張 玢

(渭南師范學院 網(wǎng)絡安全與信息化學院，陜西 渭南 714099)

0 引言

耦合混沌系統(tǒng)在實際系統(tǒng)中廣泛存在，如生態(tài)系統(tǒng)、神經(jīng)網(wǎng)絡、化學反應系統(tǒng)、物理系統(tǒng)，以及社交、金融、工程等許多領域。[1-2]通常情況下，耦合會使系統(tǒng)行為同步化。對耦合混沌系統(tǒng)同步的開創(chuàng)性研究始于1990年，Pecora和Carroll[3]在實驗中實現(xiàn)兩個耦合混沌系統(tǒng)的同步，提出混沌同步的方法，并討論混沌同步軌道的穩(wěn)定性。自此，科學家對耦合混沌系統(tǒng)的同步化進行了大量研究。研究發(fā)現(xiàn)，隨著耦合強度和動力學內稟屬性的不同，耦合混沌系統(tǒng)的同步行為會表現(xiàn)出不同的形式[4-6]，如完全同步[7-9]、廣義同步[10-12]、相同步[13-15]、部分同步[16-18]、時滯同步[19-21]等等。

然而，在弱耦合的情況下，系統(tǒng)會展現(xiàn)出一些奇特的現(xiàn)象。Zhou Yin-zuo小組在研究基于無標度網(wǎng)絡的耦合邏輯斯蒂映像時，研究了弱耦合時系統(tǒng)的集體動力學行為。[22]隨著耦合強度的增加，對于選擇兩帶混沌融合后的分岔參數(shù)的系統(tǒng)而言，作者發(fā)現(xiàn)了以下兩個有趣的現(xiàn)象：第一，在耦合強度非常弱的情況下，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)最大李雅普諾夫指數(shù)突然減小，這意味著系統(tǒng)的集體動力學行為會變得更加有規(guī)律，進一步研究表明，系統(tǒng)處于延遲相同步狀態(tài)，并且每個節(jié)點的時間序列都是周期五。有意思的是，在該區(qū)間之外，沒有表現(xiàn)出周期行為。因此，穩(wěn)定的周期五軌道是由相鄰節(jié)點之間的弱耦合引發(fā)的。第二，對于弱耦合區(qū)域，耦合不足夠引發(fā)全局相同步，因此會存在許多方向相集團。一般而言，集團的個數(shù)會隨著耦合強度的增加而不斷減少。但作者觀測到，隨著耦合強度的增加，方向相集團的個數(shù)在不斷增加，直到大于臨界耦合強度時，集團個數(shù)才會不斷減少。筆者在基于模塊網(wǎng)絡的耦合邏輯斯蒂映像的研究中，也發(fā)現(xiàn)存在一個弱耦合強度區(qū)間，該區(qū)間內系統(tǒng)處于延遲相同步狀態(tài)，并且每個節(jié)點的時間序列都是周期五的。

總結兩篇文章的相同點，相同的動力學系統(tǒng)，相同的耦合方式，均發(fā)現(xiàn)了系統(tǒng)在一定的弱耦合強度下處于延遲相同步狀態(tài)。不同點為網(wǎng)絡不同，動力學的參數(shù)雖然不同，但都處于一帶混沌區(qū)，系統(tǒng)表現(xiàn)出周期行為所處的耦合強度區(qū)間不同，隨著耦合強度的增加，方向相集團個數(shù)的變化規(guī)律不同。由此可見，弱耦合對系統(tǒng)的影響非常復雜，但又具有一定的共性，該課題的研究應引起足夠的重視。然而, 以上研究均局限在特定動力學參數(shù)、特定網(wǎng)絡結構下，并未做系統(tǒng)性研究。由此引發(fā)思考:動力學參數(shù)不同時，弱耦合對系統(tǒng)的影響是否相同；網(wǎng)絡結構不同時，弱耦合對系統(tǒng)的影響又是怎樣的。本文引入一個序參量來刻畫系統(tǒng)的集體行為，基于耦合映像格子，在弱耦合時，對動力學參數(shù)做系統(tǒng)性研究?；诓煌木W(wǎng)絡結構時，該序參量也能夠準確判斷出系統(tǒng)方向相的狀態(tài)，并與Liu小組和筆者的研究結果相印證。

1 模型

筆者采用周期邊界條件的二維耦合映像格子，每個格點的動力學行為滿足如下方程：

xt+1(i,j)=f(xt(i,j))+ε[f(xt(i+1,j))+f(xt(i-1,j))+

f(xt(i,j+1))+f(xt(i,j-1))]/4。

(1)

其中：ε為耦合強度，f(x)為每個格點的動力學方程，選擇邏輯斯蒂映像，采用的系統(tǒng)尺寸為L×L(L=100)。

對于邏輯斯蒂映像f(x)=μx(1-x)，μ是其分岔參數(shù)，μ∈[1,4]，并且0

(a)分岔圖； (b)序參量r和分岔參數(shù)μ的關系

研究表明，當μ<μ1時，x的迭代遵循一個向上方向連著一個向下方向的規(guī)律。當μ>μ1時，會出現(xiàn)連續(xù)兩個向上方向。[23]基于此，作者引入了方向相的定義。對于格點i，如果t+1時刻x的值大于t時刻x的值，表明它處于向上相位，并標記為“+1”；反過來則表明處于向下相位，標記為“-1”。用St(i)表示方向相，其定義如下：

