下推進器的推進機理研究日益成為科研工作者的研究熱點之一,涉及海洋、船舶、核動力、機械及生物工程等多個學(xué)科.現(xiàn)有的主要為人工機械推進結(jié)構(gòu),如螺旋槳推進、葉輪推進、射流推進等.在推進靈活性、穩(wěn)定性和效率等方面與魚類的推進方式相比有著巨大的提高空間.根據(jù)Lighthill對水生動物的運動方式分類,波動擺動推進是其中的一類,且大部分魚類采用該運動形式[7-8].

        文獻[9]建立了研究魚類勻速直線推進的“抗力水動力學(xué)模型”,該理論模型忽略慣性力,利用魚體與流體的靜力學(xué)平衡研究魚體的動力學(xué),適應(yīng)于低雷諾數(shù)的情況.隨后,Lighthill提出“非穩(wěn)態(tài)細長體理論”[10]、“伸長體理論”[11]和“大擺幅伸長體理論”[12],用來研究柔性波動板波動推進特征.文獻[13-14]考慮了板面展向變形對波動柔性板推進性能的影響,并使用波動板模型和最佳運動理論研究新月形尾的推進特性.

        國內(nèi)外學(xué)者對相關(guān)理論進行了廣泛的研究,取得了一些成果,但由于問題的復(fù)雜性,對水中生物的推進機理還需進一步深入研究.本文嘗試將水中生物看作彈性圓柱殼體,并假設(shè)圓柱殼長度足夠長,且遠遠大于半徑,將其近似為無限長圓柱殼.黏性流體中圓柱殼的擺動采用行波狀運動表示,根據(jù)相容拉格朗日-歐拉法求解出的流函數(shù)表達式,計算出流體壓力、單位面積上的功率以及有效作用系數(shù)等.

        1 黏性流體相容拉格朗日-歐拉法基本方程

        假設(shè)流體雷諾數(shù)遠小于1,同黏性成分相比,流體的納維-斯托克斯方程中慣性項可以忽略.在圓柱坐標系(r,θ,z)中,與θ無關(guān)的二維流體運動的納維-斯托克方程近似為斯托克斯方程[15]

        (1)

        接觸面運動方程[16]為

        (2)

        (3)

        其中:ψ為流函數(shù),滿足rvz=?ψ/?r,rvr=-?ψ/?z;ul(l=r,z)為變形前空間點處位移矢量沿坐標軸方向的分量;R為圓柱殼半徑;t為時間.

        圓柱殼體表面行波振動形式為

        (4)

        式中:α=2π/λ;ω=cα;λ和c為波的長度及速度;Zn和Rn為振幅.

        2 方程的解

        式(1)中消去壓力p得到方程

        ψ=0,

        (5)

        方程(5)有解

        (6)

        其中:An、Bn為待定參數(shù);K0、K1是麥克唐納函數(shù)[17];V0是與時間無關(guān)、相對于不動坐標系無窮遠處流體的運動速度,由給定問題及系數(shù)An和Bn同時確定,即相對于無窮遠處不動的流體而言,殼的推進速度等于-V0.

        (7)

        其中:

        流函數(shù)得到確定.

        經(jīng)編程分析可知,N取值不同,計算結(jié)果的具體數(shù)值稍有不同,但變化規(guī)律一致,取N=1計算分析.由式(1)可得壓力的表達式為

        μ2vzdz=μ2(?ψ/r?r)dz,

        取N=1,則

        單位寬度圓柱面上,一個波長運動產(chǎn)生的功率[18]為

        (αz-ωt),

        其中:

        為圓柱表面上的應(yīng)力[19].取N=1,可得

        (8)

        在αR較大時,取N=1,利用K0、K1的漸近表達式,由式(7)和(8)可得到薄板振動時無窮遠處流體速度V0和功率E分別為:

        (9)

        E=μω2α(R12+Z12).

        (10)

        薄板表面上所產(chǎn)生的拉力,采用近似式[20]

        T=2μαV0,

        (11)

        將式(9)代入式(11),得到

        (12)

        除了速度V0及拉力T之外,有效作用系數(shù)為波形運動的重要特性.按時間平均有效作用的流體動力系數(shù),表達式[20]為

        (13)

        將式(9)、(10)和(12)代入式(13),不考慮α,可得無量綱有效作用系數(shù)

        .

        (14)

        3 結(jié)果分析

        表1給出了圓柱殼以行波形式振動,振幅R1和Z1取不同數(shù)值時,殼體表面流體壓力p和功率E的數(shù)值.表中未標明的參數(shù)分別取值為:ω=π rad/s,μ=1×10-2Pa·s,R=0.5 m,α=2 m-1.可以看出, 壓力p主要受縱向振動振幅Z1的影響,而功率E受橫向振動和縱向振動振幅R1和Z1的影響都很大.

        圖1 薄板振動時有效作用系數(shù)與振幅比值R1/Z1之間關(guān)系Fig.1 Relation between efficiency parameter and quotient of amplitudes R1/Z1 while the sheet vibrating

        Z1/mR1/mp/PaE/W 1×10-3 1×10-3-6.28×10-5-6.98×10-7 1×10-3 0-6.51×10-5-0.99×10-7 0 1×10-3 0.23×10-5-2.11×10-7 1×10-3 3×10-3-5.82×10-5-31.6×10-7 3×10-3 1×10-3-19.3×10-5-22.6×10-7 3×10-3 3×10-3-18.8×10-5-62.8×10-7-1×10-3 1×10-3 6.74×10-5 0.78×10-7 1×10-3-1×10-3-6.74×10-5 0.78×10-7

        4 結(jié)束語

        本文采用相容拉格朗日-歐拉法求解彈性圓柱殼行波振動,給出了殼體的推進速度、流體壓力、單位面積上的功率以及有效作用系數(shù)等,初步分析了振幅對薄板有效作用系數(shù)、圓柱殼壓力和功率的影響.

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