林 豐

（福州第二中學(xué)，福建 福州 350001）

函數(shù)是刻畫日常生活規(guī)律的一個(gè)重要模型，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、分段函數(shù)等在實(shí)際中都有廣泛的應(yīng)用體現(xiàn)。人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書必修1中特別安排了“函數(shù)模型應(yīng)用實(shí)例”等章節(jié)，讓學(xué)生體驗(yàn)簡單的數(shù)學(xué)建模過程，也是對后續(xù)教學(xué)內(nèi)容的一個(gè)鋪墊。

一、 當(dāng)前函數(shù)模型教學(xué)的內(nèi)生困境

（一）教學(xué)內(nèi)容的定位：高考不能使用計(jì)算器，而這一章節(jié)的內(nèi)容則幾乎全部都要使用計(jì)算器。如果僅因?yàn)楦呖疾豢季筒唤踢@一章，勢必會(huì)影響到學(xué)生知識(shí)體系的完整性。所以問題的關(guān)鍵在于怎么教，教學(xué)的重點(diǎn)應(yīng)放在哪里。

（二）教材內(nèi)容的編寫：在集備的過程中發(fā)現(xiàn)課文在建模過程中的某些關(guān)鍵步驟講解不甚詳盡，比如選取函數(shù)模型與選取合適數(shù)據(jù)求解模型，課文中只用了“可以考慮”“如果”這樣的字眼，這就需要教師在課堂教學(xué)中幫助學(xué)生攻克這些疑點(diǎn)。

（三）教學(xué)方式的選擇：數(shù)學(xué)建模涉及多方面的問題，比如數(shù)學(xué)建模問題的選擇、數(shù)學(xué)建模過程中的合作學(xué)習(xí)、信息技術(shù)的使用等等。如果在這一節(jié)的教學(xué)過程中只是簡單地采用“教授式”，勢必會(huì)弱化教學(xué)內(nèi)容的探究效能，就算能使學(xué)生掌握基本的建模流程，但對為什么要這樣操作，如何把數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際問題以及信息技術(shù)有效的使用建立起聯(lián)系并不一定能夠理解，那就更談不上運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識(shí)、思想方法解決實(shí)際問題。

二、 函數(shù)建模的思路構(gòu)建

針對以上問題，教學(xué)中，首先應(yīng)嘗試用貼近真實(shí)的生活情節(jié)，以“問題鏈”的形式組織教學(xué)，營造問題情境，以問題建立教學(xué)的主題，幫助學(xué)生在探究問題的過程中，把新知識(shí)自然地納入原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。其次，在教學(xué)過程中要充分利用信息技術(shù)，特別是Excel強(qiáng)大的公式、函數(shù)與圖表功能，避開繁雜耗時(shí)的計(jì)算與繪圖，而把重點(diǎn)放在數(shù)學(xué)思想方法的滲透中，讓學(xué)生在問題的探究過程中學(xué)習(xí)如何利用信息技術(shù)高效地分析數(shù)據(jù)，選擇并建立函數(shù)模型，力求更為有效突破地函數(shù)模型的選取與求解這兩個(gè)難點(diǎn)，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用不僅“知其然”還能“知其所以然”。

（一）設(shè)置問題情境

問題1 某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如表1：

表1

（1）根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，能否建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，使它能比較近似地反映這個(gè)地區(qū)未成年男性體重ykg與身高xcm的函數(shù)關(guān)系？試寫出這個(gè)函數(shù)模型的解析式。

（2）若體重超過相同身高男性體重平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么這個(gè)地區(qū)一名身高為175cm，體重為78kg的在校男生的體重是否正常？

問題2 1990～2000年的國內(nèi)生產(chǎn)總值如表2所示：

表2

你能根據(jù)這些數(shù)據(jù)預(yù)測2004年的國內(nèi)生產(chǎn)總值嗎?

問題3 18世紀(jì)70年代，德國科學(xué)家提丟斯（ Johannes Titius 1729～1796）發(fā)現(xiàn)行星到太陽的距離遵循一定的規(guī)律。金星、地球、火星、木星、土星離太陽的平均距離（天文單位）如表3：

