摘 要：本文對(duì)一題多變的概念、一題多變的作用進(jìn)行分析，例如加深對(duì)知識(shí)的理解起到的作用；使學(xué)生更好地區(qū)分易錯(cuò)、易混淆的知識(shí)；激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情；促進(jìn)學(xué)生知識(shí)系統(tǒng)化；鍛煉學(xué)生思維。在此基礎(chǔ)上，希望能夠給高中數(shù)學(xué)教學(xué)人員提供一些借鑒性，使高中教學(xué)模式處于積極的發(fā)展趨勢(shì)中，促進(jìn)學(xué)生思維能力的不斷開(kāi)發(fā)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；一題多變；教學(xué)

高中數(shù)學(xué)的教學(xué)容易陷入題海之中，但在數(shù)學(xué)的課堂上，問(wèn)題是不可或缺的元素。在課堂上問(wèn)題是教學(xué)的靈魂、是教學(xué)的核心，提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力更是高中生不可缺少的。如何在45分鐘有限的課堂教學(xué)過(guò)程中更有效地設(shè)置問(wèn)題，充分把高中數(shù)學(xué)課堂的效率提高？本文就一題多變?cè)谶@方面所起的一些作用，依據(jù)個(gè)人在教學(xué)中積累的經(jīng)驗(yàn)，談一些個(gè)人的心得和觀點(diǎn)。

一、 一題多變的概念

一題多變，是通過(guò)變換題目中的條件，或更換題目中的數(shù)據(jù)，或更改題目中要求的或要證明的結(jié)論等，把一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行演變，使得原本沒(méi)有關(guān)系的不同問(wèn)題，可以同時(shí)呈現(xiàn)，可以有機(jī)結(jié)合在一起。讓學(xué)生感受到不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題之間是相互關(guān)聯(lián)的，不同數(shù)學(xué)知識(shí)之間是有聯(lián)系的。高中數(shù)學(xué)不是一門簡(jiǎn)單地將知識(shí)、問(wèn)題堆砌在一起的學(xué)科。把一道問(wèn)題進(jìn)行變換后，學(xué)生不會(huì)處于思維定式的狀態(tài)中，思維會(huì)處于多元化的發(fā)展模式中，學(xué)生會(huì)用不同的角度對(duì)一道題目進(jìn)行多方位的較全面、更深入思考。最終，促使學(xué)生的思維呈現(xiàn)多樣化的發(fā)展模式，學(xué)生將從固有的思維框架、思維模式中解脫出來(lái)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)的思維方式的不斷改進(jìn)，促使學(xué)生的整體思維能力獲得較大程度的提升。

二、 一題多變?cè)诮虒W(xué)中的優(yōu)勢(shì)

（一） 加深對(duì)知識(shí)的理解

一題多變具有十分重要的作用，在教師對(duì)數(shù)學(xué)題目進(jìn)行不斷變化的情況下，能加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，使學(xué)生能較好地掌握各種數(shù)學(xué)知識(shí)。在課堂上進(jìn)行一題多變的訓(xùn)練，能夠加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解、加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的記憶。

講授導(dǎo)數(shù)的概念時(shí)，有這樣的一個(gè)例題：已知函數(shù)y=x2+1，求在x∈[1，2]的平均變化率。這個(gè)例題可作下面改變：

變式① 已知函數(shù)y=x2+1，求這個(gè)函數(shù)在x0=1附近的平均變化率；

變式② 已知函數(shù)y=x2+1，求這個(gè)函數(shù)在區(qū)間[1，1+Δx]平均變化率；

變式③ 已知函數(shù)y=x2+1，求這個(gè)函數(shù)在x0=1處的瞬時(shí)變化率。

學(xué)生針對(duì)不斷變化的問(wèn)題進(jìn)行逐步深入的思考，使學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)的概念有全面的了解，使學(xué)生對(duì)此部分知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行全面的深化，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)的概念的全面理解。通過(guò)條件不變的前提下，改變出來(lái)三個(gè)問(wèn)題，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，有舊知逐漸向新知過(guò)渡，符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，使學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)的認(rèn)識(shí)更加深刻。

