魏小軍　莫倩華　周瑩

【摘要】定理教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，教學(xué)過程應(yīng)該體現(xiàn)其來龍去脈.本文基于“六何”認知鏈，圍繞定理從哪里來，定理本質(zhì)是什么，定理與其他相關(guān)知識的關(guān)系怎樣以及如何運用等方面來體現(xiàn)定理教學(xué)的連貫性、層序性和操作性的特點，以“正弦定理”的教學(xué)設(shè)計為例，以期為高中數(shù)學(xué)定理教學(xué)提供理論和教學(xué)實踐參考.

【基金項目】2016年度廣西壯族自治區(qū)研究生教育創(chuàng)新計劃項目“研究生聯(lián)動培養(yǎng)模式研究——以數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論方向為例”（JGY2016003）廣西壯族自治區(qū)普通高中學(xué)科基地項目部分成果.

我國部分學(xué)者通過到一線中學(xué)調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)，定理教學(xué)存在輕定理的來源，重定理的結(jié)果；輕定理的再創(chuàng)造，重定理的訓(xùn)練；輕定理的連貫思維，重定理的解題技巧等問題.這樣的教學(xué)方法如空中樓閣，看似堅不可摧，實則搖搖欲墜.因此，有效的定理教學(xué)過程應(yīng)該體現(xiàn)層序性以及來龍去脈的連貫性思維.本文基于“六何”認知鏈對定理教學(xué)進行了設(shè)計，為定理課堂教學(xué)提供參考.

一、“六何”認知鏈

周瑩教授提出的“六何”認知鏈教學(xué)策略，是從問題意識的角度創(chuàng)建的一種認識方法論，主要體現(xiàn)知識來龍去脈的問題性、層序性、操作性和完整性.“六何”認知鏈包括（從何—是何—與何—如何—變何—有何）[1]，具體內(nèi)容如下：

“從何”：數(shù)學(xué)新知從哪里來？其目的在于介紹新知的背景來源，激活新知的生長點和找準教學(xué)的起點.涉及的知識和提出的問題一般為記憶性知識；“是何”：新知的本質(zhì)屬性和特征是什么？主要是對概念性知識發(fā)問，其目的在于發(fā)現(xiàn)問題和把握知識本質(zhì)，達到對新知的理解；“與何”：新知與舊知有何聯(lián)系及不同？主要針對原理性和關(guān)聯(lián)性知識發(fā)問，其目的在于深化理解，促進知識之間的融會貫通；“如何”：學(xué)的效果如何？主要針對程序性、策略性和應(yīng)用性知識發(fā)問，其目的在于檢驗學(xué)情，學(xué)以致用；“變何”：主要針對條件、結(jié)論、方法的變化進行思考和問題提出和問題變式.其目的在于通過變式拓展，培育學(xué)生學(xué)會問題提出、促進發(fā)散思維能力的提高，以及培養(yǎng)“以不變應(yīng)萬變”的能力；“有何”：這節(jié)課學(xué)到了什么，有何收獲？主要從知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度價值觀角度針對反省認知性知識發(fā)問，引導(dǎo)學(xué)生回顧、梳理和反思，其目的在于促進新知的同化、順應(yīng)，建立良好的認知結(jié)構(gòu).“從何—是何—與何—如何—變何—有何”它們分別與布魯姆目標分類學(xué)提出的記憶、理解、分析、運用、綜合與評價這六個認知目標相一致，具有層序性、連貫性的特點.

六何認知鏈結(jié)構(gòu)圖：

下面以高中人教A版必修5“正弦定理”為例，采用“六何”認知鏈教學(xué)，以學(xué)會思考、深入理解定理為主要教學(xué)目的進行教學(xué)過程設(shè)計.

二、“六何”認知鏈定理教學(xué)設(shè)計

（一）追溯從何，激活學(xué)習(xí)心向

基于對“正弦定理從哪里來？”的思考，可以從以下方面來進行問題設(shè)計.

創(chuàng)設(shè)問題情境：在我國古代，很早就有“嫦娥奔月”的神話故事，我們可以由此聯(lián)想到一個問題，就是這個漂亮的月亮到我們地球的距離到底有多遠呢？其實，早在17世紀的時候，法國著名的天文學(xué)家拉朗德就曾思考過這個問題，并且計算出了地月的距離.

