廣東省珠海市實(shí)驗(yàn)中學(xué)(519090) 張 平

題目已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=ex,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),求證：g(x)＞f(x)+1.

思路一：直接作差構(gòu)造新函數(shù)證明

證明1要證g(x)＞f(x)+1,即證ex-xlnx-1＞0(x＞0),設(shè)h(x)=ex--x ln x-1(x＞0),則h′(x)=ex-ln x-1,則h′′(x)=ex設(shè)則即m(x) 在(0,+∞) 上為增函數(shù),又則存在使得m(x0)=0,即所以當(dāng)0＜x＜x0時(shí),m(x)＜0；當(dāng)x＞x0時(shí),m(x)＞0,所以h′(x) 在(0,x0) 內(nèi)為減函數(shù),h′(x) 在(x0,+∞) 內(nèi)為增函數(shù),所以h′(x) 在x=x0處取得極小值也是最小值,且h′(x0)=ex0-lnx0-1,由得lnx0＜0,從而即h′(x0)＞0,所以h′(x)＞0 在(0,+∞) 上恒成立,所以h(x) 在(0,+∞) 上為增函數(shù)且當(dāng)x →0+時(shí),則在(0,+∞)上恒成立,即g(x)＞f(x)+1.

證明2要證g(x)＞f(x)+1,即證0(x＞0),設(shè)則h′(x)=ex-lnx-1,設(shè)m(x)=ex-x(x＞0),n(x)=x-lnx-1(x＞0),則h′(x)=m(x)+n(x),所以m′(x)=ex-1＞0(x＞0),即m(x)在(0,+∞)上為增函數(shù)且m(x)min＞m(0)=1＞0；因?yàn)閚′(x)=1-即n(x)在(0,1)內(nèi)為減函數(shù),n(x) 在(1,+∞) 內(nèi)為增函數(shù),所以n(x) 在x=1 處取得極小值也是最小值,且n(1)=0,則n(x)≥0(x＞0),所以h′(x)＞0 在(0,+∞) 上恒成立,所以h(x) 在(0,+∞)上為增函數(shù)且當(dāng)x →0+時(shí),h(x)＞e0-1=0,則在(0,+∞)上恒成立,即g(x)＞f(x)+1.

點(diǎn)評(píng)證法1 與證法2 均將證明f(x)＞g(x)轉(zhuǎn)化為證明,這是解決此類問題的基本策略之一.由于是超越方程,無法求出其根的確定值,其中證法1 通過二次求導(dǎo)并利用根的存在性定理解決“隱性零點(diǎn)”的范圍,并根據(jù)該范圍成功完成導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的確定,進(jìn)而解決,并達(dá)成目標(biāo),解決問題；證法2 則另辟蹊徑,通過這一看似不起眼的變形,轉(zhuǎn)化為對(duì)兩個(gè)函數(shù),的符號(hào)判斷,并最終實(shí)現(xiàn)對(duì)的符號(hào)確定,形式復(fù)雜,實(shí)則簡單,對(duì)問題的解決更簡單快捷.

思路二：變形后作差構(gòu)造新函數(shù)證明

證明3要證g(x)＞f(x)+1,即證ex-xlnx-1＞0(x＞0),即證設(shè)h(x)=則由h′(x)=0 及x＞0,得x=1,所以當(dāng)x＞1 時(shí),h′(x)＞0；當(dāng)0＜x＜1 時(shí),h′(x)＜0；所以h(x)在x=1 處取得極小值也是最小值,且h(1)=e-1＞0,所以恒成立,即g(x)＞f(x)+1.

思路三：直接作商構(gòu)造新函數(shù)證明

證明4要證g(x)＞f(x)+1,即證ex＞xlnx+1(x＞0),即證設(shè)則所以當(dāng)x＞1 時(shí),h′(x)＜0；當(dāng)0＜x＜1 時(shí),h′(x)＜0；當(dāng)x=1 時(shí),h′(x)=0；所以當(dāng)x＞0 時(shí),h′(x)≤0 恒成立且等號(hào)不恒成立；所以h(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),且當(dāng)x →0+時(shí),h(x)＜=1,所以恒成立,即g(x)＞f(x)+1.

