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        2018 年高考三角恒等變換問(wèn)題聚焦

        2019-06-19 08:53:16劉大鳴特級(jí)教師
        關(guān)鍵詞:題設(shè)銳角共線

        ■劉大鳴(特級(jí)教師)

        2018年高考三角恒等變換圍繞“三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)的求值、方程組觀念的應(yīng)用、合理的湊角和輔助角公式”等展開(kāi)的,凸顯三角恒等變換的工具性。

        聚焦1:三角函數(shù)的定義

        例1(2018年高考北京卷)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中是圓O:x2+y2=1上的四段弧,點(diǎn)P在其中一段上,角α以O(shè) x為始邊,O P為終邊,若tanα<cosα<sinα,則點(diǎn)P所在的圓弧是( )。

        圖1

        解:由圖可知,有向線段OM為余弦線,有向線段MP為正弦線,有向線段A T為正切線。當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí),cosα=x>sinα=y,A錯(cuò)誤。當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí),cosα=x,,tanα>sinα>cosα,B錯(cuò)誤。當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí),cosα=x,sinα=,sinα>cosα>tanα,C正確。點(diǎn)P在上時(shí),tanα>0,sinα<0,cosα<0,D錯(cuò)誤。應(yīng)選C。

        反思:本題主要考查單位圓中三角函數(shù)的定義。

        變式訓(xùn)練1:已知角θ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)則的值為_(kāi)___。

        提示:因?yàn)辄c(diǎn)在單位圓上,又在角θ的終邊上,所以,可得

        聚焦2:三角恒等變換中方程組觀念的應(yīng)用

        例2(2018年高考新課標(biāo)卷)已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,則sin(α+β)=____。

        解法1:兩邊平方求值。已知條件兩邊平方再相加,可得2+2(sinαcosβ+cosα·sinβ)=1,即sin(α+β)=

        解法2:借助平方關(guān)系求值。由已知條件可得所以sin(α+β)=sinα·cosβ+cosαsinβ=sinα(1 -sinα)+cosα( - cosα)=sinα-1。因 為 sin2β+cos2β=1,所以 (- cosα)2+(1 -sinα)2=1,可得故原式

        解法3:利用同角關(guān)系平方消元求值。由題設(shè)可得cosβ=1-sinα,sinβ=-cosα,所以(1-sinα)2+(-cosα)2=1,即sinα=,所以cosβ=1-sinα

        反思:上述三種解法凸顯了三角恒等變換中“方程組觀念的應(yīng)用意識(shí)”。

        變式訓(xùn)練2:已知sinα+sinβ=1,cosα,求cos(α-β)和cos(α+β)的值。

        提示:由sinα+sinβ=1,cosα+cosβ=兩邊平方相加可得sin2α+2 sinαsinβ+sin2β+cos2α+2 cosαcosβ+cos2β=4,即2+2 cos(α-β)=4,所以cos(α-β)=1。

        已知條件兩邊平方相減可得cos2αsin2α+2 cosαcosβ-2 sinαsinβ+cos2βsin2β=2,即cos 2α+2 cos(α+β)+cos 2β=2,cos[(α+β)+(α-β)]+2 cos(α+β)+cos[(α+β)-(α-β)]=2,展開(kāi)化簡(jiǎn)得cos(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)=1,據(jù)此可得

        聚焦3:三角恒等變換中的“湊角”策略

        例3(2018年高考江蘇卷)已知α,β為銳角求cos 2α和tan(α-β)的值。

        解:由可得,代入 sin2α+cos2α=1,可 得故由α,β為銳角,可得α+β∈ (0,π),所 以sin(α+β)=據(jù)此可得tan(α+β)=-2。

        反思:給值求值問(wèn)題的關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間角的差異,從湊角入手求值。

        變式訓(xùn)練3:已知,則tan(β-2α)=____。

        提示:由已知條件可得1-cos 2α=sinα·cosα,利用公式化簡(jiǎn)可得2 tanα=1,即tanα所以tan(β-2α)=tan[(β-α)-α]=

        聚焦4:三角函數(shù)的定義與三角恒等變換的交匯

        例4(2018年高考全國(guó)新課標(biāo)卷)已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,始邊與x軸的非負(fù) 半 軸 重 合,終 邊 上 有 兩 點(diǎn)A(1,a),B(2,b),且,則

        解法1:由O,A,B三點(diǎn)共線可得,即b=2a。因?yàn)樗砸罁?jù)正切函數(shù)的定義可得,即因?yàn)閎=2a,所以

        解法2:因?yàn)?,所以可得,即?dāng)時(shí),可得,即,此時(shí)當(dāng)時(shí),可得故

        反思:解答本題涉及到的知識(shí)點(diǎn)有共線的點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系,余弦的倍角公式,正切函數(shù)的定義式。

        變式訓(xùn)練4:已知角α的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,它的終邊過(guò)點(diǎn)若角β滿足求cosβ的值。

        提示:由題意可得由題設(shè)可得由β=(α+β)-α,可得或

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