張學潤

（吉林大學數(shù)學學院，吉林長春 130062）

今天，數(shù)學知識已充分滲透一切學科，它的研究對象也早已從現(xiàn)實世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系擴展為現(xiàn)實世界的任何形式和關(guān)系，甚至還研究在邏輯上可能的形式與關(guān)系。我們作為數(shù)學教育工作者，探求的不僅是數(shù)學知識理論本身，更重要的是理論之外的東西，是探求理論與課堂教學的結(jié)合模式，即如何在傳授知識點本身的同時，在課堂教學中教會學生探求事物間的關(guān)系，培養(yǎng)數(shù)學思維，提升認識世界的能力，這是數(shù)學教育工作者的首要任務。

那么，究竟什么是數(shù)學思維呢？思維是人腦對客觀現(xiàn)實的概括和間接反映，是人腦的基本活動形式，是人的一種高級的心理活動形式。數(shù)學思維就是用數(shù)學思考問題和解決問題的思維活動形式。數(shù)學思維能力主要表現(xiàn)在4個方面：會觀察、比較、猜想、分析、綜合、抽象和概括；會用歸納、演繹和類比等方法進行推理；會合乎邏輯地、準確地闡述自己的思想和觀點；會運用數(shù)學概念、思想和方法辨明各種矛盾和關(guān)系，形成良好的思維品質(zhì)。

1 積分概念橫向教學理論基礎(chǔ)

1.1 教學現(xiàn)狀

高等數(shù)學是大學數(shù)學的三門基礎(chǔ)必修課之一，積分學是其重要組成部分。一元函數(shù)的定積分、二元函數(shù)的二重積分、三重積分、對弧長的曲線積分，對坐標的曲線積分，及對面積的曲面積分、對坐標的曲面積分，構(gòu)成其完備的積分知識體系。內(nèi)容安排設計都是先一元函數(shù)的定積分，再多元函數(shù)重積分，最后線積分，面積分，各占一章，獨立教學。且每章都遵循引例、概念、計算、應用的結(jié)構(gòu)順序，概念清晰，內(nèi)容全面，邏輯嚴謹，意義明顯。各種積分的傳統(tǒng)教學方法都是分割單獨教學，都是從引例入手，詳加分析，強化分割、代替、做和和取極限四步驟，引出特定結(jié)構(gòu)和的極限的積分概念本質(zhì)，再定義各種積分。

雖然教材內(nèi)容設置、章節(jié)安排符合理解概念，探求本質(zhì)，發(fā)展應用的認識規(guī)律。但是嚴格按照積分類別分割章節(jié)，單獨教學，概念講解單一，重復，學生學起來按部就班，了無“新”意，也不利于學生建立知識點間的聯(lián)系，不能更好地建立起積分的知識體系，教學過程也談不上培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力。

1.2 理論基礎(chǔ)

定積分、重積分、第一型曲線積分和第一型曲面積分的概念本質(zhì)是一致的?？紤]在完全學習過定積分之后，學生已經(jīng)掌握定積分就是一元函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]經(jīng)過分割、代替、做和和取極限四步驟得到的特定結(jié)構(gòu)和的極限，即講二重積分概念時，首先引導學生將定積分與二重積分進行類比，包括它們的定義，幾何意義、性質(zhì)等。通過類比，發(fā)現(xiàn)它的定義也是從實際問題出發(fā)，求解由平面有界閉區(qū)域D，非負連續(xù)函數(shù)f（x，y）（x，y）∈D，及以D 的邊界曲線為準線，母線平行于Z 軸的柱面圍成的曲頂柱體的體積。計算過程中也有柱體各點處的高可能不同的矛盾，運用已知表未知，參照定積分概念的引例曲邊梯形面積的處理方法：化整為零，在局部以不變代變，再積零為整。

2 積分概念橫向教學的實踐

2.1 運用類比教學法引導二重積分概念

2.1.1 化整為零求解曲邊梯形面積首先是將其分割成n個小曲邊梯形，是通過將一元函數(shù)f（x）的定義域[a，b]進行劃分得到的。所以在求解取頂柱體體積，化整為零時，考慮將二元函數(shù)函數(shù)f （x，y）（x，y）∈D 的定義域D 進行分割。繼續(xù)類比具體如何分割，曲邊梯形是通過在區(qū)間（a，b）任意插入n-1個分點，將區(qū)間（a，b）分成n個小區(qū)間[x1，xi+1]，i=1，···，n-1 實現(xiàn)的。所以曲頂柱體應該考慮在平面區(qū)域D 內(nèi)任意插入線段進行分割，為討論方便和計算簡單，引人一組平行于軸，軸的直線網(wǎng)格，將平面閉區(qū)域D分割成n個小區(qū)域Δσi，i=1，···，n。