（二） 促使學(xué)生知識(shí)體系更系統(tǒng)化

在課堂上進(jìn)行一題多變的訓(xùn)練，可以把較分散的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)在一起，把不同的數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系在一起，有助于學(xué)生把紛繁復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)、知識(shí)系統(tǒng)。

例如在線性規(guī)劃的練習(xí)課上，有這樣的一個(gè)例題：（2016·全國(guó)卷Ⅲ）若x，y滿足約束條件x-y+1≥0，x-2y≤0，x+2y-2≤0，則z=x+y的最大值為 。條件不做改變，所求的可作如下改變：變式① 求z=y-1x+1的最大值；變式② 求z=x2+y2的最大值；變式③ 目標(biāo)函數(shù)z=y-ax（a∈R），若z取最大值時(shí)，唯一的最優(yōu)解為1，12，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。通過(guò)對(duì)一道線性規(guī)劃的高考題的改編，把線性規(guī)劃問(wèn)題中常見(jiàn)的線性目標(biāo)、斜率目標(biāo)、距離目標(biāo)和含參數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題整合在一起，使學(xué)生解決這個(gè)問(wèn)題后，明確線性規(guī)劃問(wèn)題中有哪些知識(shí)點(diǎn)是要掌握的，使學(xué)生線性規(guī)劃的知識(shí)形成體系。在教師把一道問(wèn)題進(jìn)行精心變換的情況下，學(xué)生解決這些問(wèn)題的同時(shí)，對(duì)這個(gè)模塊的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行了整合，促使學(xué)生對(duì)模塊知識(shí)的消化吸收，從而更加系統(tǒng)地把握這塊數(shù)學(xué)知識(shí)。

（三） 鍛煉學(xué)生的思維

把問(wèn)題進(jìn)行改造，增加問(wèn)題的難度，從而使問(wèn)題更加靈活，使問(wèn)題更加富有挑戰(zhàn)性，學(xué)生要在原問(wèn)題的基礎(chǔ)上更深入去理解與這個(gè)問(wèn)題有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，增加學(xué)生思考問(wèn)題的深度和廣度，使學(xué)生在問(wèn)題解決的同時(shí)，拓寬了自己的知識(shí)面，開(kāi)闊了自己的眼界，從而鍛煉了學(xué)生的思維。

例如書(shū)本上有一道練習(xí)：已知點(diǎn)P（-1，2），一條光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P照射到x軸后，反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q（3，5），問(wèn)光線經(jīng)過(guò)的最短路徑是多少？變式：已知點(diǎn)P（-1，2），一條光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P照射到直線l：y=x后，反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q（3，5），問(wèn)光線經(jīng)過(guò)的最短路徑是多少。把點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱問(wèn)題，改變?yōu)辄c(diǎn)關(guān)于一般直線對(duì)稱問(wèn)題，使問(wèn)題更一般化，鍛煉了學(xué)生從特殊到一般的思維能力。

原問(wèn)題：（2016昆明一中月考）點(diǎn)P是拋物線y2=4x上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)B（3，2），點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，求|PB|+|PF|的最小值。

變式① 點(diǎn)P是拋物線y2=4x上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)B（3，2），直線l1是拋物線的準(zhǔn)線，求點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離與|PB|的和的最小值。

變式② 點(diǎn)P是拋物線y2=4x上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)B（3，2），點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，求|PB|-|PF|的最大值。

變式③ 點(diǎn)P是拋物線y2=4x上的動(dòng)點(diǎn)，直線l1是拋物線的準(zhǔn)線，直線l2：3x-4y+24=0，求點(diǎn)P到直線l1與到直線l2的距離之和的最小值。

