王 寶 元

(呂梁學(xué)院汾陽師范分校 數(shù)學(xué)與科學(xué)系，山西 汾陽 032200)

通常情況下，電荷之間的超距作用和場(chǎng)的作用在電荷處于靜止時(shí)并沒有差別，不同的電荷分布導(dǎo)致電場(chǎng)具體性狀存在很大差異.因此，對(duì)靜電場(chǎng)線的性狀分布進(jìn)行科學(xué)描述，能夠更加直觀而又全面地展現(xiàn)電場(chǎng)圖像.本文基于實(shí)驗(yàn)測(cè)繪法和計(jì)算機(jī)模擬法，結(jié)合穩(wěn)恒電流場(chǎng)和靜電場(chǎng)能夠滿足相同數(shù)學(xué)方程的條件，獲得靜電場(chǎng)分布情況，并對(duì)其進(jìn)行測(cè)繪.

1 靜電場(chǎng)測(cè)繪實(shí)驗(yàn)原理

測(cè)繪靜電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)分布情況有兩種方法：實(shí)驗(yàn)法和計(jì)算機(jī)模擬法.如果僅采用實(shí)驗(yàn)測(cè)量方法進(jìn)行測(cè)繪，會(huì)因?qū)嶒?yàn)操作過程或儀器設(shè)備不當(dāng)而造成各種誤差；同時(shí)，在實(shí)驗(yàn)過程中很難保證穩(wěn)恒電流場(chǎng)與靜電場(chǎng)邊界條件一致，導(dǎo)致理想靜電場(chǎng)分布與實(shí)測(cè)數(shù)值之間存在很大出入.采用實(shí)驗(yàn)測(cè)量與計(jì)算機(jī)模擬計(jì)算兩種方法，基于靜電場(chǎng)和穩(wěn)恒電流場(chǎng)邊界條件唯一性原理，分別采用兩同軸圓電極和兩平行直電極模型，對(duì)真空狀態(tài)下帶等量異號(hào)電荷的長平行輸電線和長同軸電纜在任一與導(dǎo)線垂直平面內(nèi)的電場(chǎng)分布情況進(jìn)行模擬[1].

在模擬實(shí)驗(yàn)中，根據(jù)靜電場(chǎng)電荷守恒定律與方程，可知電流場(chǎng)和靜電場(chǎng)電勢(shì)u均滿足泊松方程，對(duì)于靜電場(chǎng)有：

(1)

其中，ρ為電荷體密度；ε為介電常數(shù)；u為電流場(chǎng)和靜電場(chǎng)電勢(shì).

對(duì)于電流場(chǎng)有：

Δ2u=-f.

(2)

其中，f為電流源強(qiáng)度分布.

在式(1)和式(2)中，當(dāng)f=0且ρ=0時(shí)，在該區(qū)域內(nèi)無靜電荷存在.此時(shí)，結(jié)合式(1)和式(2)可得如下調(diào)和方程(也稱拉普拉斯方程)：

Δ2u=0.

(3)

式(3)表示穩(wěn)恒電流場(chǎng)和靜電場(chǎng)二者同時(shí)能夠滿足的數(shù)學(xué)方程式.為了使運(yùn)算結(jié)果簡單化，得到精確的模擬數(shù)值，本文只考慮二維場(chǎng)的存在，則式(3)以二維調(diào)和方程表示為：

(4)

2 靜電場(chǎng)測(cè)繪實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?/h2>

通常對(duì)靜電場(chǎng)進(jìn)行測(cè)繪時(shí)，采用的主要模型為兩平行直電極和兩同軸圓電極.在兩平行直電極模型(見圖1)中，A與B分別表示連接于均勻?qū)щ姳又械膬蓚€(gè)直柱電極.當(dāng)電源接通后，在導(dǎo)電薄層平面內(nèi)會(huì)產(chǎn)生穩(wěn)恒電流場(chǎng).此時(shí)，穩(wěn)恒電流場(chǎng)邊界條件包括導(dǎo)電媒質(zhì)層與空氣接觸邊緣和兩個(gè)導(dǎo)電極兩部分[2].

