浙江省紹興魯迅中學(xué)(312030) 徐 耀

數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一,也是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)考查對象.高考對數(shù)列求和的考查主要有兩種形式,一種是直接利用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式考查等差、等比數(shù)列的求和問題；另一種是利用錯位相減法、裂項(xiàng)相消法、并項(xiàng)求和法、分組求和法等考查非等差、等比數(shù)列的求和問題.事實(shí)上,很多時候除了常用的數(shù)列求和方法外,還可以通過構(gòu)造常數(shù)列去解決數(shù)列求和問題.非零常數(shù)列身兼等差數(shù)列和等比數(shù)列兩大特性,在一些數(shù)列求和問題中若能適時地構(gòu)造常數(shù)列,則可避免復(fù)雜的累加、累乘或迭代等過程,從而使數(shù)列求和一步到位,達(dá)到事半功倍的效果.

一、解決可利用“公式法”求解的數(shù)列求和問題

例1求等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和(公比q/=1).

解由

評注等比數(shù)列的求和公式我們一般用“錯位相減法”推導(dǎo),運(yùn)用構(gòu)造常數(shù)列來求和則極大的減小了這類求和的復(fù)雜性.

例2求自然數(shù)平方和：Sn=12+22+32+···+n2.

解：Sn=Sn-1+n2,考慮到Sn是一個關(guān)于n的三次多項(xiàng)式,故設(shè)

評注自然數(shù)平方和常見的一種解法為：利用(n+1)3-n3=3n2+3n+1,累加求得.但此種解法有一定的技巧性,不易想到.考慮到自然數(shù)平方和是一個關(guān)于n的三次多項(xiàng)式,所以通過構(gòu)造常數(shù)列,利用待定系數(shù)法求得.

二、解決可利用“錯位相減法”求解的數(shù)列求和問題

例3(2017年高考天津卷理科)已知{an}為等差數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn(n ∈N?),{bn}是首項(xiàng)為2 的等比數(shù)列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.

(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列{a2nb2n-1}的前n項(xiàng)和(n ∈N?).

解(1)an=3n-2,bn=2n.

(2)a2nb2n-1=(6n-2)· 22n-1=(3n-1)·4n,設(shè)數(shù)列{a2nb2n-1} 的前n項(xiàng)和為Tn,則Tn-Tn-1=(3n-1)·4n,(n ≥2).設(shè)

評注錯位相減法是解決形如{(an+b)qn}的數(shù)列求和問題的常規(guī)方法.借助錯位相減法求解此類問題時,必然要用到等比數(shù)列的求和公式,通常還會遇到繁分式化簡、指數(shù)冪的運(yùn)算等繁瑣運(yùn)算,過程雖然模式化很強(qiáng),但對學(xué)生的運(yùn)算能力要求較高,因而學(xué)生極容易出錯.而通過構(gòu)造常數(shù)列,用待定系數(shù)法求前n項(xiàng)和,則大大降低了運(yùn)算要求.

例4(2018年高考浙江卷)已知等比數(shù)列{an}的公比q＞1,且a3+a4+a5=28,a4+2 是a3,a5的等差中項(xiàng).數(shù)列{bn}滿足b1=1,數(shù)列{(bn+1-bn)an}的前n項(xiàng)和為2n2+n.

(1)求q的值；

(2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.

解(1) 等比數(shù)列{an}的公比q＞1,且a3+a4+a5=28,a4+2 是a3,a5的等差中項(xiàng),可得2a4+4=a3+a5=28-a4,解得a4=8,由+8+8q=28,可得舍去).

評注本題雖然不是數(shù)列求和問題,但由數(shù)列{bn}的遞推式可知,要求{bn}的通項(xiàng)式,需同時用到累加法和錯位相減法,其實(shí)質(zhì)也是個求和問題,由于同時用到了兩種方法,故對學(xué)生的綜合能力要求更高.

例5求數(shù)列{(n2+n)2n}的前n項(xiàng)和.

解由an=(n2+n)2n,可得Sn=Sn-1+(n2+n)2n,設(shè)Sn+(An2+Bn+C)2n=Sn-1+

解得A=-2,B=2,C=-4,

故 數(shù) 列{Sn+(-2n2+2n-4)2n}為 常 數(shù) 列,Sn+(-2n2+2n-4)2n=S1-8=-4,所以Sn=(n2-n+2)·2n+1-4.

