孔凡哲

一、空間觀念的涵義

空間觀念是學(xué)生主動(dòng)的、自覺的或自動(dòng)化的“模糊”二維和三維空間之間界限的一種本領(lǐng)，是學(xué)生對(duì)生活中的空間與數(shù)學(xué)課本上的空間之間的密切關(guān)系的領(lǐng)悟，它有著多種表現(xiàn)形式。

首先，把握實(shí)物與相應(yīng)的平面圖形，幾何體與其展開圖、三視圖之間的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系，這不僅是一個(gè)思考過(guò)程，也是一個(gè)實(shí)際操作過(guò)程。把上述表現(xiàn)進(jìn)一步向前延伸，就是要嘗試著物化那些感知到的、在直觀的水平上有所把握的轉(zhuǎn)化關(guān)系，能根據(jù)條件做出立體模型或畫出圖形，重現(xiàn)感知過(guò)的平面圖形或空間物體。無(wú)論是做立體模型還是畫出圖形，都要在頭腦加工和組合的基礎(chǔ)上，通過(guò)實(shí)際嘗試和動(dòng)手操作來(lái)實(shí)現(xiàn)。這種重現(xiàn)能使幾何事實(shí)基于直觀的表象、聯(lián)想和特征得到實(shí)實(shí)在在的表示，使空間觀念從感知不斷發(fā)展上升為一種可以把握的能力。

其次，空間觀念在分析和抽象層次上的表現(xiàn)，“能從較復(fù)雜的圖形中分解出基本的圖形”“能描述實(shí)物或幾何圖形的運(yùn)動(dòng)和變化;能采用適當(dāng)?shù)姆绞矫枋鑫矬w間的相互關(guān)系”等等，這些表現(xiàn)是在把握“相互轉(zhuǎn)換”關(guān)系的基礎(chǔ)上，刻畫了根據(jù)圖形的特征在邏輯上對(duì)圖形關(guān)系進(jìn)行的分析與操作。

例如，在電話里向別人描述你搭的如圖1所示的積木塊組合的形狀，就要抓住積木塊之間的位置關(guān)系，使對(duì)方在看不到實(shí)物的情況下，通過(guò)你的敘述產(chǎn)生符合原形的直觀想象。敘述和傾聽都需要在邏輯上對(duì)圖形關(guān)系進(jìn)行分析與操作。嚴(yán)格準(zhǔn)確地描述它的形狀，可能會(huì)依人的能力差異而有所不同，但這些描述中的共性，可能就導(dǎo)致了一些確定的有規(guī)律的內(nèi)容出現(xiàn)，那就是空間觀念。

最后，空間觀念的表現(xiàn)還包括“能運(yùn)用圖形形象地描述問(wèn)題，利用直觀進(jìn)行思考”。直觀思考是沒(méi)有嚴(yán)格演繹邏輯的“形象化”的推理，是結(jié)合情境進(jìn)行的思考。這些內(nèi)容已經(jīng)與幾何直觀有交叉了，就如“搭配中的學(xué)問(wèn)”中的多種表示方法。

特別的，幾何直觀側(cè)重利用圖形整體把握問(wèn)題，而空間觀念側(cè)重于刻畫學(xué)習(xí)者對(duì)于空間的感知和把握程度，前者更接近應(yīng)用層面，可以歸為運(yùn)用圖形的能力，后者側(cè)重于幾何學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)習(xí)者帶來(lái)的變化和發(fā)展。

二、理論依據(jù)

人的先天基因需要后天的適度刺激才能充分表達(dá)。作為空間觀念的重要組成部分，方向感也被稱為方位認(rèn)知，是人體對(duì)物體所處方向的感覺，如對(duì)東西南北，前后左右上下等方向的感覺。很多人對(duì)方向的感覺并不很明顯。