圖1中的A和B兩直柱電極均為等勢(shì)體，電極條件為第一類邊界條件.在兩種導(dǎo)電媒質(zhì)分界面中，穩(wěn)恒電流場(chǎng)第一類邊界條件與靜電場(chǎng)邊界條件相似，其符合靜電場(chǎng)中電位移法向量和電勢(shì)連續(xù)邊界條件，即滿足如下條件：

J1n=J2n.

(5)

其中,j為穩(wěn)恒電流密度；n為電位移法向量.

u1=u2.

(6)

圖1 穩(wěn)恒電流場(chǎng)測(cè)繪時(shí)的兩平行直電極模型

結(jié)合歐姆定律可知，在第二類邊界條件中，穩(wěn)恒電場(chǎng)中電場(chǎng)強(qiáng)度和電流密度的法向量為0，即穩(wěn)恒電流電場(chǎng)線與其邊界區(qū)域平行.

圖2為兩同軸圓電極模型，圖中圓柱導(dǎo)體A的軸和半徑為R的圓筒導(dǎo)體B的軸重合.其中，圓柱導(dǎo)體A與圓筒導(dǎo)體B分別與直流穩(wěn)壓電源正負(fù)極相連.當(dāng)圓筒導(dǎo)體B與圓柱導(dǎo)體A接觸某一均勻?qū)щ娒劫|(zhì)薄層時(shí)，此時(shí)會(huì)有徑向電流在圓筒導(dǎo)體B與圓柱導(dǎo)體A柱面與筒面之間產(chǎn)生，從而構(gòu)建起一個(gè)穩(wěn)恒電流場(chǎng).若電極導(dǎo)體和導(dǎo)電媒質(zhì)(如導(dǎo)電紙)分別為導(dǎo)體與絕緣體時(shí)，可將電極表面作為一等勢(shì)面.在此狀態(tài)下，導(dǎo)電介質(zhì)中帶有靜電的導(dǎo)體表面同樣為等勢(shì)面，即靜電場(chǎng)中電極電勢(shì)值屬于第一類邊界條件[3].

圖2 靜電場(chǎng)測(cè)繪時(shí)兩同軸圓電極模型

3 靜電場(chǎng)測(cè)繪實(shí)驗(yàn)與計(jì)算機(jī)模擬結(jié)果分析

在實(shí)驗(yàn)測(cè)繪分析時(shí)，基于有限差分法將電勢(shì)所能滿足的一類與二類邊界條件和拉普拉斯方程均轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的差分方程.在此基礎(chǔ)上，基于數(shù)學(xué)迭代方法，對(duì)模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，以此求得二維平面內(nèi)靜電場(chǎng)各點(diǎn)電勢(shì)的數(shù)值解.最終，分別得到穩(wěn)恒電場(chǎng)兩平行直電極模型下的電勢(shì)分布圖(見圖3)與等勢(shì)線圖(見圖4)及兩同軸圓電極模型下的靜電場(chǎng)電勢(shì)分布圖(見圖5)與等勢(shì)線圖(見圖6).

在穩(wěn)恒電場(chǎng)兩平行直電極模型中，分別將半徑r0=0.5 cm的A和B兩電極對(duì)稱置于邊長為15 cm的正方形導(dǎo)電媒質(zhì)薄層(導(dǎo)電紙)中心，兩電極圓心相距4 cm，兩電極電源電勢(shì)V0=10 V，A和B兩電極電勢(shì)分別為5 V和-5 V.從圖3和圖4可以看出，在正方形導(dǎo)電媒質(zhì)薄層(導(dǎo)電紙)邊緣，穩(wěn)恒電場(chǎng)兩平行直電極模型下的等勢(shì)線同等勢(shì)邊界垂直，由此證實(shí)了模擬實(shí)驗(yàn)中提出的假設(shè)“穩(wěn)恒電流電場(chǎng)線與其邊界區(qū)域平行”.