點(diǎn)評(píng)證法3 與證法4 均將證明f(x)＞g(x)通過適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為證明新函數(shù)不等式問題,這是解決此類問題的重要策略之一,從兩種方法的過程可以發(fā)現(xiàn),新函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)均成功避開了求超越方程“隱性零點(diǎn)”的尷尬,大大降低了運(yùn)算量,使問題的解決變得相當(dāng)容易,展示了適當(dāng)變形與轉(zhuǎn)化的強(qiáng)大能量.為什么進(jìn)行這樣的處理? 實(shí)質(zhì)是讓lnx獨(dú)立或讓lnx與ex不在同一“水平線”上,減少了出現(xiàn)超越方程的可能性,對(duì)此類問題結(jié)合題目條件實(shí)施這兩種變形手段往往會(huì)有意想不到的效果.

思路四：分類討論后作差構(gòu)造新函數(shù)證明

證明5要證g(x)＞f(x)+1,即證ex-xlnx-1＞0(x＞0),當(dāng)0＜x＜1 時(shí),ex＞1,xlnx＜0,則ex-xlnx-1＞0 成立；當(dāng)x ≥1 時(shí),設(shè)h(x)=ex-xlnx-1,則h′(x)=ex-lnx-1,所以h′′(x)=ex-＞0(x ≥1),即h′(x)在[1,+∞)上為增函數(shù)且h(x)min=h(1)=e-1＞0,所以當(dāng)x ≥1 時(shí),ex-xlnx-1＞0 成立,綜合知：ex-xlnx-1＞0 在(0,+∞)上恒成立,即g(x)＞f(x)+1.

點(diǎn)評(píng)：證法5 注意到當(dāng)0＜x＜1 時(shí),ex＞1,xlnx＜0,從而f(x)＞g(x)顯然成立的特點(diǎn)對(duì)x的范圍進(jìn)行合理分類討論,將問題解決的重點(diǎn)放在證明x ≥1 時(shí)不等式成立上,雖然一分為二,但退一步海闊天空,以退為進(jìn),不失為明智的選擇.

思路五：適當(dāng)放縮后作差構(gòu)造新函數(shù)證明

證明6要證g(x)＞f(x)+1,即證ex＞xlnx+1,易證ex ≥x+1(證明過程略),則有當(dāng)x＞0 時(shí),則有

設(shè)m(x)=即m(x)=+x-xlnx(x＞0),則m′(x)=+1-lnx,從而即m′(x) 在(0,2) 內(nèi)為減函數(shù),在(2,+∞) 內(nèi)為增函數(shù),所以m′(x) 在x=2 處取得極小值也是最小值,且m′(2)=2-ln 2＞0,所以m(x)在(0,+∞) 上為增函數(shù)且當(dāng)x →0+時(shí),m(x)＞0,所以即g(x)＞f(x)+1.

證明7要證g(x)＞f(x)+1,即證ex＞xlnx+1,易證lnx≤x-1(x＞0)(證明過程略),則有xlnx+1≤x(x-1)+1(x＞0),設(shè)h(x)=ex-(x2-x+1)(x＞0),即h′(x)=ex-2x+1,從而h′′(x)=ex-2,則h′(x)在(0,ln 2)內(nèi)為減函數(shù),在(ln 2,+∞) 內(nèi)為增函數(shù),所以h′(x) 在x=ln 2 處取得極小值也是最小值,且h′(2)=3-2 ln 2＞0,所以h(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),當(dāng)x＞0 時(shí),h(x)＞h(0)=0,所以ex＞x2-x+1≥xlnx+1,即g(x)＞f(x)+1.

證明8要證g(x)＞f(x)+1,即證ex＞xlnx+1,易證ex＞x2+1(x＞0),lnx≤x-1(x＞0)(證明過程略),則有xlnx+1＜x(x-1)+1(x＞0)所以當(dāng)x＞0 時(shí),則有ex-(xlnx+1)＞(x2+1)-(x2-x+1)=x＞0,所以ex-xlnx-1＞0 在(0,+∞)上恒成立,即g(x)＞f(x)+1.