(2)

2 數(shù)值模擬

本文主要研究弱耦合對系統(tǒng)集體行為的影響。分別用序參量r和格點的時間序列來描述系統(tǒng)的集體動力學行為,序參量的定義如下:

(3)

為了得到更多的認識，先對單映像時μ與r的關系進行研究，如圖1所示。從圖1(a)可以看出，在μ1處，出現(xiàn)了兩帶融合的現(xiàn)象。該處的融合是由于不穩(wěn)定周期一軌道和混沌吸引子碰撞所引起的混沌危機。[24]對于μ<μ1，r=1，表明系統(tǒng)處于方向相有序狀態(tài)，從x的時間序列圖2(a)中可以看到，系統(tǒng)只存在一上一下的方向相。對于μ>μ1，r=0，表明系統(tǒng)處于方向相無序狀態(tài)，存在連續(xù)兩個向上的方向相，如圖2(b)所示。與此同時，對應周期窗口處，r有非零值。

(a)μ=3.65； (b) μ=3.75

對單映像有了一定的了解之后，再考慮二維耦合映像格子(公式(1))。圖3描述了對于耦合映像格子在不同耦合強度下，序參量r隨著μ的變化關系。從圖3可見，隨著耦合強度的增加，存在臨界分叉參數(shù)μc，在該處r值突然變?yōu)?。從圖3中還可以看出，μc隨著耦合強度的增加而增加。另外，周期窗口的參數(shù)區(qū)間，隨著耦合強度的增加不斷變化，直到ε=0.017時，周期窗口完全消失。由此可見，利用序參量r，可以有效地識別系統(tǒng)方向相所處的狀態(tài)，并且能夠準確地判斷出分岔參數(shù)的臨界點，以及周期窗口所在的分岔參數(shù)區(qū)間和所需耦合強度大小。

圖3 不同耦合強度下序參量r與分岔參數(shù)μ的關系

進一步研究發(fā)現(xiàn)，弱耦合對系統(tǒng)集體動力學行為有3種類型的影響，下面通過x的時間序列來具體刻畫。第一類，無耦合時系統(tǒng)方向相無序，有耦合后先處于周期狀態(tài)，隨著耦合強度進一步增加，方向相又變?yōu)闊o序狀態(tài)。選取μ=3.866舉例說明。從圖4中可以看出，當ε=0時，任意3個相連格點的方向相處于無序狀態(tài)。然而耦合強度有微弱增加時，如ε=0.013，系統(tǒng)就會處于周期運動狀態(tài)。隨著耦合強度進一步增加，ε=0.017，系統(tǒng)的方向相又變?yōu)闊o序狀態(tài)。

參數(shù)為μ=3.866，耦合強度分別為(a) ε=0； (b) ε=0.013； (c) ε=0.017

第二類，無耦合時系統(tǒng)方向相無序，有耦合后變?yōu)橛行驙顟B(tài)。以ε=3.7為例，從圖5可以看到，當耦合強度從0增加到0.016時，系統(tǒng)的方向相從無序變?yōu)橛行驙顟B(tài)。

參數(shù)為μ=3.7，耦合強度分別為(a) ε=0； (b) ε=0.016

第三類，無耦合時系統(tǒng)方向相是周期狀態(tài)，有耦合后變成無序狀態(tài)。圖6展示ε=3.742時x的時間序列。很明顯，弱耦合使得系統(tǒng)的方向相從周期五的相延遲同步狀態(tài)，轉變?yōu)闊o序狀態(tài)。

參數(shù)為μ=3.742，耦合強度分別為(a) ε=0； (b) ε=0.013

3 結論

本文研究了弱耦合對二維耦合邏輯斯蒂映像格子系統(tǒng)的集體動力學行為的影響，基于方向相引入了序參量，用其刻畫了系統(tǒng)方向相的狀態(tài)，并對動力學分岔參數(shù)做了系統(tǒng)研究。研究結果表明，弱耦合對系統(tǒng)集體行為的影響非常復雜。首先，弱耦合的作用能夠引起周期窗口消失。其次，弱耦合對無耦合時系統(tǒng)方向相處于無序狀態(tài)的影響路徑有兩種：第一，隨著耦合強度的增加，系統(tǒng)會先經(jīng)歷周期狀態(tài)，再變?yōu)闊o序狀態(tài)。第二，有了弱耦合的作用，系統(tǒng)方向相會直接從無序狀態(tài)變?yōu)橛行驙顟B(tài)。最后，當系統(tǒng)無耦合處于周期狀態(tài)時，弱耦合使系統(tǒng)集體動力學行為變?yōu)闊o序狀態(tài)。值得一提的是，用本文的研究方法能夠得到與Zhou Yin-zuo小組相同的結論。此外，本文只局限于一種網(wǎng)絡拓撲結構，并未對同種網(wǎng)絡拓撲結構的屬性變化以及不同網(wǎng)絡拓撲結構進行研究，這將是我們后續(xù)工作的研究方向。