心理學(xué)研究表明：方向感的發(fā)生和發(fā)展受到了先天遺傳和后天環(huán)境的影響，大腦是實(shí)現(xiàn)方向感加工的載體。大約從5歲起，兒童才開始能初步地、固定化地辨別自己的左右方位，而真正掌握具有相對(duì)性的、靈活性的左右概念，大約要到10歲。4歲的兒童開始萌發(fā)空間前后和上下方位的傳遞性推理能力。4～6歲的兒童上下方位傳遞性推理能力的發(fā)展優(yōu)于前后方位，且該階段兒童還不能完全擺脫知覺干擾因素的影響，無(wú)法形成穩(wěn)定的傳遞性推理能力。

事實(shí)上，方位感的發(fā)展具有明顯的階段性，一旦錯(cuò)過(guò)，以后很難修復(fù)。因此，培養(yǎng)、發(fā)展小學(xué)生的空間觀念就變得非常重要，這既是小學(xué)生心理發(fā)展規(guī)律導(dǎo)致的，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所必需的，更是學(xué)生未來(lái)生存和創(chuàng)造的基礎(chǔ)。

事實(shí)上，許多發(fā)明創(chuàng)造都是以實(shí)物的形態(tài)呈現(xiàn)的，作為設(shè)計(jì)者要先從自己的想象出發(fā)畫出設(shè)計(jì)圖，然后根據(jù)設(shè)計(jì)圖做出實(shí)物模型，再根據(jù)模型修改設(shè)計(jì)，直至完善成型。這是一個(gè)充滿豐富想象力和創(chuàng)造性的探求過(guò)程，這個(gè)過(guò)程也是人的思維不斷在二維和三維空間之間轉(zhuǎn)換，利用直觀進(jìn)行思考的過(guò)程，空間觀念在其中發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。

三、小學(xué)生空間觀念發(fā)展對(duì)策

作為小學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)的重要目標(biāo)之一，發(fā)展小學(xué)生的空間觀念，是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所必需的。但是，空間觀念并非涉及所有的小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，而是僅僅涉及“圖形與幾何”領(lǐng)域的大部分內(nèi)容。在這些內(nèi)容的課程教學(xué)中，發(fā)展空間觀念集中體現(xiàn)為“實(shí)像—抽象—想象—活動(dòng)”四要素。

1. 實(shí)像——幾何操作。

空間觀念的發(fā)展離不開幾何操作。這里的操作既可以是實(shí)物操作，也可以是模擬場(chǎng)景下的操作，還可以是抽象層面的操作。

【案例1】說(shuō)一說(shuō)你看到什么？大家各自坐在桌子的什么位置？桌面上物體分別在什么位置？用適當(dāng)?shù)脑~表述你看到的結(jié)果。有幾位同學(xué)看不到金魚，為什么？

在這里，四位學(xué)生分別坐在桌子的東西南北四個(gè)方位，要求按照平面圖形上下左右（目光平視）進(jìn)行觀察。

【案例2】小貓、猴子、長(zhǎng)頸鹿到好朋友大象家做客，看到客廳的擺件臺(tái)（全貌如圖3所示）。你認(rèn)為三幅圖分別是誰(shuí)看到的畫面？為什么？

小貓、猴子、長(zhǎng)頸鹿三位的身高決定了其觀察的視角，長(zhǎng)頸鹿是俯視，猴子是平視，小貓是仰視，自然看到了不同的結(jié)果。其中，俯視是上層的東西顯得大、下層的東西顯得小，而且，能看到第一層擺臺(tái)的上面;平視只能看到中間擺臺(tái)的一條棱和第一層擺臺(tái)的底面;仰視只能看到擺臺(tái)第一層、第二層，且看不到第一層的上面。于是，圖4是猴子看到的結(jié)果，圖6是長(zhǎng)頸鹿看到的結(jié)果，而圖5是小貓看到的結(jié)果。

【案例3】根據(jù)下面三視圖建造的建筑物是什么樣子的？共有幾層？一共需要多少個(gè)小立方體？

【案例4】幾何體的展開折疊。制作正棱柱的展開圖。（圖8）

引導(dǎo)學(xué)生制作幾何體的展開圖，這是高年級(jí)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，幫助學(xué)生經(jīng)歷二維展開圖與三維幾何體之間的轉(zhuǎn)換的過(guò)程，就是空間觀念發(fā)揮作用的過(guò)程。