點(diǎn)評(píng)此類證法均通過教材習(xí)題中兩個(gè)基本的不等式ex ≥x+1 與lnx≤x-1(x＞0) 結(jié)論,或直接進(jìn)行放縮,或通過合理變換衍生新結(jié)論后進(jìn)行放縮,或?qū)ζ渲幸粋€(gè)函數(shù)進(jìn)行放縮,或?qū)蓚€(gè)函數(shù)同時(shí)進(jìn)行放縮,充分展現(xiàn)了思維的靈活性與深刻性,并通過證明其加強(qiáng)不等式的方式快速實(shí)現(xiàn)解決問題,體現(xiàn)了放縮法的強(qiáng)大功能.但放縮法的難點(diǎn)在于度的把握,如何做到放縮有度,我們在理解掌握高中學(xué)習(xí)中常見函數(shù)不等式如ex ≥ex,ex ≥ex+(x-1)2(x ≥0),≤ln(x+1)≤x(x＞-1),ln(x+1)＜(x＞0)等的同時(shí),通過不斷地嘗試來尋找放縮的目標(biāo),實(shí)現(xiàn)解決問題的目的.

思路六：變形后構(gòu)造兩個(gè)新函數(shù)證明

證明9要證g(x)＞f(x)+1,即證ex-1＞xlnx(x＞0),即證設(shè)h(x)=則由h′(x)=0 及x＞0 得x=e,所以當(dāng)x＞e時(shí),h′(x)＜0；當(dāng)0＜x＜e時(shí),h′(x)＞0；所以h(x)在x=e處取得極大值也是最大值,且h(x)max=h(e)=＜1；設(shè)m(x)=(x＞0),則m′(x)=,設(shè)n(x)=(x-2)ex+2,則n′(x)=(x-1)ex,所以0＜x＜1時(shí),n′(x)＜0；當(dāng)x＞1 時(shí),n′(x)＞0；所以n(x)在x=1處取得極小值也是最小值,且n(1)=2-e＜0；又n(2)=2＞0,則存在唯一x0∈(1,2),使得n(x0)=0,則有ex0=所以0＜x＜x0時(shí),n(x)＜0；當(dāng)x＞x0時(shí),n(x)＞0；所以0＜x＜x0時(shí),m′(x)＜0；當(dāng)x＞x0時(shí),m′(x)＞0；所以m(x)在x=x0處取得極小值也是最小值,且m(x)min=m(x0)=；所以m(x0)=所以m(x)min＞h(x)max,即恒成立,也即g(x)＞f(x)+1.

點(diǎn)評(píng)證明f(x)＞g(x) 型不等式,若直接證明[f(x)-g(x)]min＞0 不容易實(shí)現(xiàn)的情況下,通過證明f(x)min＞g(x)max或通過變形后h(x)min＞k(x)max也不失為一種選擇,當(dāng)然變形的途徑可能有多條,關(guān)鍵在于知識(shí)與方法的積累與掌握、運(yùn)用的程度.本題僅給出此類證法的一種變形方式,拋磚引玉.數(shù)學(xué)是思維的體操,解題“有法”但無“定法”,重在“得法”.證明函數(shù)不等式的關(guān)鍵在于構(gòu)造新函數(shù).利用解決此類問題的基本策略,結(jié)合題目所給函數(shù)特點(diǎn)及不等式結(jié)構(gòu),通過靈活恰當(dāng)?shù)淖冃无D(zhuǎn)化,構(gòu)造出能容易判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)或函數(shù)的最大值或最小值的新函數(shù),無疑對(duì)問題的解決有著至關(guān)重要的作用.因此,通過多進(jìn)行相關(guān)訓(xùn)練,多歸納總結(jié)思路與方法,積累解決此類問題的經(jīng)驗(yàn)勢在必行.