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(長(zhǎng)安大學(xué) 理學(xué)院 陜西 西安 710064)

0 引言

用隨機(jī)微分方程來描述客觀現(xiàn)象在實(shí)際應(yīng)用中有著越來越重要的作用[1-6]，通常用數(shù)值方法得到的解來近似方程的解析解.人們主要研究數(shù)值求解方法的收斂性[7]和穩(wěn)定性，研究的較多的是Euler方法、Milstein方法及Runge-Kutta方法.近年來又提出Heun方法，本文在該數(shù)值方法的基礎(chǔ)上構(gòu)造出θ-Heun方法，并研究了該方法用于求解標(biāo)量自治隨機(jī)微分方程的收斂性.

1 隨機(jī)微分方程及數(shù)值求解方法

1.1 隨機(jī)微分方程及性質(zhì)

一維標(biāo)量自治的隨機(jī)微分方程[8]:

(1)

其中：f(X),g(X)在[t0,T]上連續(xù)可測(cè)；EX02<∞；w(t)是標(biāo)準(zhǔn)的winner過程，且與X0相互獨(dú)立.當(dāng)t>0，步長(zhǎng)h>0時(shí)，增量Δw(t)=w(t+h)-w(t)是一列服從正態(tài)分布N(0,h)，且相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，有如下性質(zhì)[9].

1.2 θ-Heun方法

定義1求解隨機(jī)微分方程(1)的θ-Heun方法為

Xn+1=Xn+h[(1-θ)f(Xn)+θf(Xn+hf(Xn))]+g(Xn)Δwn,θ∈[0,1].

(2)

2 θ-Heun方法的收斂性

則θ-Heun方法的局部截?cái)嗾`差和整體誤差分別為：

，εn+1=X(tn+1)-Xn+1,n=0,1,…,N-1.

引理1(H?lder不等式)[6]如果函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)可積，則

引理2[6]如果f(X)、g(X)滿足以下條件：

1) 線性增長(zhǎng)條件. 存在一個(gè)正的常數(shù)L1，使

f(X)∨g(X)≤L1(1+X)，或f(X)2∨g(X)2≤L1(1+X2).

2) Lipschitz條件. 存在一個(gè)正的常數(shù)L2，使f(X)-f(Y)∨g(X)-g(Y)≤L2X-Y,?X,Y∈R.

“∨”表示兩函數(shù)中較大者，若f(X),g(X)滿足條件1)和2)，則方程(1)的解滿足

ⅱ) ?t0≤s≤t≤T,EX(t)-X(s)2≤C2(t-s).

其中：C1、C2為僅依賴于初值X0和T的常數(shù).

定理1若f(X)、g(X)滿足引理1和2，對(duì)于θ-Heun方法，p1=2，p2=1，p=1(步長(zhǎng)h≤1).

下面證明p1=2.

證明

(3)

對(duì)上式兩端同時(shí)取期望有

hθE(f(X(tn)+hf(X(tn)))-f(X(tn))).

根據(jù)w(t)的性質(zhì)1)可知

A) 根據(jù)引理2的(2)和(3)式及w(t)的性質(zhì)1)有

B) 根據(jù)引理2有

hE(f(X(tn)+hf(X(tn)))-f(X(tn)))≤L2hEX(tn)+hf(X(tn))-X(tn)≤L1L2h2E(1+X(tn))≤

下面證明p2=1.

證明由(3)式及(a+b+c)2≤3a2+3b2+3c2得

(4)

B) 根據(jù)w(t)的性質(zhì)2)及引理2有

C) 由引理2可得

由A)、B)、C)得

Eδn+12≤3L22C2h3+3L22C2h2+3L22L1h4(1+C1)≤3L22(2C2+L1(1+C1))h2.

下面證明p=1.

A) 由引理2的2)及εn的定義得h(1-θ)Ef(X(tn))-f(Xn)≤L2hEX(tn)-Xn=L2hEεn.

B) 由引理2的2)及w(t)與Xn的獨(dú)立性[8]得

E(g(X(tn))-g(Xn))Δwn≤L2E(X(tn)-Xn)Δwn=L2EεnEΔwn.

E(g(X(tn))-g(Xn))Δwn≤L2Eεn.

C) 由引理2的2)及εn的定義得

記C5=2L2+L22，顯然C5>0且是與h無關(guān)的常數(shù)，則Eεn+1≤(1+L2+C5h)Eεn+Eδn+1.

反復(fù)應(yīng)用上述關(guān)系可得

由引理3，當(dāng)ε0=0時(shí)，Eε0=0，再由(1)的證明上式變?yōu)?/p>

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

對(duì)于實(shí)驗(yàn)方程

圖1 θ-Heun方法數(shù)值解與精確解的對(duì)比Fig.1 The comparison of the numerical solution of the θ-Heun method to the exact solution

圖2 Heun方法數(shù)值解與精確解的對(duì)比Fig.2 The comparison of the numerical solution of the Heun method to the exact solution