■王佩其

解三角函數(shù)問(wèn)題往往離不開(kāi)三角恒等變換，離開(kāi)了三角恒等變換去解三角函數(shù)問(wèn)題，可謂“天方夜譚”。那么三角恒等變換有哪些變換方法?主要涉及哪些題型?

三角恒等變換，實(shí)際上是對(duì)三角函數(shù)式中的角、名、形的變換，其主要有三種變換方法：①找差異，即找角、名、形的差異；②建立聯(lián)系，即建立角的和差關(guān)系、倍半關(guān)系，名形之間與公式的聯(lián)系；③變公式，即公式的正用，逆用和變形應(yīng)用。

三角恒等變換主要涉及三類(lèi)問(wèn)題：①三角函數(shù)的化簡(jiǎn)；②三角函數(shù)的求值；③三角恒等式的證明。下面分類(lèi)舉例分析。

一、給角求值問(wèn)題

例1求值

解：原式

評(píng)注：對(duì)于非特殊角的三角函數(shù)的求值問(wèn)題，一定要本著先整體后局部的原則，如果整體符合三角公式的形式，則整體變形，否則進(jìn)行局部的變形。

二、給值求值問(wèn)題

例2設(shè)α為銳角，若則的值為_(kāi)___。

解：因?yàn)棣翞殇J角且，所以

評(píng)注：解答此類(lèi)問(wèn)題，一定要注意已知角與所求角之間的關(guān)系，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用拆角、拼角技巧，利用角的變換，達(dá)到求值的目的。

三、給值求角問(wèn)題

例3已知，且求β的值。

解：由，且cos（α-β）=可得

于是可得cos 2β=cos[（α+β）-（α-β）]=cos（α+β）cos（α-β）+sin（α+β）sin（αβ）=-1。

評(píng)注：已知三角函數(shù)值求角的解題步驟：①確定角的范圍，根據(jù)條件確定所求角的范圍；②求所求角的某種三角函數(shù)值，為防止增解最好選取在上述范圍內(nèi)單調(diào)的三角函數(shù)；③結(jié)合三角函數(shù)的值及角的范圍求角。

四、三角恒等式的證明問(wèn)題

例4已知sin（2α+β）=5 sinβ，求證：2 tan（α+β）=3 tanα。

證明：由2α+β=（α+β）+α，β=（α+β）-α，可得sin（2α+β）=5 sinβ?sin[（α+β）+α]=5 sin[（α+β）-α]?sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα=5 sin（α+β）cosα-5 cos（α+β）sinα?2 sin（α+β）cosα=3 cos（α+β）·sinα?2 tan（α+β）=3 tanα。

故2 tan（α+β）=3 tanα成立。

評(píng)注：三角恒等式證明的常用方法：①執(zhí)因索果法，即證明的形式一般為化繁為簡(jiǎn)；②左右歸一法，即證明左右兩邊都等于同一個(gè)式子；③拼湊法，即針對(duì)題設(shè)和結(jié)論之間的差異，有針對(duì)性地變形，以消除它們之間的差異，簡(jiǎn)言之，化異求同。

五、高考中的三角恒等變換問(wèn)題

例5已知

解：（1）f（x）=sinx+

評(píng)注：在高考中，這類(lèi)問(wèn)題重點(diǎn)考查三角恒等變換與公式的綜合應(yīng)用。解答本題的關(guān)鍵是利用三角恒等變換將函數(shù)f（x）化成y=Asin（ω x+φ）+B的形式。

例6已知函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）2+cos 2x。

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期。

（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最大值和最小值。

解：（1）f（x）=sin2x+cos2x+2 sinx·cosx+cos2x=1+sin2x+cos2x=

故函數(shù)f（x）的最小正周期

由正弦函數(shù)y=sinx圖像與性質(zhì)可知：

故函數(shù)f（x）在上的最大值為最小值為0。

評(píng)注：在高考中，有關(guān)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)（如周期性，單調(diào)性，對(duì)稱(chēng)性，最值）問(wèn)題，幾乎年年都考，這類(lèi)問(wèn)題難度不大，但離不開(kāi)三角恒等變換。