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(1.清華大學(xué) 電子工程系 北京信息科學(xué)與技術(shù)國家研究中心，北京100084； 2.深圳清華大學(xué)研究院 廣東省(深圳市)數(shù)字電視系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東 深圳 518000)

1 引 言

正交頻分復(fù)用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing,OFDM)技術(shù)是一種多載波傳輸通信技術(shù)，由于它具備極高的頻譜效率，并且可以實(shí)現(xiàn)簡單的頻域均衡，所以被廣泛應(yīng)用在各種無線寬帶通信場景中[1]，如無線局域網(wǎng)(Wireless Local Area Network,WLAN)、長期演進(jìn)技術(shù)(Long Term Evolution,LTE)等。但是，它同樣具備一些明顯的缺點(diǎn)，本文主要討論其中兩個問題。第一是OFDM系統(tǒng)的帶外泄漏(Out-of-Band,OOB leakage)問題。作為一種多載波通信系統(tǒng)，OFDM信號的每一個子載波波形是一個sinc函數(shù)，疊加后導(dǎo)致了系統(tǒng)的帶外泄漏，這種泄漏會對鄰頻帶的通信應(yīng)用造成干擾，所以，為了提高通信質(zhì)量，減少這樣的帶外泄漏是很有必要的。第二是OFDM系統(tǒng)的信號通常有比較高的峰均功率比(Peak-to-Average Power Ratio,PAPR)，這就要求射頻功率放大器不能只是在線性工作區(qū)工作，給射頻功放提出了一定的要求，需要較大的動態(tài)范圍[2]。通過降低PAPR可以降低整個OFDM的系統(tǒng)開銷，適當(dāng)增加發(fā)射功率，從而提升整個系統(tǒng)的通信質(zhì)量。

針對以上提到的兩個問題，已經(jīng)有大量的解決方案被提出。對于帶外泄漏問題，經(jīng)典傳統(tǒng)方法是窗函數(shù)技術(shù)[3]，即通過對時(shí)域波形進(jìn)行窗函數(shù)設(shè)計(jì)來達(dá)到降低帶外泄漏的目的，比如使用升余弦窗等。這類方法需要額外的保護(hù)間隔，會降低系統(tǒng)的頻譜效率。所以，有人提出了一些新型技術(shù)[4-9]，其中消除技術(shù)和預(yù)編碼技術(shù)具有較好的性能表現(xiàn)[1,4-5,8]。PAPR降低技術(shù)目前包括星座整形[10]、部分傳輸序列(Partial Transmit Sequence,PTS)[11]、限幅濾波算法[12]、預(yù)編碼算法等[2]。以上方法一般都是用來處理帶外泄漏或者PAPR中的單一問題。考慮到它們都有使用預(yù)編碼的解決方案，本文將兩種獨(dú)立的預(yù)編碼方案[2,4]融合在一起，以實(shí)現(xiàn)同時(shí)降低帶外泄漏和PAPR的目的，即僅使用一個預(yù)編碼矩陣來實(shí)現(xiàn)兩個目標(biāo)。本文提出的方案主要基于文獻(xiàn)[4]提出的框架，引入編碼冗余度，通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)將問題轉(zhuǎn)化為矩陣Frobenius范數(shù)的最小化問題[13]，并結(jié)合文獻(xiàn)[2]中所表述的降低PAPR的直接預(yù)編碼矩陣進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化，得到最終的正交預(yù)編碼矩陣。最后給出算法仿真結(jié)果，比較不同預(yù)編碼方案在帶外泄漏和PAPR抑制上的性能差異，并給出隨著冗余度變化本文所提方案的性能變化情況。

2 預(yù)編碼模型與主要框架

本節(jié)介紹預(yù)編碼OFDM系統(tǒng)模型和一個主要基于文獻(xiàn)[4]的主體預(yù)編碼框架，此框架主要是針對降低標(biāo)準(zhǔn)OFDM系統(tǒng)的帶外泄漏。

2.1 預(yù)編碼模型

一個典型的預(yù)編碼OFDM系統(tǒng)示意圖如圖1所示。假設(shè)采用的子載波數(shù)量為M，在星座點(diǎn)映射后的數(shù)據(jù)流被分為N塊，其中M≥N，定義編碼冗余度R=M-N[4]。所以在逆傅里葉變換(Inverse Fast Fourier Transform,IFFT)之前的預(yù)編碼過程的矩陣表示為

s=Pd。

(1)

