江蘇省昆山第一中等專業(yè)學(xué)校 徐 義

通過對近幾年的數(shù)學(xué)高考題目進(jìn)行一定的觀察和總結(jié)，發(fā)現(xiàn)有關(guān)數(shù)列的題目出現(xiàn)頻率比較高，不僅僅和函數(shù)、不等式等數(shù)與代數(shù)的部分相結(jié)合，有時還涉及三角形、立體幾何等圖形方面的知識。數(shù)列是一種比較特殊的函數(shù)，需要教師熟練掌握相關(guān)概念，聯(lián)想題目的特征，聯(lián)想自身做題經(jīng)驗(yàn)，找到解題方向，提高做題的效率。

數(shù)列就是按照一定的排序方式排列的一列數(shù)字，數(shù)列中每一個數(shù)都是這個數(shù)列的項(xiàng)。數(shù)列也是一定定義域?yàn)檎麛?shù)集的函數(shù)，而且數(shù)列所對應(yīng)的數(shù)列通項(xiàng)公式也就是其函數(shù)的解析式。對于高中生來說，數(shù)列的學(xué)習(xí)是一個重要部分，其中蘊(yùn)含著多種多樣的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，數(shù)列中涉及的問題也比較考查學(xué)生的歸納能力和邏輯能力，反映了學(xué)生對數(shù)列學(xué)習(xí)的深度，表現(xiàn)著學(xué)生的技巧性，所以數(shù)列的相關(guān)內(nèi)容經(jīng)常出現(xiàn)在每年的高考題目中，成為一道必考題。數(shù)列作為特殊函數(shù)，在實(shí)際中也有廣泛的應(yīng)用，比如銀行的信貸、養(yǎng)老保險(xiǎn)等，這就需要學(xué)生不僅僅能夠熟練掌握有關(guān)數(shù)列的相關(guān)問題，還要能夠善于觀察題目的特點(diǎn)，結(jié)合原有解題經(jīng)驗(yàn)，迅速鎖定解題的方向，提高解題的效率。下文筆者就將針對數(shù)列題目來歸納一般的解題方式和思路。

一、與不等式知識結(jié)合

在不等式和數(shù)列結(jié)合的題目中，主要考查的是數(shù)列的定義和等差數(shù)列的定義，題目上一般是已知Sn求an的基本題目，其中涉及的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法為歸納法或者是利用放縮法去證明不等式。

比如題目：已知數(shù)列{an}，其中a=a1，b=b1，正整數(shù)m，n，p，q 滿足等式m+n=p+q，而且如果求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

解答這道題，首先要明確這道題考查的內(nèi)容，出現(xiàn)了不等式，所以說明是不等式和數(shù)列相結(jié)合，對數(shù)列定義熟悉，并進(jìn)行巧妙化解的題型。需要求通項(xiàng)公式，此題跟通項(xiàng)公式唯一相關(guān)的是條件所以可以將公式中涉及的m，n，p，q 利用數(shù)字1，2 表達(dá)出來，經(jīng)過處理，得到從而得到題目中已知的代入公式，并進(jìn)行化簡可以得到通過仔細(xì)觀察，再聯(lián)想等差、等比數(shù)列的定義，可以化解得到觀察并且結(jié)合等比數(shù)列的定義可以知道：數(shù)列為等比數(shù)列，所以得出結(jié)論到化簡得出將結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，可以知道滿足題意。

二、與函數(shù)知識相結(jié)合

數(shù)列與函數(shù)知識結(jié)合主要是為了考查學(xué)生對數(shù)列定義的熟悉程度，其中一般會涉及已知Sn求an的基本題目，引導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)的解題方式來構(gòu)建幾者之間的函數(shù)關(guān)系模型，并且利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)和定理來解決相關(guān)的問題。這樣的問題結(jié)合了數(shù)列和函數(shù)的知識，考查學(xué)生對知識的綜合應(yīng)用能力。

比如題目：已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，設(shè)其前n 項(xiàng)和為Sn，對任意的n 來說，點(diǎn)（n，Sn）都在函數(shù)的圖像上，這個函數(shù)的解析式為y=bx+r，其中，b＞0 但是b ≠1，b 和r 都是常數(shù)。（1）求其中r 的值。（2）當(dāng)b=2 時，求數(shù)列{bn}的前n 項(xiàng)和Tn，bn記為,其中n 屬于。

在這道題的解答中，題目中出現(xiàn)r 的地方只有條件：點(diǎn)（n，Sn）在函數(shù)y=bx+r 的圖像上，所以滿足Sn=bx+r，當(dāng)n 為1 時，S1=b+r=a1。當(dāng)n ≥2 時，an=Sn-Sn-1=bn+r-（bn-1+r），進(jìn)一步化簡得an=（b-1）bn-1。由于該數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，所以解得r=-1，公比是b，所以代入原式得an=（b-1）bn-1。在第二問中，已知b=2，所以可以得出數(shù)列an=（b-1）bn-1=2n-1，化簡得：所以數(shù)列{bn}的前n 項(xiàng)和學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以利用前n 項(xiàng)和的二分之一倍數(shù)相減來化簡該公式，通過相減得出

這種函數(shù)和數(shù)列相結(jié)合的題目在高考中考到的幾率比較大，學(xué)生應(yīng)該多多掌握求出前n 項(xiàng)和的各種方式，比如通過相加、相減或者相乘的方式來化簡，從而提高解題的效率。

三、與最值、極限相結(jié)合

數(shù)列和最值結(jié)合的題目主要就是考查學(xué)生對不等式和最值定義性質(zhì)、數(shù)列性質(zhì)等知識的掌握，大多數(shù)題目都會給出Sn和an之間的關(guān)系，并且要求出相應(yīng)的通項(xiàng)公式，然后再構(gòu)造出一個不等式來使之恒成立，其中涉及某個未知數(shù)的值，一般會要求學(xué)生求出未知數(shù)的最大值或者最小值。

對于數(shù)列和極限知識結(jié)合的題目，一般考查學(xué)生對數(shù)列性質(zhì)和定義、極限定義的了解。首先題目都會給出相應(yīng)數(shù)列的性質(zhì)，等差或者等比，告訴公差或公比，給出某一項(xiàng)的具體值，再給出某個構(gòu)造函數(shù)的極限值，最后求出其構(gòu)造函數(shù)其中的一個未知數(shù)。這樣的問題需要學(xué)生化簡，然后再代入式子求出未知數(shù)。

綜上所述，數(shù)列的相關(guān)題目類型是數(shù)不勝數(shù)的，而且利用題目條件求出數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法也靈活多變，需要學(xué)生對題目進(jìn)行一定的加工和處理，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列和等比數(shù)列進(jìn)行解決。在高考的題目中，經(jīng)常會將極限、導(dǎo)數(shù)和函數(shù)等知識和數(shù)列結(jié)合在一起，一般常見的題型有：（1）將數(shù)列和其他函數(shù)或者導(dǎo)數(shù)等知識交匯，考查學(xué)生恒等變形、推理等能力；（2）給出Sn和an的關(guān)系，求出通項(xiàng)公式，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；（3）以解析幾何知識作為載體，定義新數(shù)列，考查學(xué)生的知識綜合能力和遷移能力。數(shù)列對學(xué)生來說是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，所以學(xué)生要積極對數(shù)列相關(guān)問題進(jìn)行歸納總結(jié)，提高解題效率和能力。