沈逸飛

摘要：中心極限定理在現(xiàn)代概率論中已經(jīng)起到了非常重要的作用，本文對三種常見的中心極限定理進(jìn)行了簡要的介紹，并通過實際問題的舉例對定理的應(yīng)用進(jìn)行了論述。

關(guān)鍵詞：概率；中心極限定理；應(yīng)用

1.概率論與中心極限定理

對于概率論這一理論而言，其最早是由兩個著名的數(shù)學(xué)家費馬以及帕斯卡所提出的。近些年來，伴隨著越來越多的數(shù)學(xué)家的不斷研究，這一理論已經(jīng)變成了數(shù)學(xué)理論中的一個獨立的分支了。不同于其他學(xué)科，概率和統(tǒng)計學(xué)科所得到的結(jié)果不是必然的，這門學(xué)科主要是對隨機現(xiàn)象所具有的規(guī)律進(jìn)行一個解釋。由于現(xiàn)實生活里面大量的事物均是持續(xù)變化發(fā)展的，對于事物所產(chǎn)生的結(jié)果，我們并沒有辦法進(jìn)行完全的掌控，因此對于概率統(tǒng)計而言，其條件和結(jié)果兩者間也不是存在著必然的聯(lián)系的，一般情況下，對于一個概率命題而言，其有可能出現(xiàn)A結(jié)果，同樣也有能出現(xiàn)B結(jié)果。對于我們而言，不但要針對于概率命題進(jìn)行一個精準(zhǔn)的計算，并且還應(yīng)該擁有分析實際問題的能力。在概率論里面有一個重要的定理就是中心極限定理，針對于數(shù)理統(tǒng)計以及誤差分析理論而言，中心極限定理是其基礎(chǔ)。目前這一理論具有很廣泛的應(yīng)用前景，特別是對于經(jīng)濟學(xué)而言，這一理論的運用在企業(yè)進(jìn)行相關(guān)決策時有著很重要的作用。

2.三種中心極限定理的簡述

2.1林德貝格-勒維中心極限定理

定理1：這里現(xiàn)在假設(shè) 為一個獨立同分布的隨機變量序

列的集合，同時 并且記：

那么對于實數(shù)y，則：

這一定理是由兩個著名的數(shù)學(xué)家勒維以及林德貝格分別于1920年所提出來的，這一定理其告知我們針對于獨立同分布的隨機變量序列而言，它的共同部分既能夠為連續(xù)分布的，同樣也能夠為離散分布的，能夠為正態(tài)分布的，同樣也能夠為非正態(tài)分布的，只要是這個序列的共同分布存在著方差，同時這個方差的數(shù)值不是0，那么就能夠?qū)@個定理進(jìn)行使用。

這個定理也可以這樣理解：即當(dāng)n的數(shù)值充分大的時候，能夠通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布對和有關(guān)事件的概率大小進(jìn)行計算，但是在n的數(shù)值相對較小的時候，便不能夠確保這種近似程度了。因此在

的時候，那么就有

2.2李雅普諾夫中心極限定理

定理2：這里現(xiàn)在假設(shè) 是一個獨立隨機變量序列的集合，同時 記 符合

那么獨立隨機變量的總和 的標(biāo)準(zhǔn)化變

量 的分布函數(shù) ，針對于任意的數(shù)值x，

符合 。

對于該定理而言，其是由著名的數(shù)學(xué)家李雅普諾夫于上個世紀(jì)提出來的，其表示：當(dāng)處于一個理想的條件下的時候，隨機變量

在n的數(shù)值非常大的時候，能夠近似的服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，通過這一點能夠看出，在n的數(shù)值非常大的時候，

會近似的服從正態(tài)分布 即對于每一個隨機變量而言，不管其服從于哪一個分布，只要能夠符合這個

定理，則總和 在n的數(shù)值非常大的時候，就會近似的服從于一個正太分布，正好解釋了為什么對于正態(tài)隨機變量而言，其在概率論里面會占有一個特別重要的地位。

2.3棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理

定理3：這里現(xiàn)在假設(shè)n重伯努利試驗里面，A事件在每一次試驗里面發(fā)生的概率大小是p，記 是n次試驗里面A事件發(fā)生的

次數(shù)，那么記 那么對于一個任意的實數(shù)y，則有

。

其實這個定理是林德貝格-勒維中心極限定理的一種特殊情況，同時也為時間最早的中心極限定理。在18世紀(jì)的三十年代，著名的數(shù)學(xué)家棣莫弗對p=1/2對上面的定理進(jìn)行了證明，到了后來，數(shù)學(xué)家拉普拉斯又將這個定理推廣至p為一個任意的不超過1的正數(shù)上去了。

3.中心極限定理在實際問題中的應(yīng)用舉例

3.1在器件價格預(yù)算問題中的應(yīng)用

例1：對于某一種器件而言，其使用年限是服從指數(shù)分布的，并且使用年限的平均值大小是20h，在使用的過程中如果一個器件出現(xiàn)了損壞，那么就會換上一個新的，一直這樣下去，現(xiàn)在我們知道一個器件的成本是a元?，F(xiàn)在需要我們求年計劃里面應(yīng)該針對于這種期間作一個多少的預(yù)算，才會有95%的概率夠一年進(jìn)行使用，這里我們假設(shè)一年中有兩千個小時在進(jìn)行使用。

這里假設(shè)第k個器件的使用年限是 ，因為 是服從于參數(shù)是 的指數(shù)分布，同時

這里現(xiàn)在假設(shè)在一年的時間里面最少要準(zhǔn)備n個器件才可以存在95%的概率夠用，記 通過2.2節(jié)的定理能夠得出

也就是

因此 。通過查表得出：

因此，在年計劃里面要針對于這種器件作118元的預(yù)算才有95%的概率夠一年的時間進(jìn)行使用。

3.2在設(shè)置座位數(shù)量問題中的應(yīng)用

例2：某一所學(xué)校有900個學(xué)生對高等數(shù)學(xué)進(jìn)行了選修，一共有6名老師講課，現(xiàn)在假設(shè)每一個學(xué)生都是隨機的對老師進(jìn)行選擇，同時學(xué)生和學(xué)生間進(jìn)行老師的選擇時也是相互獨立的。那么求針對于每一個高等數(shù)學(xué)老師而言，教師里面要設(shè)置多少個座位才可以確保由于作為不夠而導(dǎo)致學(xué)生離開的概率值會不超過1%。

解：僅僅需要對某一個老師甲的教室進(jìn)行考慮，這里假設(shè)教室要設(shè)置M個座位，下面對隨機變量進(jìn)行定義：

按照題意 同時 是互相獨立同分布的，對老師甲進(jìn)行選擇的學(xué)生總?cè)藬?shù)是 為了能夠使得學(xué)生不會因為座位不夠而離開教室，一定要確保M≥X，所以要

使得M符合 注意到

通過2.1節(jié)定理能夠得出：

通過查表最后得出： ，

所以這里取M為177。

4.總結(jié)

本文通過中心極限定理對設(shè)置座位數(shù)量問題以及器件價格預(yù)算問題進(jìn)行了求解，從而了解到該定理在現(xiàn)實中的應(yīng)用非常的廣泛，所以熟練的掌握這一定理對解決概率問題具有很大的幫助。

參考文獻(xiàn)

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