趙美華，劉 兵，劉海波，胡 雪

(1.遼寧師范大學 數(shù)學學院，遼寧 大連 116029;2.鞍山師范學院 數(shù)學與信息科學學院，遼寧 鞍山 114007)

隨著農(nóng)業(yè)經(jīng)濟的發(fā)展，人們越來越關(guān)注害蟲種群的控制問題.噴灑化學殺蟲劑和投放天敵是比較常用的兩種方法.文獻[1-6]假設(shè)殺蟲劑是瞬時成比例殺死害蟲的，考慮到害蟲對殺蟲劑的抗性發(fā)展,文獻[6]建立了周期輪換使用殺蟲劑并考慮不同時刻脈沖作用下的害蟲綜合治理模型.文獻[7-8]在抗性基礎(chǔ)上引入殺蟲劑作用函數(shù)，但只考慮到殺蟲劑對害蟲具有殘留效應(yīng).由于許多殺蟲劑對害蟲具有殘留作用的同時往往還有一定的滯后效應(yīng)[9]，噴灑殺蟲劑之后，一旦這種滯后效應(yīng)發(fā)生，害蟲種群密度不會立刻下降，反而會繼續(xù)保持原有的上升趨勢，直到滯后效應(yīng)消失，害蟲種群密度才會下降，并且這種滯后效應(yīng)一般會使害蟲種群密度超過經(jīng)濟臨界值[10].因此，在害蟲化學控制中，有必要把這種滯后效應(yīng)考慮進去.本文引入殺蟲劑作用函數(shù)，考慮到殺蟲劑的殘留和滯后效應(yīng)，建立了一類具有抗性發(fā)展的害蟲治理模型，分析了害蟲滅絕臨界條件，給出了殺蟲劑的切換策略,所得出的結(jié)論為相關(guān)問題的實際操作提供了理論依據(jù)，具有現(xiàn)實的生物意義.

1 模型建立

考慮到殺蟲劑的殘留和滯后效應(yīng)，本文假設(shè)周期噴灑殺蟲劑，設(shè)周期為T，采用文獻[9]中的b(t)函數(shù)：

b(t)=m[e-a(t-nT)-e-c(t-nT)]，nT

(1)

其中，m是殺蟲劑對害蟲的有效殺死率，滿足m=1-e-kD或m=e-kD，k是正常數(shù)，D是殺蟲劑劑量；a是殺蟲劑對害蟲的衰減率，c是殺蟲劑對害蟲的滯后效應(yīng)率，且滿足c>a.

假設(shè)害蟲種群的自然增長滿足Logistic方程，即

(2)

本文將害蟲種群分成易感害蟲xS(t)與抗性害蟲xr(t)兩種，其中，易感害蟲是指沒有對殺蟲劑產(chǎn)生抗藥性的害蟲，設(shè)其在t時刻所占比例為q(t)；抗性害蟲是指對殺蟲劑產(chǎn)生抗性的害蟲，t時刻所占比例為1-q(t)，則xs(t)=q(t)x(t)，xr(t)=(1-q(t))x(t).因此，易感害蟲xS(t)與抗性害蟲xr(t)滿足如下方程：

(3)

害蟲的種群增長模型變?yōu)?/p>

則系統(tǒng)(3)可變?yōu)?/p>

(4)

其中,x(0)=x0，q(0)=q0，x0代表初始時刻害蟲種群密度，q0代表初始時刻易感害蟲所占比例.通過計算，系統(tǒng)(4)在任意區(qū)間nT

(5)

為了說明殺蟲劑殘留和滯后效應(yīng)對害蟲抗藥性發(fā)展的影響，圖1分別取a=0.2,a=0.5,a=0.8，其它各項參數(shù)取值為T=1.5,q0=0.99,c=8,m=0.8.模擬出q(t)隨時間的變化趨勢，可以看出衰減率a越小抗性發(fā)展越快，也就是殺蟲劑的殘留越大抗性發(fā)展越快；圖2分別取c=1,c=3,c=10,其它各項參數(shù)取值為T=1.5,m=0.8,q0=0.99,a=0.4,m=0.8.模擬出q(t)隨時間的變化趨勢，可以看出滯后效應(yīng)率c越大抗性發(fā)展越快.

2 害蟲滅絕臨界條件

對于非自治系統(tǒng)

(6)

引理1假設(shè)系統(tǒng)(6)滿足

(3)?β>0，

(i)當t≥0時，F(xiàn)(t,0)β；

系統(tǒng)(6)以x(0)=x0為初值的解滿足當t→時，x(t)→0.