把動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離和的最小值的問(wèn)題，改變?yōu)閯?dòng)點(diǎn)到定直線與定點(diǎn)距離之和的最小值的問(wèn)題，改變?yōu)閯?dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之差的最大值的問(wèn)題，改變?yōu)閯?dòng)點(diǎn)到兩定直線距離之和的最小值問(wèn)題，問(wèn)題由簡(jiǎn)單逐漸復(fù)雜，但都是圍繞著動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的距離展開(kāi)，學(xué)生可以通過(guò)這些問(wèn)題感受數(shù)學(xué)問(wèn)題中的變與不變，使學(xué)生進(jìn)一步深入理解：“在任意一個(gè)三角形中，其中三邊中任意兩邊的和大于第三邊，三邊中任意兩邊的差小于第三邊?！?/p>

在數(shù)學(xué)課堂上把好的題目，經(jīng)過(guò)難度升級(jí)，延展有關(guān)知識(shí)，不僅可以很好鍛煉學(xué)生思維，還有助學(xué)生更深入理解與之有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)。

（四） 激發(fā)學(xué)生解決問(wèn)題的興趣

興趣是學(xué)生的最好老師，課堂上教師如何激發(fā)學(xué)生探究問(wèn)題的興趣，吸引他們的注意力？在課堂上設(shè)置問(wèn)題情境時(shí)，通過(guò)改造問(wèn)題，讓問(wèn)題中融入實(shí)際生活中元素，使問(wèn)題更有親切感，拉近問(wèn)題與學(xué)生之間的距離，也可以讓問(wèn)題增加趣味性元素，使學(xué)生可以從不一樣的角度看待問(wèn)題，從而激發(fā)學(xué)生解決問(wèn)題的興趣，更加積極投入課堂學(xué)習(xí)中。

例如在講授線面垂直概念時(shí)，一般通過(guò)觀察生活中的圖片，歸納出線與面的位置關(guān)系。可改變?yōu)樵O(shè)置如下兩個(gè)問(wèn)題：

①請(qǐng)?jiān)诓煌臅r(shí)間，觀察并記錄學(xué)校升旗的旗桿與它在地面上影子的關(guān)系，你能得到旗桿與地面有什么關(guān)系？

②觀察當(dāng)我們轉(zhuǎn)動(dòng)教室的門，門軸與門框所在的直線是什么關(guān)系，你能得到門軸與地面有什么關(guān)系？

這兩個(gè)問(wèn)題都是以生活中常見(jiàn)元素為背景，會(huì)使學(xué)生更認(rèn)證觀察，從而得到線要與面垂直，要垂直于面上任一條直線。

例如在講授二分法時(shí)，可設(shè)置如下兩個(gè)問(wèn)題：

①在一個(gè)正方形的房間里發(fā)現(xiàn)了一只老鼠，請(qǐng)問(wèn)怎么做能快速地找到老鼠？

②綜藝節(jié)目中經(jīng)常有這樣的游戲：給一個(gè)商品，給一個(gè)商品價(jià)格所在的區(qū)間，如何在限定時(shí)間內(nèi)快速猜出商品的價(jià)格？

這兩個(gè)問(wèn)題都是以生活為背景，學(xué)生通過(guò)聯(lián)系生活經(jīng)驗(yàn)可得到用二分法解決事半功倍。

在數(shù)學(xué)必修5等比數(shù)列前n項(xiàng)和是以這樣一個(gè)故事引入：國(guó)際象棋起源于古代印度，國(guó)王要給象棋的發(fā)明者獎(jiǎng)賞，問(wèn)他想要什么獎(jiǎng)賞，發(fā)明者說(shuō)：“請(qǐng)?jiān)谙笃宓钠灞P的第一個(gè)網(wǎng)格里放一粒小麥，在第二個(gè)網(wǎng)格里放兩粒小麥，第三個(gè)網(wǎng)格里放四粒小麥，依此類推，每一個(gè)網(wǎng)格里的小麥的數(shù)量是前一個(gè)網(wǎng)格的兩倍，直到64個(gè)網(wǎng)格全部放完?！眴?wèn)國(guó)王是否能滿足這位發(fā)明者提出的要求？也可以設(shè)置這樣的一個(gè)有趣故事：一個(gè)大學(xué)數(shù)學(xué)教授經(jīng)常被一個(gè)朋友嘲笑：他教的數(shù)學(xué)是毫無(wú)用處。

