廣州大學附屬中學(510006) 陳經(jīng)緯

題目已知a,b,c為正數(shù),且滿足abc=1,證明：

(2) (a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.

在課本《不等式選講4-5》中,貫徹本書重要內(nèi)容是基本不等式(包括兩個或多個正數(shù)的),絕對值不等式、柯西不等式,所以本題考查基本不等式是情理當中的,也是符合新課標精神的,本題兩問均可利用基本不等式證明,參考答案如下：

方法一(1) 因為a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,又abc=1,故有a2+b2+c2≥ab+bc+ca=所以

(2) 因為a,b,c為正數(shù)且abc=1,故有(a+b)3+(b+當且僅當a=b=c時等號成立.

點評雖說基本不等式可以完整地證明此題,高考題區(qū)別一般模擬題的一個重要特征就是解題入口比較寬,可以從不同角度處理,例如本題中第(1)問,考慮到不等式右邊是平方式,容易聯(lián)想到柯西不等式；

第(1)問相對較簡單,以下重點討論第(2)問,我們都清楚不等式是選考內(nèi)容,有些高中側(cè)重極坐標與參數(shù)方程教學,淡化不等式,導致部分考生即使學習過三個正數(shù)的基本不等式,也不能夠靈活運用,本題最大的亮點是使用兩個正數(shù)的基本不等式也可以解決；

方法二因為a,b,c為正數(shù)且abc=1,故有(a+b)3=

同理

二要認真落實云南與周邊省區(qū)市及長江沿岸省區(qū)市簽訂的戰(zhàn)略合作協(xié)議，深入推進與長江流域、成渝經(jīng)濟區(qū)和周邊省區(qū)的交流合作，加強資本引進、渠道建設、市場對接，深度開展資本和產(chǎn)業(yè)合作。

點評解題成功的關鍵要素是代數(shù)變形的靈活應用,本題中技巧是將3 次降為2 次處理,若變形能力足夠強大,再退一步,此題僅用初中的知識也可以解決.

方法三(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3

根據(jù)(1)問得

當且僅當a=b=c時等號成立.

點評運用此方法雖然只需要具備初中知識,但變形技巧要求高,對于高中生來講有點繞圈子,不推薦使用.此方法的介紹,主要目的是讓我們感受數(shù)學的美.

我們在學習導數(shù)的時候不可回避地接觸到函數(shù)的凹凸性,由函數(shù)的凹凸性衍生出來的琴生不等式也可以很好地證明此題

琴生不等式

若f(x) 在區(qū)間I上為凸函數(shù),則對x1,x2,···,xn ∈I,總有當且僅當x1=x2=···=xn時取等號.

方法四構(gòu)造函數(shù)f(x)=x3(x＞0),因為f′′(x)=6x＞0,所以f(x)在(0,+∞)是遞增的凸函數(shù),即整理得當且僅當a=b=c時等號成立.

有一定競賽基礎的考生都知道權方和不等式是一個銳利小巧的不等式,它具有條件簡明、結(jié)構(gòu)優(yōu)美、使用方便等特點,本題也可以使用權方和不等式證明；

權方和不等式

已知a1,a2,···,an,x1,x2,···,xn均為正數(shù),若m＞0,則有

方法五(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3當且僅當a=b=c時等號成立.

結(jié)束語

筆者所處的廣東省采用全國Ⅰ卷,據(jù)了解,在選做題的處理上大部分中學都鼓勵學生選擇極坐標與參數(shù)方程,

由于不等式選講內(nèi)容長期得不到足夠的重視,而今年全國Ⅰ卷的極坐標與參數(shù)方程突然難度加大,整個考生一片“哀嚎”.

本文采用五種方法對2019年不等式選講高考題進行多角度分析,充分說明不等式選做題的命制有一定的規(guī)律,解決方法也是多種多樣的,同時不等式與高中數(shù)學其他板塊內(nèi)容結(jié)合比較緊密,特別是解決最值問題,有獨到的優(yōu)勢,學好不等式對后續(xù)的學習也有很大的幫助.所以在今后的教學中,我們一線教師一定要對不等式選講的教學加以重視.