2.1.2 以直代曲

計算每個小區(qū)間上曲邊梯形面積時，在[x1，xi+1]，i=1，···，n-1 內(nèi)任取一點，以其函數(shù)值f（ξi）代替此小曲邊梯形的高，求得其面積為f（ξi）Δxi，進而做和，得到整個曲邊梯形面積的近似值類比曲頂柱體，不難發(fā)現(xiàn)，可以在每個小區(qū)域Δσi，i=1，···，n 內(nèi)任取一點（ξi，ηi），以其函數(shù)值f（ξi'ηi）代替此小曲頂柱體的高，求得其體積為f（ξi，ηi）Δσi，從而得到整個曲頂柱體體積的近似值

2.1.3 積零為整

為把近似值轉(zhuǎn)換為真實值，實現(xiàn)量變到質(zhì)變，曲邊梯形對面積和取極限，并且為保證轉(zhuǎn)換成立，分割無限加細，這里不是對分割個數(shù)n 取趨向無窮時的極限，而是對n個小區(qū)間長度Δxi，i=1，···，n 的最大值λ 取趨向于零時的極限類比曲頂柱體，取極限時，應對n個小區(qū)域長度Δσi，i=1，···，n 的最大值λ 進行趨于零的運算

這樣，通過類比，發(fā)現(xiàn)曲頂柱體也是按分割、代替、做和和取極限四步驟引出的，也可以表示為一種特定結(jié)構(gòu)和的極限。相應于定積分Δxi，這種特定結(jié)構(gòu)和的極限稱為二重積分，記為

2.2 從數(shù)量關(guān)系上橫向擴展積分概念

通過比較曲邊梯形與曲頂柱體，參照定積分定義，將二重積分的概念引入，并且發(fā)現(xiàn)二重積分的實質(zhì)也是一種特定結(jié)構(gòu)和的極限，即ηi）Δσi。由此不難發(fā)現(xiàn)二重積分是定積分從一元函數(shù)到二元函數(shù)的自然推廣，也可以看作從直線到平面，即一維空間到二維空間的擴展。此時引導學生繼續(xù)做橫向擴展，并且不在從有實際意義的引例入手，考慮將積分函數(shù)直接從二元函數(shù)推廣至三元函數(shù)，同時將積分范圍從二維空間的平面域擴展至三維空間的有界閉區(qū)域，相應的也得到一種特定結(jié)構(gòu)和的極限，即并將之稱為三重積分。此時再引導學生考慮三重積分的應用，并引導學生考慮是否有n 重積分，并嘗試定義。這樣，學生的學習積極性就會被充分調(diào)動起來，主動思考并積極討論定義擴展過程中可能出現(xiàn)的問題。繼續(xù)將積分概念做橫向推廣，沖擊學生的思維，引導學生考慮平面曲線段，空間曲線段以及空間曲面上特定結(jié)構(gòu)和的極限：

得到平面線積分，空間曲線積分及曲面積分的概念。最后通過類比，引導學生發(fā)現(xiàn)這幾種積分的定義都是按分割、代替、做和和取極限四步驟引出的，可以表示為一種特定結(jié)構(gòu)和的極限，可以統(tǒng)一表示為當積分Ω 域變化同時取不同被積函數(shù)f（P）時，代表不同的積分，積分學體系自然形成，教學目標完美實現(xiàn)。

3 結(jié)語

從被積函數(shù)、積分區(qū)域入手，運用觀察、比較、分析、歸納、類比的數(shù)學方法，將其他積分概念統(tǒng)一做橫向介紹，合乎邏輯的，準確的闡述其他積分概念，不僅達到向?qū)W生傳授知識的教學目的，更重要的是向其展示了數(shù)學思維的過程，使其思維的廣度、深度和創(chuàng)造性方面的能力得到鍛煉。