甘志國

(北京豐臺二中 100071)

基金項(xiàng)目：本文系北京市教育學(xué)會“十三五”教育科研滾動立項(xiàng)課題“數(shù)學(xué)文化與高考研究”(課題編號FT2017GD003，課題負(fù)責(zé)人：甘志國)階段性研究成果.

高考題(2014年高考安徽卷理科第16題)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別是a，b，c，且b=3，c=1，A=2B.

(1)求a的值；

下面給出第(1)問的兩種解法.

解法1 由A=2B，可得A,2B∈(0,π)，所以

A=2B?cosA=cos2B?cosA=2cos2B-1?

再由題設(shè)b=3，c=1，可得

解法2 (參考答案)由A=2B，可得sinA=sin2B=2sinBcosB.

再由余弦定理，可得

又由正弦定理可得

當(dāng)sinA=sin2B時(shí)，若A+2B=π，由A+B+C=π，可得B=C,b=c，與題設(shè)b>c矛盾！所以當(dāng)A,2B∈(0,π)時(shí)，A=2B與sinA=sin2B不等價(jià).

因而由解法2得到的答案正確.

等價(jià)轉(zhuǎn)化思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在解題中的作用往往體現(xiàn)在化復(fù)雜為簡單、化陌生為熟悉，并且通過等價(jià)轉(zhuǎn)化的結(jié)果是不需要檢驗(yàn)的.

但在數(shù)學(xué)解題中，有很多情形不易、不宜、甚至是不可能進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化(比如，解超越方程、解超越不等式、由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)公式等等)，這時(shí)只有“退而求其次”，可以考慮用“不等價(jià)轉(zhuǎn)化”的方法來解題：常見的方法有“先必要后充分”和“先充分后必要”.

實(shí)際上，“解法2+檢驗(yàn)”的解法就是“先必要后充分”.