黃俊威 楊承翰 張至佳

(湖北省武市漢黃陂區(qū)第一中學(xué) 430300)

楊承翰(2001.11-)，男，在校學(xué)生.

張至佳(2001.2-)，男，在校學(xué)生.

題目一只蟑螂和兩只甲殼蟲在一個(gè)水平大桌面上爬行，每只甲殼蟲的速度都能達(dá)到1cm/s，開始時(shí)，這些蟲子恰好位于一個(gè)等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，問蟑螂應(yīng)具備什么樣的速度才能在兩只甲殼蟲任意移動(dòng)的情況下仍能保持三者分別位于一等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上？

解析首先，假設(shè)第一只甲殼蟲A1不動(dòng)，在時(shí)間Δt內(nèi)，第二只甲殼蟲A2爬行了S2，要保持蟑螂和兩中甲殼蟲在變化后的等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，為協(xié)調(diào)這一關(guān)系，由圖1可知，蟑螂移動(dòng)了TT′=S2=v1Δt.其次，再假設(shè)第二只甲殼蟲A2不動(dòng)，同樣在時(shí)間Δt內(nèi)，第一只甲殼蟲A1爬行了S1，則蟑螂移動(dòng)了T′T″=S1=v1Δt.

上述兩只甲殼蟲的運(yùn)動(dòng)是獨(dú)立的，它們的位移是各自產(chǎn)生的，是遵循矢量的獨(dú)立原理.同時(shí)，矢量也是滿足疊加原理的，我們完全可以想象兩只甲殼蟲的運(yùn)動(dòng)同時(shí)進(jìn)行的，而蟑螂是分別協(xié)調(diào)關(guān)系的，即將兩個(gè)獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)關(guān)系疊加，則由圖2可得蟑螂同時(shí)滿足兩只甲殼蟲隨意運(yùn)動(dòng)的位移協(xié)調(diào)關(guān)系為：TT″=TT′+T′T″.同時(shí)由圖2的矢量關(guān)系

可知;TT″≤TT′+T′T″=(v1+v2)Δt,則v0≤v1+v2=2v=2 cm/s.

即蟑螂必須具備可達(dá)到2 cm/s的速度才能保證三者分別位于一等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上.

筆者認(rèn)為以上的分析表面看起來天衣無縫，但是不是兩只甲殼蟲的速度同向時(shí)蟑螂有最大速度嗎？兩只甲殼蟲速度方向相反時(shí)蟑螂有最小速度嗎？

正解解析

1.建立模型

B(-a+v1cosθ·t,v1sinθ·t),

C(a+v2cosα·t,v1sinα·t)

2.方程的求解

由于三只昆蟲始終組成一個(gè)正三角形，則AB=AC=BC，即

解方程后得

蟑螂的速度方向與水平方向所成的角為

3.討論

(1)當(dāng)θ-α=2π/3時(shí)，蟑螂的速度有最大值v1+v2

(2)當(dāng)α-θ=π/3時(shí)，蟑螂的速度有最小值|v1-v2|

如圖4所示，當(dāng)兩只甲殼蟲的速度方向夾角為120度時(shí)，蟑螂的速度有最大值.

如圖5所示，當(dāng)兩只甲殼蟲的速度方向夾角為60度時(shí)，蟑螂的速度有最小值.

綜上所述，蟑螂的速度范圍是v∈[|v1-v2|,v1+v2]