一天教授氣不過(guò)跟這個(gè)朋友打一個(gè)賭：教授每一天給他朋友100元，連續(xù)給30天；他朋友第一天給教授1角，第二天給2角，第三天給4角，依此類推，以后每一天給的錢的數(shù)量是前一天的兩倍。請(qǐng)問(wèn)教授的朋友可以接受這個(gè)賭約嗎？這個(gè)賭約中涉及兩種數(shù)列的前n和，一個(gè)是等差數(shù)列，一個(gè)是等比數(shù)列，通過(guò)它們和的強(qiáng)烈反差的對(duì)比，吸引學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的強(qiáng)烈的求知欲。最終使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)能力處于全面提升的狀態(tài)中，提升學(xué)習(xí)的積極性，并喜歡上數(shù)學(xué)這門科目，積極地投入到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中。

（五） 更好區(qū)分易錯(cuò)、易混知識(shí)

在講解習(xí)題時(shí)，有些問(wèn)題學(xué)生經(jīng)常會(huì)犯一些小錯(cuò)誤，可以通過(guò)改變問(wèn)題，讓學(xué)生對(duì)錯(cuò)誤原因有更深刻的理解，掌握好該知識(shí)點(diǎn)。

例如有這樣的一道導(dǎo)數(shù)的問(wèn)題：已知函數(shù)f（x）=x3-ax-1在（0，1）上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的范圍?？勺魅缦赂淖儯阂阎瘮?shù)f（x）=x3-ax-1，單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），求實(shí)數(shù)a。

通過(guò)原題與變式比較，學(xué)生可以更好區(qū)分清楚，“在（0，1）上單調(diào)遞減”與“單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）”是不同的概念，后者整個(gè)函數(shù)只有一個(gè)減區(qū)間，前者這個(gè)區(qū)間只是函數(shù)的減區(qū)間之一或某個(gè)減區(qū)間的子區(qū)間。

含有參數(shù)的一元二次不等式的問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)，學(xué)生遇到這樣的問(wèn)題總是不知道根據(jù)什么進(jìn)行分類討論，如何通過(guò)問(wèn)題向?qū)W生展示比較全面的分類討論的方法及依據(jù)？有這樣的一個(gè)問(wèn)題：解關(guān)于x的不等式x2-ax-2a2<0（a∈R）。可作如下改變：

①解關(guān)于x的不等式ax2-（a+1）x+1<0（a∈R）。

②解不等式x2-x+a<0（a∈R）。

原題可因式分解得到相應(yīng)方程的兩根，根據(jù)兩根的大小關(guān)系進(jìn)行討論；

變式①中二次項(xiàng)的系數(shù)是參數(shù)a，要對(duì)a>0、a=0、a<0進(jìn)行分類討論；

變式②要根據(jù)判別式Δ>0、Δ=0、Δ<0進(jìn)行分類討論。

通過(guò)這三個(gè)問(wèn)題，向?qū)W生展示了如何對(duì)含參一元二次不等式進(jìn)行討論，使學(xué)生能更好區(qū)分不同情況下如何對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論。

總之，一題多變作為一種常規(guī)教學(xué)方式，在課堂上運(yùn)用好了，會(huì)提高課堂效率，提升學(xué)生學(xué)習(xí)效果，提升學(xué)生讀題、解題能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

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作者簡(jiǎn)介：

毛祚欽，福建省福清市，福建省福清第三中學(xué)。