圖3 穩(wěn)恒電場(chǎng)兩平行直電極模型下的電勢(shì)分布圖

圖4 穩(wěn)恒電場(chǎng)兩平行直電極模型下的等勢(shì)線

圖5 靜電場(chǎng)兩同軸圓電極模型下的電勢(shì)分布圖

圖6 靜電場(chǎng)兩同軸圓電極模型下的等勢(shì)線圖

在靜電場(chǎng)兩同軸圓電極模型中，采用同樣的方法分別將r0=0.5 cm的A和B兩電極對(duì)稱置于一邊長為15 cm的正方形導(dǎo)電媒質(zhì)薄層(導(dǎo)電紙)中心，兩電極圓心相距5 cm，兩電極電源電勢(shì)V0=10 V，A和B兩電極電勢(shì)分別為5 V和-5 V，從圖5和圖6中可以看出，電勢(shì)在A和B兩電極中心電極周邊變化十分快，離A和B兩電極的中心以及電極越遠(yuǎn)，電勢(shì)變化速度越慢.

為了進(jìn)一步凸顯導(dǎo)電媒質(zhì)薄層(導(dǎo)電紙)邊緣的靜電場(chǎng)效應(yīng)，在計(jì)算機(jī)模擬計(jì)算過程中，可使導(dǎo)電媒質(zhì)薄層(導(dǎo)電紙)足夠大，從而確保A和B兩電極均勻置于導(dǎo)電紙中心區(qū)域.在原來15 cm×15 cm的基礎(chǔ)上，適當(dāng)將導(dǎo)電紙放大至75 cm×75 cm，以同樣的電極圓心距離、電源電勢(shì)、電極電勢(shì)條件，在計(jì)算機(jī)中模擬繪制穩(wěn)恒電場(chǎng)兩平行直電極模型下的等勢(shì)線圖和靜電場(chǎng)兩同軸圓電極模型下的等勢(shì)線圖，最終得到大導(dǎo)電紙中心部分的等勢(shì)線圖(見圖7).

通過對(duì)比可以看出，圖4與圖7之間明顯存在差異：遠(yuǎn)離A和B兩電極邊緣等勢(shì)線(±3 V，±4 V)無明顯變化，但遠(yuǎn)離A和B兩電極邊緣的等勢(shì)線(±1 V，±2 V)發(fā)生了明顯變化；靠近A和B兩電極邊緣的等勢(shì)線(±3 V，±4 V)無明顯變化，但靠近A和B兩電極邊緣的等勢(shì)線(±1 V，±2 V)發(fā)生了明顯變化.由此表明，距離導(dǎo)電媒質(zhì)薄層(導(dǎo)電紙)邊緣越遠(yuǎn)，導(dǎo)電媒質(zhì)薄層(導(dǎo)電紙)的邊緣效應(yīng)越弱.從圖7可以看出，等勢(shì)線幾何形狀與偏心圓接近，與靜電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)分布理論相符.由此說明，采用計(jì)算機(jī)模擬計(jì)算方法得到的等勢(shì)線圖與理想的靜電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)分布圖更為接近.

圖7 穩(wěn)恒電場(chǎng)與靜電場(chǎng)在大導(dǎo)電紙中心部分的等勢(shì)線圖

4 結(jié)語

本研究采用實(shí)驗(yàn)測(cè)繪法與計(jì)算機(jī)模擬計(jì)算兩種方法，詳細(xì)對(duì)靜電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)分布狀況進(jìn)行描述.通過定性描述與定量分析，得到了不同邊界條件下的靜電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)分布等勢(shì)線圖.研究結(jié)果表明，基于計(jì)算機(jī)模擬方法模擬靜電場(chǎng)電勢(shì)分布狀態(tài)，結(jié)果較為準(zhǔn)確、客觀，能夠減少因?qū)嶒?yàn)操作過程或儀器設(shè)備不當(dāng)帶來的誤差，擬合結(jié)果接近理想的靜電場(chǎng)分布狀況.