李永革

(安徽省巢湖市第一中學(xué) 238000)

三角形問題形式多樣，常見的有三角形計算問題、三角形形狀判定、三角恒等式的證明，范圍、最值問題，實(shí)際應(yīng)用問題.解決三角形問題除了需要三角形性質(zhì)，正、余弦定理，三角形面積公式等知識外，還與三角函數(shù)、三角恒等變換聯(lián)系緊密.是三角、向量、函數(shù)、方程等知識的交匯點(diǎn).教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，對于一些綜合程度較高的三角形問題，學(xué)生常感到思路不清，方向不明，運(yùn)算受阻.為幫助學(xué)生較快地突破思維的瓶頸，理清推理和運(yùn)算的思路，筆者在教學(xué)中注意運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法探索解題思路，起到了較好的效果.現(xiàn)整理如下，以求教于同行.

一、方程思想的運(yùn)用

三角形計算問題，等量關(guān)系的建立是關(guān)鍵.這里涉及兩個問題，一是怎樣獲得等量關(guān)系(方程)，二是怎樣確保方程可解.

1.怎樣獲得等量關(guān)系(方程)

等量關(guān)系的建立一般是借助正、余弦定理，三角形各種面積公式，有時要利用和(差)角公式、倍角公式以及向量知識.

另外，算兩次的方法也是獲得等量關(guān)系的重要途徑.

例1 已知圓內(nèi)接四邊形ABCD，AB=2,BC=6,CD=DA=4,求圓內(nèi)接四邊形ABCD的面積.

解連接BD，則四邊形的面積

S=S△ABD+S△CBD

∵A+C=180°,∴sinA=sinC.

在△ABD中，BD2=22+42-2×2×4cosA=20-16cosA,

在△CBD中，BD2=62+42-2×6×4cosC=52-48cosC,

∴20-16cosA=52-48cosC.

點(diǎn)評本題先后兩次運(yùn)用余弦定理計算BD，得出角的等量關(guān)系式.隨后利用圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)消去一個角.

2.怎樣確保方程可解

有三個重要的技巧：一是如果遇到四種基本解三角形問題，要依據(jù)未知量唯一的原則從正、余弦定理，面積公式中選擇恰當(dāng)?shù)牡攘筷P(guān)系.二是遇到多個未知量同時出現(xiàn)時，等量關(guān)系(方程)的個數(shù)不能少于未知量的個數(shù).三是先用同一個字母表示圖中某個三角形所有的邊或角，再建立等量關(guān)系.

解(1)由已知得∠PBC=60°，所以∠PBA=30°.

點(diǎn)評本題第(2)小題圖中所有的三角形都不具備可解條件，于是先在直角△CBP中將PB用角α表示，再將△APB中的∠PAB也用角α表示.然后運(yùn)用正弦定理建立方程.

二、函數(shù)思想的運(yùn)用

三角形中取值范圍問題和最值問題一般需要構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域與最值問題.

例3 已知在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且2acosC=2b-c.

近年來，我國農(nóng)業(yè)農(nóng)村電子商務(wù)快速發(fā)展，成效明顯。貧困地區(qū)以及農(nóng)產(chǎn)品成為農(nóng)業(yè)農(nóng)村電子商務(wù)發(fā)展最快的地區(qū)和領(lǐng)域。支撐農(nóng)業(yè)農(nóng)村電子商務(wù)發(fā)展的服務(wù)設(shè)施不斷完善，產(chǎn)業(yè)鏈上下游聯(lián)系更為緊密，服務(wù)內(nèi)容不斷拓展，新產(chǎn)業(yè)、新業(yè)態(tài)、新模式不斷涌現(xiàn)。

(1)求角A的大小;

(2)若b+c=2,求a的取值范圍.

解法2(建立代數(shù)函數(shù))：a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc=b2+(2-b)2-b(2-b)=3b2-6b+4,b∈(0,2),

∴a2∈[1,2),∴a∈[1,2).

三、消元的思想的運(yùn)用

三角形計算問題常需要減少未知數(shù)個數(shù)，學(xué)生對角的消元不太熟練，常常缺少消角的意識和手段.靈活利用三角形內(nèi)角和定理，已知角以及三角變換公式是消元的關(guān)鍵.

(1)求tanC的值；

(2)若△ABC的面積為3，求b的值.

所以sin2C=2sinCcosC，解得tanC=2.

點(diǎn)評本題第(1)小題先將邊的關(guān)系式轉(zhuǎn)化成角的關(guān)系式，除了角A已知，角B和角C都是未知，考慮到題目要求的角是角C，所以需要消角B.運(yùn)用了三角形內(nèi)角和定理和誘導(dǎo)公式.

四、整體思想的運(yùn)用

(1)求角C的度數(shù)；

(2)求AB的長度.

∴AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC=a2+b2-2abcos120°=a2+b2+ab

點(diǎn)評本題在計算中將a+b和ab當(dāng)成整體，直接代值計算，減少了計算量.

五、化歸思想的運(yùn)用

化歸思想在三角形問題中的應(yīng)用最突出的表現(xiàn)是邊角互化.比如利用正、余弦定理判斷三角形形狀.這類問題基本思路是：用正弦定理或余弦定理將所給條件統(tǒng)一為角之間的關(guān)系或邊之間的關(guān)系.若統(tǒng)一為角之間關(guān)系式，則再利用三角恒等變換化簡到角之間關(guān)系；若統(tǒng)一為邊之間的關(guān)系式，則再利用代數(shù)方法進(jìn)行恒等變形、化簡，找到邊之間的關(guān)系.一般地，若題設(shè)中含有角的余弦或邊的二次式，則要考慮利用余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化；若題設(shè)中含有角的正弦或邊的一次式，則要考慮利用正弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化處理.

另外，在計算題中，為了減少未知量的個數(shù)常常需要邊角統(tǒng)一.有時已知條件是邊的關(guān)系，但結(jié)論卻是求角，也需要邊角轉(zhuǎn)化.

六、模型思想的運(yùn)用

人教A版必修五教材在學(xué)習(xí)了正、余弦定理之后分別介紹了四類基本的解三角形問題.并將各類問題的解題套路和解的情況做了詳細(xì)的討論，這就為學(xué)生處理各種具體的解三角形問題提供了數(shù)學(xué)模型.

人教A版必修五教材應(yīng)用舉例部分不僅把應(yīng)用問題分為距離測量問題、高度測量問題和角度測量問題,而且配備的例題和習(xí)題中的每一組已知條件，常隱含著對這類測量問題在某種特定情境和條件限制下的一個測量方案，在這種情境與條件限制下，別的方案中的量可能無法測量出來，因而不能實(shí)施別的測量方案.所以每一道例題等于提供了一種測量問題的模型.遇到同類問題直接按這種方案測量即可.

數(shù)學(xué)思想是解題的靈魂，因此在教學(xué)中應(yīng)注意思想方法的提煉，幫助學(xué)生把握問題本質(zhì)，確定正確的思維方向，克服解題的盲目性.當(dāng)然要順利解答三角形綜合問題，除了需要強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)作用外，還要具備較強(qiáng)的代數(shù)運(yùn)算能力和三角恒等變換的能力.同時還要注意三角形自身性質(zhì)等隱含條件的挖掘，防止錯解和漏解.