展開圖需要滿足這樣的條件：上表面和下表面至少要有一條邊與側(cè)面連接，而側(cè)面之間則不必完全連接。正棱柱的展開圖大致分為兩類：當(dāng)側(cè)面都連在一起時(shí)，只要兩個(gè)一樣的正多邊形在側(cè)面所連成的大矩形的兩側(cè)即可（圖9）。當(dāng)側(cè)面和側(cè)面不連接時(shí)，有一個(gè)正多邊形就會(huì)和每一個(gè)側(cè)面都有連接，另一個(gè)正多邊形和其中的一個(gè)側(cè)面的矩形連接即可（圖10）。

回答上述案例中的問(wèn)題，學(xué)生必須多次進(jìn)行形如“如果……那么”的思考，嘗試得出正確的結(jié)論。比較、綜合、歸納、模擬、推理、操作等一系列手段在這里都用得上?；卮疬@個(gè)問(wèn)題會(huì)經(jīng)歷“提出假設(shè)、得出一個(gè)結(jié)論、證實(shí)或否定這個(gè)結(jié)論”的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程正是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的全過(guò)程。這里雖然沒(méi)有嚴(yán)密的邏輯和推理，但依靠與直觀結(jié)合的思考，照樣能得出正確結(jié)論。而這些活動(dòng)都是發(fā)展空間觀念的載體。

2. 抽象——幾何概念的抽象、圖形的抽象及對(duì)圖形性質(zhì)的探討。

幾何概念的抽象過(guò)程，其中包括讓學(xué)生經(jīng)歷從大量生活原型中抽象出幾何概念的過(guò)程，這既是發(fā)展圖形抽象能力，也是空間觀念形成的過(guò)程。不僅如此，操作之中的想象，與想象之后的操作驗(yàn)證，都是空間觀念形成所必需的。先想象一下再動(dòng)手（幾何）操作，再回想（幾何）操作的過(guò)程，是培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的重要環(huán)節(jié)。

【案例5】木板上有三個(gè)孔（圖11），一個(gè)是正方形、一個(gè)是等腰三角形，一個(gè)是圓形。你能否設(shè)計(jì)一個(gè)塞子，把這三個(gè)孔分別都能塞?。ㄉw?。?。它的形狀是怎樣的？同學(xué)們不妨先想象一下這個(gè)塞子的形狀，然后再動(dòng)手做一做，看看和自己想象的是否一致。

3. 想象——借助相應(yīng)的課程內(nèi)容，采用輔助手段（手機(jī)的照相功能、特殊軟件等）。

【案例6】 動(dòng)態(tài)軟件生成的方位判斷：軟件呈現(xiàn)的是一個(gè)人站在廣場(chǎng)中央環(huán)視廣場(chǎng)的場(chǎng)景，學(xué)生可以用鼠標(biāo)拖動(dòng)畫面，實(shí)現(xiàn)人在廣場(chǎng)上移動(dòng)視角觀看廣場(chǎng)東西南北方向場(chǎng)景效果。學(xué)生還能通過(guò)指定畫面判斷方向。

信息技術(shù)的最大優(yōu)勢(shì)就是可以利用軟件模擬出身臨其境的效果，就如拖動(dòng)鼠標(biāo)實(shí)現(xiàn)“親眼”看到東西南北場(chǎng)景的效果，其中還包含了空間推理的元素，凸顯了空間觀念中方位感的作用。

【案例7】 選擇教室內(nèi)的第三排靠走道的某個(gè)同學(xué)為觀測(cè)對(duì)象，教師在教室內(nèi)現(xiàn)場(chǎng)用手機(jī)拍照，分別拍這位同學(xué)的正面像、后面像、左側(cè)面像、右側(cè)面像，隨后馬上將四張照片推送到顯示屏上，但四張照片的順序被打亂了。教師請(qǐng)學(xué)生判斷哪張照片是從哪個(gè)方向拍的，為什么？