問題1：月亮表面到地球表面距離有多遠？

問題2：同學(xué)們觀察圖1可以抽象出一個什么樣的數(shù)學(xué)問題，已知有哪些？要求解什么？

問題3：剛才我們抽象出圖2的三角形，這個三角形我們直接求解不出來，怎么辦呢？

問題4：通過畫輔助線轉(zhuǎn)化成求解直角三角形的問題？這是把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題的求解，利用化歸思想.此外，我們還可以通過今天的學(xué)習(xí)探究一個定理，能直接解決已知兩角及其夾邊求解三角形的另外一邊的問題等.

【解讀】培根說：“史鑒使人明智，欲知大道必先明史，鑒往可以知今，溯其淵源才能察其流向”.故“從何”作為定理教學(xué)的起點，對“從何”的思考，創(chuàng)設(shè)地月距離的問題情境，提出相應(yīng)的問題串1，2，3，4，這里教師通過了解定理的出處，引導(dǎo)學(xué)生從天文學(xué)的應(yīng)用角度，初步感知新知所蘊含的強大應(yīng)用價值和科學(xué)價值.設(shè)置探索三角形邊角關(guān)系的環(huán)節(jié)，為本節(jié)課的任務(wù)挖掘出這個“數(shù)學(xué)定理”做鋪墊.另一方面，引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實問題中抽象出數(shù)學(xué)問題，調(diào)動學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).

（二）把握是何，發(fā)現(xiàn)定理本質(zhì)

對什么是正弦定理的思考，于是提出探究“是何”相關(guān)問題串：

問題1：三角形以角來劃分，有哪些類型的三角形？三角形的邊與角有哪些等量的關(guān)系？同學(xué)們還記得初中學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)嗎？

問題2：任意的直角三角形ABC中都有asinA=bsinB=csinC成立嗎？

問題3：從分類的角度，我們還得探究銳角三角形和鈍角三角形，是否有邊和所對角的正弦值的比相等呢？

【解讀】“是何”，主要是探索新知，理解本質(zhì).教師從學(xué)生已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生建立新舊知識間的內(nèi)在聯(lián)系，激活新知的生長點，設(shè)置問題1，2，3，引導(dǎo)學(xué)生類比初中“銳角三角函數(shù)的定義”，從直角三角形中邊角的數(shù)量關(guān)系入手，尋找到邊角之間的橋梁，抓住新知的本質(zhì)特征，進而發(fā)現(xiàn)直角三角形中有各邊與所對角的正弦值的比相等.這里從數(shù)學(xué)建模到分析數(shù)學(xué)建模，有利于學(xué)生把握定理特點，發(fā)現(xiàn)定理本質(zhì).

（三）連接與何，形成數(shù)學(xué)定理

問題1：猜一猜銳角三角形和鈍角三角形的邊角有何關(guān)系？

問題2：運用玲瓏畫板動畫演示，一般的三角形各邊角發(fā)生變化的時候，你觀察到所有類型的三角形邊和它所對角的正弦值的比有什么特點呢？

問題3：你能嘗試證明：任意三角形ABC中，都有asinA=bsinB=csinC成立嗎？即對于銳角三角形和鈍角三角形也成立嗎？

【解讀】由三角形的多樣性初步凸顯分類討論的必要性；從特殊的直角三角形過渡到一般的銳角和鈍角三角形.借助玲瓏畫板展示任意三角形各邊所對角的正弦值的比的變化情況，突出“形變神不變”的邊角數(shù)量關(guān)系，感受在一般三角形中都成立，從而進一步驗證學(xué)生的猜想.但是，光有簡單的猜想演示還不夠，接下來引導(dǎo)學(xué)生利用化歸的思想，通過作輔助線的方法，把非直角三角形轉(zhuǎn)化成直角三角形.這里要注意引導(dǎo)學(xué)生準確地判斷出“作高”，“作高”是衡量其能否將一般情形轉(zhuǎn)化為前面已得證的特殊情形的關(guān)鍵.設(shè)置問題串1，2，3促進學(xué)生進一步加深正弦定理的理解，體驗定理的探究、證明以及定理的應(yīng)用的聯(lián)系，從而形成數(shù)學(xué)定理.

（四）操作如何，檢驗定理效果

學(xué)生學(xué)習(xí)了正弦定理之后，效果怎樣？如何學(xué)以致用地思考，首先提出先前組織者的問題：“前面探究學(xué)習(xí)了正弦定理，下面檢查自己的學(xué)習(xí)效果.”然后提出以下“如何”問題串：

問題1：你會求地月距離了嗎？

問題2：已知三角形ABC中，∠A，∠B的大小以及c的值，求a，b的值.

