張 弛

(浙江省諸暨市海亮高級中學(xué)302班 311800)

在解決函數(shù)與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合的綜合題中，利用函數(shù)的圖象來分析題目的結(jié)論，尤其是利用直線與曲線相切相關(guān)的一些結(jié)論，往往會使問題變得直觀易懂，那么下面舉例說明.

先來看2018年浙江省數(shù)學(xué)高考題壓軸題：

(1)若f(x)在x=x1，x=x2(x1≠x2)處導(dǎo)數(shù)相等，證明：f(x1)+f(x2)>8-8ln2；

(2)若a≤3-4ln2，證明：對任意的k>0，直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一公共點.

曲線上的點(x0,f(x0))處從左到右的切線斜率的變化情況：-

由圖象可知，當(dāng)a≤3-4ln2時，直線y=kx+a與曲線有唯一交點.

從上面的分析可以看到，此題的命制完全是由曲線與直線相切而來.

從圖象來看，下面的改編題中可以看得更清晰一點：

已知f(x)=-x3+9x2-26x+27.

已知對任意的k>0，直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一公共點，求a的取值范圍.

從此題可以看出，充分利用函數(shù)圖象的切線，可以化繁為簡，讓問題變得直觀明了，下面針對這種如何利用函數(shù)圖象切線的問題做一個總結(jié).

一、直接利用曲線與直線相切來設(shè)計的不等式恒成立問題

我們最常用的曲線的切線有指數(shù)函數(shù)的切線、對數(shù)函數(shù)的切線：

用不等式來表示即是：ex≥x+1；ex≥ex；lnx≤x-1.

例1 (2017·全國卷Ⅱ) 已知函數(shù)f(x)=ax2-ax-xlnx，且f(x)≥0.

(1)求a；

分析第(1)小題的要求可以等價地轉(zhuǎn)化為a(x-1)-lnx≥0，即lnx≤a(x-1)，我們發(fā)現(xiàn)就是研究曲線y=lnx的切線而已，因為lnx≤x-1，所以a=1.

(2006年全國Ⅱ理20)設(shè)函數(shù)f(x)=(x+1)ln(x+1)，若對所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求實數(shù)a的取值范圍.

分析先根據(jù)導(dǎo)數(shù)畫出原函數(shù)草圖

因為曲線f(x)=(x+1)ln(x+1)在原點處的切線方程為y=x，所以結(jié)合圖象及原點處的切線可知：實數(shù)a的取值范圍為a≤1.

甚至可以借用切線來構(gòu)造以下這樣一個題目：

求證：ex≥2+lnx.

分析因為ex≥x+1，lnx≤x-1?x≥1+lnx，所以得證.

二、利用直線與曲線的位置關(guān)系來研究函數(shù)的零點或函數(shù)的極值點的存在性問題

當(dāng)然以上問題的設(shè)計意圖都比較明顯，而且題中給出的函數(shù)一般不需要加以改造與變形，讓我們比較容易想到利用函數(shù)圖象結(jié)合切線的相關(guān)結(jié)論，但也有些問題需要先構(gòu)造合適的函數(shù)，再利用切線的結(jié)論來解決問題，因此在解題分析過程中，觀察表達(dá)式的特點及圖象特點有助于分析問題能力的提升.

分析按常規(guī)方法分析，我們會遇到困難，因為其導(dǎo)數(shù)太奇怪了！

再看下例，充分利用了問題設(shè)計中的鋪墊來引導(dǎo)我們利用曲線的切線來解決問題.

例4 (2015天津)已知f(x)=4x-x4.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)曲線y=f(x)與x軸正半軸的交點為P，曲線y=f(x)在點P處的切線方程為y=g(x)，求證：f(x)≤g(x)；

分析把該函數(shù)的圖象在題中相關(guān)點的切線都求出來：

先求出導(dǎo)函數(shù)f′(x)=4-4x3.

從以上的例題可以看出，對于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合的綜合題，如果充分利用函數(shù)的圖象，尤其是利用函數(shù)圖象的切線相關(guān)結(jié)論，可以使得問題的解決簡單易懂，所以在以后的解題中要加以重視.