在這里，學(xué)生必須說(shuō)出理由，諸如“只有從前面拍照才能看到他的臉”“只有從他的左側(cè)拍照才能看到他的左耳，而不可能看到他的右耳”等等，其中包含空間推理的成分，這是發(fā)展學(xué)生空間觀念的難得機(jī)會(huì)。

4. 特定的活動(dòng)——必須讓學(xué)生親身經(jīng)歷幾何活動(dòng)，在活動(dòng)中感悟體會(huì)，才能逐步形成空間觀念。

【案例8】圖12展示的是某沿海地區(qū)的地圖：游船在其附近的海岸線駛過(guò)。船上的游客看到了一些陸地上的標(biāo)志性建筑：教堂、磨坊和燈塔。他拍下了一些照片，我們現(xiàn)在看到的這些圖片就是游客隨船航行經(jīng)過(guò)此地時(shí)拍攝下來(lái)的。不巧的是這些照片的順序被打亂了。我們能按照片原來(lái)拍攝的先后順序把它們重新排列起來(lái)嗎？

首先，我們應(yīng)當(dāng)想象一下當(dāng)時(shí)的實(shí)際情景，船是按什么方向行駛的，不妨假定從圖12的左側(cè)向右側(cè)方向航行，那么，從最左側(cè)看教堂、磨坊和燈塔，我們將看到的是什么情景呢？磨坊在教堂左側(cè)一點(diǎn)，燈塔與教堂相比較，應(yīng)離我們遠(yuǎn)一些，對(duì)照一下圖13的6幅圖，可以發(fā)現(xiàn)圖c符合上述要求，應(yīng)是第1幅照片。

下面我們讓頭腦中的“船”慢慢向右航行，磨坊將被教堂擋住了，發(fā)現(xiàn)圖b表現(xiàn)的正是這種情形，漸漸地磨坊應(yīng)當(dāng)露出一點(diǎn)了（圖f），再向右航行的話，我們看到的磨坊應(yīng)在教堂與燈塔之間（圖a），接著我們應(yīng)當(dāng)看到燈塔在教堂與磨坊之間（圖d），后來(lái)，教堂被燈塔擋住了（圖e）。這是6幅圖中的最后一幅了（圖e）。完成從左向右的航行后，還可進(jìn)行從右往左的航行。

【案例9】當(dāng)你乘車沿一條平坦的路向前行駛時(shí)，為什么你前方那些高一些的建筑物好像“沉”到了位于它們前面那些矮一些的建筑物后面去了？這其中的原因何在？這一情形可以抽象為以下情景圖：如果你所在的位置是A，你是否會(huì)看到后面那座高大的建筑物？為什么？（圖略）

這樣的情景是很多學(xué)生經(jīng)歷過(guò)的，這樣的問(wèn)題能吸引他們的興趣，而正確回答這個(gè)問(wèn)題要涉及視線、視點(diǎn)、視角、視距等許多與投影有關(guān)的概念，對(duì)這個(gè)問(wèn)題的討論會(huì)引導(dǎo)學(xué)生逐漸明了這樣的道理：被視物體看上去的高矮是由視角a所決定的，而視角的大小又依賴于被視物的高度和視點(diǎn)與被視物之間的距離。距離越近，視角a越大，距離越遠(yuǎn)，視角a越小。如果A再向前挪動(dòng)一點(diǎn)，視角a再大一點(diǎn)，那座高大的建筑物就會(huì)在你眼前消失。“沉”到矮的那座建筑物后面去。這樣，問(wèn)題就可以回答清楚了。

這些例子揭示了如何從普通生活中的情景出發(fā)，在分析討論的基礎(chǔ)上找出幾何模型，通過(guò)思考和簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)，不斷認(rèn)識(shí)、了解和把握實(shí)物與相應(yīng)的平面圖形之間的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系，通過(guò)切身的感受和體驗(yàn)建立空間觀念。這樣的題材接觸多了，二維和三維空間之間的界限就會(huì)越來(lái)越模糊，空間觀念就可以不斷地生發(fā)并逐步形成。

（作者單位：中南民族大學(xué)教育學(xué)院）