【解讀】前面通過“從何”“是何”“與何”的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)知道定理的來源背景、本質(zhì)特征以及相關(guān)聯(lián)的知識.如何將定理學(xué)以致用，知行合一，是本節(jié)課的關(guān)鍵點.

（五）重視變何，加深定理理解

對問題“變一變”又會怎樣的思考，提出“變何”問題串：

問題1：（條件變式）：已知三角形ABC中，∠C=30°，a=2，c=3，求b的值和∠A，∠B的大小.

問題2：（變式拓展）在三角形ABC中，如果已知b，c的長和∠A的大小，如何求∠B，∠C以及a的大??？

【解讀】如果前面的“如何”是定理教學(xué)的關(guān)鍵點的話，那么“變何”則是課堂的高潮點，“變式拓展”可以幫助學(xué)生多角度地理解定理知識本質(zhì)、總結(jié)歸納數(shù)學(xué)定理的思想方法，使學(xué)生實現(xiàn)“知識型”向“智力型”的轉(zhuǎn)化[2].通過對“變何”的思考，問題串1，2分別改變條件、結(jié)論以及表征方式進行局部和整體的變式，自然由三角形任意兩邊與其中一邊的對角過渡到三角形任意兩邊及其所夾的角.變式拓寬了學(xué)生的思路，有助于學(xué)生創(chuàng)新思維與發(fā)散思維的培養(yǎng)，增強學(xué)生舉一反三，多元歸一的變式能力.

（六）挖掘有何，體悟定理思想

對這節(jié)課的學(xué)習(xí)有什么收獲與體會，提出“有何”問題串：

問題1：通過正弦定理的學(xué)習(xí)，學(xué)會了哪些知識？體悟到哪些數(shù)學(xué)思想方法，以后遇到類似的數(shù)學(xué)問題會這樣去思考和提出問題了嗎？

問題2：回憶這節(jié)的來龍去脈，能梳理畫出這節(jié)課學(xué)習(xí)的思維導(dǎo)圖嗎？還有哪些問題與困惑嗎？

【解讀】一堂精彩的課就如同一首美妙的曲子，不但要有引人入勝的序曲、扣人心弦的主旋律，還要有一個余音繞梁的尾聲[3].通過對“有何”的思考，設(shè)置問題串1，2引導(dǎo)學(xué)生從知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度價值觀三維目標來對新知進行再認識、升華，串點織網(wǎng)，優(yōu)化認知結(jié)構(gòu)，達到“課雖盡而趣無窮、思未盡”的效果.

三、“六何”定理教學(xué)設(shè)計的評析與啟示

“六何”認知鏈的定理教學(xué)主要是以“六何”系統(tǒng)作為思考，貫穿于學(xué)生的“學(xué)”與教師的“教”的全過程.本文以“正弦定理”為例，基于“六何”認知鏈，設(shè)計定理的來源（從何），定理的本質(zhì)特征（是何），定理與知識相關(guān)聯(lián)（與何），定理學(xué)以致用，知行合一（如何），定理拓展變式（變何），定理的學(xué)習(xí)收獲與體會（有何），這樣以問題驅(qū)動，以正弦定理知識的來龍去脈為主線，循序漸進、自然連貫、拓展提升，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生積極思考，鼓勵學(xué)生在問題中參與、體會、探究.

在應(yīng)用“六何”認知鏈的時候，要注意以下問題：首先“六何”問題網(wǎng)絡(luò)并不是一成不變的，可以根據(jù)課堂的變化情況進行適當?shù)恼{(diào)整.其次教師還要重視一些非認知的因素.不僅要教學(xué)生“學(xué)會”“會學(xué)”，還要促進學(xué)生“樂學(xué)”.最后，教會學(xué)生運用“六何”認知鏈去自主學(xué)習(xí)、獨立思考、自我反思，從而養(yǎng)成一個良好的思維習(xí)慣.

【參考文獻】

[1]周瑩，馮璐，李宗樺.基于“六何”認知策略的數(shù)學(xué)解題反思[J].中小學(xué)課堂教學(xué)研究，2017：7-8.

[2]蔡曉純，何小亞.正弦定理的教學(xué)設(shè)計[J]中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2016（7）：1-4，5.