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        從“維恩圖”到“線段圖”

        2018-12-20 10:41:02張錦
        贏未來 2018年17期
        關(guān)鍵詞:線段圖集合抽象

        張錦

        摘要:數(shù)學(xué)模型的抽象化,勢必需要具體手段加以輔助。利用維根圖,可以形象而直觀的表示一些對象的整體性,對于構(gòu)建加法、減法、分?jǐn)?shù)數(shù)學(xué)模型起到推動作用。利用線段圖的優(yōu)勢則體現(xiàn)在直觀清晰建立一一對應(yīng)、等價、多、少等數(shù)學(xué)模型上。

        關(guān)鍵詞:韋恩圖;線段圖;數(shù)學(xué)模型;集合;抽象;形象

        數(shù)學(xué)模型是關(guān)于部分現(xiàn)實世界為某種目的的一個抽象的簡化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。這種抽象化、簡約化,勢必需要用形象、具體的手段做輔助,實現(xiàn)其“拐棍”作用。

        我們最先想到的往往是線段圖,其操作簡便易行,且便于分析理解。但對于小學(xué)生來說,特別是低年級學(xué)生,是否也具有一定的抽象性呢?

        在線段圖中,一條線段表示的往往是一個量的多少。一條線段也就是一個整體,這里面也就有了集合思想。這種整體性,有時不如用“維恩圖”更形象。

        維恩圖就是把具有某種屬性的一些對象,用封閉的曲線圈起來看作一個整體,這個整體就是一個集合,圈內(nèi)的對象就是集合的元素。用維恩圖能為學(xué)生構(gòu)建模型起到很好的推動作用。

        數(shù)學(xué)內(nèi)容有時本身就是一種數(shù)學(xué)模型。比如:

        自然數(shù)是表述有限集合“數(shù)數(shù)”過程的數(shù)學(xué)模型;

        加法是“合并”、“添加”的數(shù)學(xué)模型;

        減法是“拆分”、“減少”的數(shù)學(xué)模型;

        分?jǐn)?shù)是平均分派物品的數(shù)學(xué)模型。

        上面所說的數(shù)學(xué)模型是否都蘊含“整體與部分”的關(guān)系?這種“整體與部分”的關(guān)系是否用“維恩圖”更能說明問題?

        1.一年級學(xué)生“認(rèn)識10以內(nèi)的數(shù)”,用維恩圖表示6個人,6本書,6支鉛鉛筆……,在此基礎(chǔ)上抽象出“6”,學(xué)生抽象出自然數(shù)是“非空的、等價的”這一數(shù)學(xué)模型。

        2.對于加法,我們不可能給一年級的學(xué)生下定義,下面的維恩圖是否能幫助學(xué)生理解?

        (1)求下面圖1和圖2一共有多少小正方體,用圖3幫助學(xué)生理解“合并”的數(shù)學(xué)模型。

        (2)如果從圖1再增加3個小正方體,變成圖3也能幫助學(xué)生理解“添加”的數(shù)學(xué)模型。

        3.減法是加法的逆運算,看看維恩圖又有哪些作用。

        (1)圖4,表示的是把一個整體分成兩部分,已知其中的一部分,求另一部分,也就是“拆分”的數(shù)學(xué)模型。

        (2)圖5,表示的是從一個整體去掉其中的一部分,求另一部分,也就是“減少”的數(shù)學(xué)模型。

        7個

        4.有了前面的認(rèn)識,學(xué)生對加減混合的學(xué)習(xí),也可以利用維恩圖研究:

        有了圖6,學(xué)生理解4+5-3也就不困難了。

        5. 分?jǐn)?shù)是平均分派物品的數(shù)學(xué)模型。平均分就是要把一個整體平均分,表示這樣的幾份。圖7是否能幫助學(xué)生理解呢?

        上面所說的都是存在“整體與部分”關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。老師們可能會想到,在數(shù)學(xué)上兩個量的比較,其應(yīng)用性更為廣泛。比如 ,低年級學(xué)生先從“兩個量比多少”開始學(xué)起,“比”之后,就有同樣多、誰多、誰少的結(jié)果。

        圖8,在一一對應(yīng)中,滲透“等價”的數(shù)學(xué)模型。

        圖9,在一一對應(yīng)的基礎(chǔ)上,理解○在與△同樣多的基礎(chǔ)上,還多出3個,理解“多”的數(shù)學(xué)模型。

        但隨著數(shù)量的增多,利用維恩圖還能發(fā)揮作用嗎?比如,35個△和49個○比多少,我們難道用維恩圖真得要畫出35個△和49個○嗎?

        如果用簡約化的維恩圖(圖10)幫助學(xué)生理解,特別是一一對應(yīng)、等價、多、少的數(shù)學(xué)模型建立,其二維性,就不如線段圖直觀、清楚了。這時,線段圖就能很好的發(fā)揮作用了(如圖11、圖12)。

        這樣,學(xué)生利用線段圖更容易“比”,在“比”線段長短的過程中,“比”出誰多誰少,多多少,少多少。

        一個量比另一個量多幾(或少幾),需要這樣去“比”,那關(guān)于兩個量的“倍數(shù)關(guān)系”、“分?jǐn)?shù)關(guān)系”,就更需要線段圖了(如圖13、圖14)。

        教學(xué)過程中,需要直觀的輔助手段,給抽象化、簡約化的數(shù)學(xué)模型提供形象支撐。但選擇的輔助手段合適與否還需要我們深入研究。就像從“維恩圖”到“線段圖”……

        參考文獻:

        [1] 溫寒江.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與創(chuàng)新能力培養(yǎng)[M]. 北京:北京科學(xué)技術(shù)出版社,2006.1:53—72

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