表3

你能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律并完成這個(gè)表格嗎？

設(shè)計(jì)意圖：以上問題的設(shè)計(jì)，只有問題1是教材中的一個(gè)例題，問題2取自教材中的課后練習(xí)，共同的特點(diǎn)是數(shù)據(jù)都是以表格的方式呈現(xiàn)，但是各自的側(cè)重點(diǎn)不同。針對整個(gè)數(shù)學(xué)建模流程“收集數(shù)據(jù)—＞畫散點(diǎn)圖—＞選取函數(shù)模型—＞求解函數(shù)模型—＞檢驗(yàn)—＞解決實(shí)際問題”，問題1側(cè)重點(diǎn)在于熟悉數(shù)學(xué)建模流程，著重解決求解函數(shù)模型過程中的數(shù)據(jù)選取問題；問題2則更側(cè)重于解決“選取函數(shù)模型”這一過程中的問題，同時(shí)由于題材與經(jīng)濟(jì)生活密切相關(guān)，也可以向?qū)W生打開拓展的窗口，讓有興趣的學(xué)生有繼續(xù)探究的空間；問題3則是對前面所學(xué)進(jìn)行鞏固復(fù)習(xí)，并總結(jié)出實(shí)施步驟的流程圖，同時(shí)也可以真切地體驗(yàn)到數(shù)學(xué)對于科學(xué)發(fā)現(xiàn)所起到的作用。

（二）選取函數(shù)模型

先讓學(xué)生回顧已學(xué)的所有函數(shù)模型，包括一次函數(shù)、二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等，而后通過用Excel畫出散點(diǎn)圖，由散點(diǎn)圖判斷出應(yīng)使用的函數(shù)模型。

在利用Excel圖表功能對散點(diǎn)圖連線時(shí)，用右鍵點(diǎn)擊數(shù)據(jù)點(diǎn)，選擇“添加趨勢線”。這時(shí)“趨勢預(yù)測/回歸分析類型”中有六個(gè)可選項(xiàng)，分別是：線性、對數(shù)、多項(xiàng)式、乘冪、指數(shù)和移動(dòng)平均。問題1中使用指數(shù)型是顯而易見，并且很容易從Excel圖象中得到驗(yàn)證。但是問題2的函數(shù)模型選擇卻是較難確定。為此筆者充分發(fā)揮Excel的作圖功能，讓學(xué)生自主探究選擇函數(shù)模型。學(xué)生發(fā)現(xiàn)“多項(xiàng)式”作出的圖形最為吻合，并且選擇的階數(shù)越高，圖象擬合度越好。此時(shí)，就可以引導(dǎo)學(xué)生分析這種現(xiàn)象背后的原因：多項(xiàng)式階數(shù)越高，求解所需要的數(shù)據(jù)也越多，算出來的函數(shù)模型也越精確復(fù)雜。數(shù)學(xué)模型的高精確度常常伴隨著高復(fù)雜度，條件多考慮全面未必就會(huì)得到好的模型，有時(shí)甚至?xí)斐伤蟹匠痰牟豢山?。因此，模型的選擇必需在精確與簡潔之間作出權(quán)衡。這時(shí)筆者問學(xué)生，在精度要求并不高的時(shí)候問題2可以采用何種模型，很多學(xué)生都大膽地選擇了一次函數(shù)模型，他們給的理由是一次函數(shù)模型最為簡單，并且誤差也在可以接受的泛圍之內(nèi)，這點(diǎn)在他們做物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析時(shí)已經(jīng)有過經(jīng)驗(yàn)。能得到這樣的回答，說明學(xué)生對“收集數(shù)據(jù)—＞畫散點(diǎn)圖—＞選取函數(shù)模型”這一流程的理解已經(jīng)不僅僅停留在按部就班的層面上，而是能夠理解其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)建模的思想方法，“選取函數(shù)模型”這個(gè)難點(diǎn)也就實(shí)現(xiàn)了有效的突破。通過上述自主探究與師生合作分析的過程，學(xué)生不僅知道了如何利用信息技術(shù)更為高效地進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，選擇函數(shù)模型，同時(shí)也從一個(gè)新的角度重新認(rèn)識(shí)了之前所學(xué)的函數(shù)與方程的相關(guān)知識(shí)，充分體會(huì)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

（三）求解函數(shù)模型

在問題1中設(shè)置思考：“若選取不同的數(shù)據(jù)求解將會(huì)得到不同的函數(shù)模型。那么應(yīng)該如何選取合適的數(shù)據(jù)呢?”利用Excel的計(jì)算與圖形功能，設(shè)計(jì)了如下的一個(gè)頁面（如圖1）：

圖1

在“選取編號”欄下用微調(diào)鍵選取2組數(shù)據(jù),下方即可自動(dòng)求出函數(shù)模型，右側(cè)則自動(dòng)繪出函數(shù)曲線。隨著選取數(shù)據(jù)的不同，可以很明顯地觀察到曲線與樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)的偏離情況，從而選取合適的數(shù)據(jù)，這樣既有效地突破了又一個(gè)難點(diǎn)，同時(shí)又節(jié)省了大量運(yùn)算與繪圖的時(shí)間，充分體現(xiàn)了信息技術(shù)的特點(diǎn)與優(yōu)勢。