評注本題數(shù)列的通項(xiàng)不是“等差×等比”型,故不能直接用一次錯位相減法解決.事實(shí)上將通項(xiàng)拆成an=n22n和bn=n2n,數(shù)列{bn}的求和可直接用一次錯位相減法求得Sn=(n-1)2n+1+2,數(shù)列{an}的求和需用兩次錯位相減法,也可求得Tn=(n2-2n+3)2n+1-6.錯位相減法對于學(xué)生來說本是一個易錯點(diǎn),而此題需用三次,若能用構(gòu)造常數(shù)列求解,則大大降低了求解的復(fù)雜度和難度.

三、解決可利用“裂項(xiàng)相消法”求解的數(shù)列求和問題

例6(2016年高考全國卷)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2.

(1)求{an}的通項(xiàng)公式；

(2) 記bn=求數(shù)列{bn} 的前n項(xiàng)和Tn.

解(1)an=2n-1.則故數(shù)列為常數(shù)列,所以即

評注本題可利用裂項(xiàng)相消法求和,但由于其為隔兩項(xiàng)相消,所以需防止對剩余項(xiàng)丟三落四.通過構(gòu)造常數(shù)列求解,則不存在這個問題.

例7(2017年衡水中學(xué)三模)已知等差數(shù)列{an}的公差為2,前n項(xiàng)和為Sn,且S1,S2,S4成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

解(1)an=2n-1.

所以

即有

評注裂項(xiàng)相消法求和中,裂成兩項(xiàng)相減較為常見,但本題中根據(jù)數(shù)列{bn}的通項(xiàng)特點(diǎn),需裂成兩項(xiàng)相加,再對項(xiàng)數(shù)進(jìn)行奇偶討論求解.

四、解決可利用“并項(xiàng)求和法”求解的數(shù)列求和問題

例8(2019年紹興魯迅中學(xué)高考模擬) 已知數(shù)列{an}滿足數(shù)列{bn}滿足bn=an+1,數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn=nlog2bn.

(1)證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,并求{bn}的通項(xiàng)公式；

(2)令dn=(-1)ncncn+1,Tn為數(shù)列{dn}的前n項(xiàng)和,求Tn.

解(1)bn=2n-3；

則

得2A=-4,2B-2A=12,A+2C-B=-8,解得A=-2,B=4,C=-1.故數(shù)列

評注因?yàn)閐n+dn+1=8(-1)n+1(n-1),所以本題也可通過對項(xiàng)數(shù)進(jìn)行奇偶討論,并項(xiàng)求和來求解.可求得當(dāng)n為奇數(shù)時,Tn=-2(n-1)2；當(dāng)n為偶數(shù)時,Tn=2n(n-2).

五、解決可利用“分組求和法”求解的數(shù)列求和問題

例9(Z20 聯(lián)盟2019 屆第二次聯(lián)考)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn滿足Sn+an=2(n ∈N?),等差數(shù)列{bn}滿足b1=a1,b4=4S3.

(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式；

(2) 設(shè)cn=nan+(-1)nbn,求數(shù)列{cn} 的前n項(xiàng)和

解(1)

則

得An-2A+2B-B=2n,2Cn-C+2D=1-2n,

解得A=2,B=4,C=-1,D=0.故數(shù)列

評注本題也可用分組求和法求解,數(shù)列{cn} 的通項(xiàng)有兩部分構(gòu)成,前半部分可用錯位相減法求得和為后半部分可用并項(xiàng)求和法求得和為(-1)nn.利用構(gòu)造常數(shù)列求和,可一步到位求出數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和.

例10(2017年天津一模)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,公比q＞0,S2=2a2-2,S3=a4-2.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

解(1)an=2n.(2)

評注本題中,數(shù)列{bn}的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式不同,要我們求的是前2n項(xiàng)和,奇數(shù)項(xiàng)組成的新數(shù)列可用裂項(xiàng)相消法求和,偶數(shù)項(xiàng)組成的新數(shù)列可用錯位相消法求和,故此題也可用分組求和法求解.

通過構(gòu)造常數(shù)列進(jìn)行數(shù)列求和給我們提供了數(shù)列求和的另外一種途徑,值得指出的是,在實(shí)際解題中,我們應(yīng)該根據(jù)實(shí)際情況或自己對方法的掌握程度,去選擇最佳的求和方法,不能一味地追求變常數(shù)列,這樣可能反而降低了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的效率,減弱了數(shù)學(xué)解題的多樣性和對解題方法的掌握.