式中：d是編碼前的原始符號列向量，s是編碼后的符號向量，P是一個M×N的預(yù)編碼矩陣。為了減少對于誤碼率性能的影響，本文采用正交預(yù)編碼方案，即預(yù)編碼矩陣P滿足PHP=IN。

圖1 OFDM預(yù)編碼模型Fig.1 Model of precoding a typical OFDM system

通常在一個OFDM系統(tǒng)中，每一個符號可以視為和一個矩形窗函數(shù)相乘，該窗函數(shù)可記作

(2)

式中：T表示符號周期。則第i個子載波的頻域表示為[14]

(3)

可忽略常數(shù)因子，得到

(4)

ci表示第i個子載波與頻率ω之間的影響系數(shù)。如果定義一個帶外的頻率集合Φ，其中包含K個元素，每一個元素表示頻帶外的一個頻點(diǎn)，那么帶外泄漏就可以用如下的矩陣形式表示：

r=Cs=CPd。

(5)

式中：C是一個K×M的影響系數(shù)矩陣，它的元素由Ci,j=C(i,j)=ci(ωj)計(jì)算，表示第k個帶外頻率點(diǎn)對第m個帶內(nèi)頻點(diǎn)的影響因子。則r為一個K×1的矢量，代表了帶外頻率集Φ上所設(shè)的K個頻率點(diǎn)的帶外泄漏情況。

2.2 主要框架

為了降低帶外泄漏，由以上模型可知，帶外泄漏功率可表示為Poob=E[rHr]，抑制帶外泄漏即最小化Poob=E[rHr]。常用的方法是利用奇異值分解(Singular Value Decomposition,SVD)。通過SVD可將CP分解為

CP=UΣVH。

(6)

式中：U、V分別是K×K和N×N的酉矩陣。那么有

(7)

根據(jù)文獻(xiàn)[13]的介紹，矩陣Frobenius范數(shù)具備數(shù)學(xué)特性：矩陣的Frobenius范數(shù)等于該矩陣奇異值的平方和[13]，所以式(7)可寫作

Poob=Ps‖CP‖2。

(8)

式中：Ps是原始數(shù)據(jù)d的平均功率，‖·‖代表矩陣的Frobenius范數(shù)。那么為了得到最優(yōu)的預(yù)編碼矩陣，需要解決如下最小化問題：

(9)

Popt=V1Q。

(10)

式中：V1是酉矩陣Vc的一個M×N階子矩陣，由Vc的最后N列組成，對應(yīng)最小的N個奇異值；Q是任意的N×N階酉矩陣，即滿足QHQ=I。這樣，Popt就是最小化問題(9)的解，并且是正交矩陣，符合設(shè)定的要求。

以上給出了一種預(yù)編碼矩陣的設(shè)計(jì)模式用于抑制帶外泄漏，但并沒有給定矩陣Q，所以無法計(jì)算確定的Popt。針對Q矩陣，如前文所述，Q是任意的酉矩陣。考慮一個具有R個冗余子載波的OFDM系統(tǒng)，系統(tǒng)的R個冗余子載波上不搭載任何數(shù)據(jù)，即不做編碼，只是在頻帶兩側(cè)留出空閑頻點(diǎn)用作保護(hù)頻帶。不編碼即等效于預(yù)編碼矩陣P=B，B見式(11)。但是在上述框架下，由于引入了編碼來降低帶外泄漏，在R個冗余子載波上實(shí)際上不填充0，經(jīng)過預(yù)編碼后有非零數(shù)據(jù)。所以在本框架下，考慮了帶外泄漏預(yù)編碼的Popt不嚴(yán)格等于B。而為了不改變OFDM系統(tǒng)的其他特性，問題轉(zhuǎn)化為使預(yù)編碼矩陣Popt盡可能接近這個目標(biāo)矩陣B，即

(11)

式中：RL+RR=M-N=R>0，表示編碼冗余度，即不承載實(shí)際數(shù)據(jù)的子載波數(shù)量。那么為了使Popt盡量接近B，問題轉(zhuǎn)化為如下的最小化問題：求矩陣Q(QHQ=I)，使

(12)