對于為什么數(shù)據(jù)選取不當(dāng)會(huì)產(chǎn)生較嚴(yán)重的偏差，則可以結(jié)合函數(shù)曲線的變化趨勢與人在不同年齡段生長速度不同加以解釋。如果選取的數(shù)據(jù)過于集中在某一年齡段，則模型體現(xiàn)出的增長趨勢就缺少代表性，不能體現(xiàn)全部樣本的特點(diǎn)，更談不上預(yù)測趨勢了。學(xué)生由此可以體會(huì)到，在求解函數(shù)模型的過程中，選取數(shù)據(jù)要有代表性，否則將影響函數(shù)模型的準(zhǔn)確性。

值得注意的是Excel本身就帶有趨勢線的“顯示公式”選項(xiàng)，它可以根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)求解并顯示出函數(shù)模型，這在教學(xué)與學(xué)生探究的過程中可以起到驗(yàn)證的作用。同時(shí)對Excel菜單中 “線性”“回歸”等這些統(tǒng)計(jì)詞匯的簡單解釋也為后續(xù)必修3中的相關(guān)教學(xué)內(nèi)容作好一定鋪墊。

（四）驗(yàn)證及推廣

在問題1按照課本內(nèi)容結(jié)束最后一問后，筆者又利用VBA語言編制了一個(gè)小程序，只需輸入身高與體重的相應(yīng)值,即可根據(jù)已有函數(shù)模型判斷該男生的體重在此地區(qū)是否正常。讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)知識(shí)與信息技術(shù)結(jié)合的巨大功用，享受函數(shù)模型應(yīng)用帶來的樂趣與成就感。

在課堂上，筆者還為一些開放性問題提供了背景資料與網(wǎng)絡(luò)資源，比如：“人口模型的演變過程、我國GDP數(shù)據(jù)的變化趨勢？真實(shí)值與預(yù)測值之間的誤差大嗎？為什么會(huì)有誤差?應(yīng)如何減小誤差？哪些因素會(huì)影響GDP，數(shù)學(xué)模型能否體現(xiàn)這些影響因素？應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題有哪些優(yōu)點(diǎn)與不足？數(shù)學(xué)模型在日常的學(xué)習(xí)與生活中還有哪些應(yīng)用?天文學(xué)上的提丟斯定律是怎么發(fā)現(xiàn)的”……于此，讓有興趣的同學(xué)在課外能夠進(jìn)一步了解與探究，以避免在必修階段就對全體學(xué)生提出過高要求，力求做到讓“不同的人學(xué)不同的數(shù)學(xué)”。

三、函數(shù)模型與信息技術(shù)應(yīng)用結(jié)合注意點(diǎn)

信息技術(shù)對課堂教學(xué)的支持與輔助只是起到一種載體作用，它裝載的是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題的思想方法。教師不能強(qiáng)求它在課堂里從頭到尾唱主角，而應(yīng)當(dāng)在一些必要的“點(diǎn)”上落實(shí)信息技術(shù)的優(yōu)勢，比如教學(xué)過程中的“疑點(diǎn)”“難點(diǎn)”都可以利用信息技術(shù)進(jìn)行試驗(yàn)，新舊知識(shí)的“交匯點(diǎn)”可以利用信息技術(shù)進(jìn)行展示，教學(xué)內(nèi)容中的“開放點(diǎn)”可以用信息技術(shù)構(gòu)筑平臺(tái)提供資源。信息技術(shù)應(yīng)用在“點(diǎn)”上，有選擇地應(yīng)用，避免出現(xiàn)放映幻燈片的注入式教學(xué)。對于該節(jié)課的信息技術(shù)應(yīng)用，筆者認(rèn)為實(shí)施平臺(tái)還有所欠缺，如果能夠在網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下進(jìn)行本堂課的教學(xué)，學(xué)生每人都能在自己的計(jì)算機(jī)上進(jìn)行操作實(shí)驗(yàn)，課前課后能在系統(tǒng)中布置相應(yīng)的學(xué)習(xí)任務(wù)，那么在探究活動(dòng)中就能夠給學(xué)生更大的自主學(xué)習(xí)空間，讓學(xué)生更為完整地親歷認(rèn)知過程，同時(shí)也能更好地利用數(shù)學(xué)建模這一新的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與實(shí)踐能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，實(shí)踐新課程以學(xué)生為主體的教學(xué)理念。