圖1 殺蟲劑的殘留效應(yīng)對易感害蟲比例q(t)發(fā)展影響圖 圖2 殺蟲劑的滯后效應(yīng)對易感害蟲比例q(t)發(fā)展影響圖

定理1如果R0(n,T)<1,n∈N時，則系統(tǒng)(5)滿足以x(0)=x0>0為初值條件的解x(t)，當t→時x(t)→0.其中，

證明系統(tǒng)(5)中,F(t,x(t))=r(1-ηx(t))-b(t)q(t)，顯然引理1的條件(1)成立.

F(s,0)=r-m(e-a(t-nT)-e-c(t-nT))q(t)r，所以條件(3)中(i)成立.

由引理1的條件(3)中(ii)知，如果R0(n,T)<1,那么系統(tǒng)(4)滿足以x(0)=x0>0為初始條件的解x(t)，當t→時，x(t)→0.證畢.

根據(jù)R0(n,T)的表達式可知，R0(n,T)是關(guān)于n的單調(diào)增函數(shù).圖3是在改變a的情況下R0(n,T)隨著噴灑次數(shù)變化的趨勢圖，圖3中顯示殺蟲劑對害蟲的衰減率a越大，害蟲根除臨界值越大，害蟲種群越容易爆發(fā).圖4是在改變c的情況下R0(n,T)隨著噴灑次數(shù)變化的趨勢圖，圖4中顯示殺蟲劑對害蟲的滯后效應(yīng)率c越小，害蟲根除臨界值越大，害蟲種群越容易爆發(fā),其中,基本參數(shù)取值為T=1,r=0.5,η=0.01,m=0.9,a=0.2,c=8,q0=0.99.圖5模擬的是不同噴灑殺蟲劑周期下害蟲種群變化趨勢，其中，基本參數(shù)取值為r=0.5,η=0.01,m=0.9,a=0.2,c=8,q0=0.99.由圖5可以看出在噴灑殺蟲劑初期，害蟲種群整體趨于下降趨勢，但隨著害蟲抗藥性的發(fā)展，害蟲種群下降到一定程度后會逐步增加，最終會持續(xù)生存.為了控制害蟲種群，本文接下來給出了兩種切換殺蟲劑的策略.

圖3 殺蟲劑對害蟲的衰減率a對臨界值R0(n,T)影響圖 圖4 殺蟲劑對害蟲的滯后效應(yīng)率c對臨界值R0(n,T)影響圖

3 殺蟲劑切換策略

方法1以臨界值R0(n,T)為殺蟲劑切換依據(jù):

(7)

其中，[]表示取整函數(shù).

圖6中曲線上的黑點表示殺蟲劑的切換時間，由圖6可知，當T=1時，每隔4次切換另一種殺蟲劑；當T=1.2時，每隔2次切換殺蟲劑；當T=1.5時，每隔1次切換殺蟲劑.應(yīng)用這樣的策略切換殺蟲劑害蟲種群最終會得到控制，其中，基本參數(shù)取值為r=0.5,η=0.01,m=0.9,a=0.2,c=8,q0=0.99.

圖5 不切換殺蟲劑的情況下x(t)隨時間變化趨勢圖 圖6 以臨界值為切換依據(jù)害蟲種群的變化趨勢圖

方法2以殺蟲劑效率為切換依據(jù)：

對于固定的周期T，用x(nT)表示在nT時刻害蟲種群數(shù)量，由于x(nT)不是單調(diào)數(shù)列，則存在一個n1∈N，使得

x(T)>x(2T)>…>x((n1-1)T)，x((n1-1)T)

其中，x(nT)滿足如下迭代公式:

對于固定的n，由函數(shù)f(n)可以確定一個自治差分方程，即

對此，我們作出如下討論:

綜上可知：

這里a(n-1)=R0(n-1,T)>1.因此

(8)

4 結(jié)論

本文考慮到殺蟲劑對害蟲具有殘留和滯后效應(yīng)，建立了一類殺蟲劑作用函數(shù)與害蟲抗藥性相結(jié)合的害蟲治理模型.研究了害蟲根除臨界條件，可以看出殺蟲劑對害蟲的殘留和滯后效應(yīng)都會對害蟲抗藥性發(fā)展產(chǎn)生影響，且隨著害蟲抗藥性發(fā)展，害蟲最終會爆發(fā).本文以臨界值和殺蟲劑效率為依據(jù)給出了兩種殺蟲劑的切換策略.在以后的研究中，我們會采用化學控制與生物控制相結(jié)合的方法來進一步延緩害蟲抗藥性發(fā)展，最終進一步控制害蟲數(shù)量.