此問題的解對應(yīng)的Popt=V1Q即為與目標(biāo)矩陣B最接近的正交預(yù)編碼矩陣。該最小化問題在線性代數(shù)當(dāng)中已經(jīng)有相關(guān)的解決方法[13]。

但是該最小化問題僅考慮了標(biāo)準(zhǔn)情況下帶外泄漏的抑制，并對PAPR進(jìn)行優(yōu)化。實(shí)際上考慮到PAPR的抑制，目標(biāo)矩陣B將會有針對性地改變。本文將在下一節(jié)結(jié)合PAPR的優(yōu)化，改變目標(biāo)矩陣，并給出矩陣Q的計(jì)算方法。

3 針對降低PAPR的方案改進(jìn)

上一節(jié)介紹了一種通用的降低帶外泄漏的預(yù)編碼方法框架，但是僅僅達(dá)到了降低帶外泄漏的目的，并沒有對PAPR進(jìn)行優(yōu)化。正如上文所述，可以通過式(12)中目標(biāo)矩陣B的設(shè)計(jì)，通過Popt=V1Q與目標(biāo)矩陣的接近，即矩陣差值范數(shù)最小化問題的解決，來實(shí)現(xiàn)可以降低PAPR的矩陣Q的設(shè)計(jì)，從而完成最終預(yù)編碼矩陣的計(jì)算。

文獻(xiàn)[2]提出了一種離散余弦變換(Discrete Cosine Transform,DCT)預(yù)編碼矩陣，經(jīng)過該矩陣預(yù)編碼后的信號的PAPR有明顯降低。該方法主要是將離散余弦變換矩陣D直接作為預(yù)編碼矩陣，即在式(1)中有P=D，D的元素如式(13)：

(13)

但是這種方法只針對PAPR這一個問題，于是本文將它與上文所述的預(yù)編碼框架結(jié)合起來，利用D矩陣來優(yōu)化預(yù)編碼矩陣P，將D矩陣作為目標(biāo)矩陣，從而實(shí)現(xiàn)同時(shí)優(yōu)化兩個問題的目的。

與上述框架類似，本文將Popt向D矩陣近似，而不是標(biāo)準(zhǔn)OFDM系統(tǒng)即式(11)中的B矩陣，所以有

(14)

式中：DN×N是一個N×N的離散余弦變換矩陣，它的元素由式(13)計(jì)算。所以問題(12)轉(zhuǎn)化成了

(15)

由線性代數(shù)知識可知[4,13]，對于一個給定矩陣V1和Do，問題(15)的最優(yōu)解為

Qo=UoVoH。

(16)

Popt=V1UoVoH。

(17)

這樣，本文就實(shí)現(xiàn)了兩種分別解決不同問題的預(yù)編碼方案相結(jié)合，得到最終預(yù)編碼矩陣，并使用單一預(yù)編碼矩陣同時(shí)實(shí)現(xiàn)帶外泄漏和PAPR的降低，而且算法復(fù)雜度和原有的框架類似，僅增加了計(jì)算離散余弦變換矩陣的時(shí)間。

4 仿真分析

為了評價(jià)本文所提出的預(yù)編碼方案的性能，使用Matlab進(jìn)行仿真。本文假設(shè)這是一個對稱的OFDM系統(tǒng)，即RL=RR=R/2，使用總共M=64個子載波和正交相移鍵控(Quadrature Phase Shift Keying,QPSK)的調(diào)制方式。由前文算法所述，計(jì)算式(5)中矩陣C的元素C(i,j)需要設(shè)定特定的帶外頻率集Φ，本文將Φ設(shè)置為

Φ=[ωL-96Δω,ωL-16Δω]∪[ωR+16Δω,ωR+96Δω]。

式中：[ωL,ωR]為頻帶范圍，Δω為子載波間隔。

圖2給出了4種OFDM系統(tǒng)在R=4時(shí)帶外泄漏情況的對比。直接DCT預(yù)編碼方法[4]由于僅考慮了PAPR優(yōu)化，沒有考慮帶外泄漏情況，所以帶外抑制效果是最差的。在本文所設(shè)置的條件下，帶外泄漏在-30 dB左右；標(biāo)準(zhǔn)OFDM系統(tǒng)(即無編碼)的帶外泄漏情況比前者略優(yōu)，但由于標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)同樣沒有考慮抑制帶外泄漏，數(shù)量級上并沒有差距，性能基本相當(dāng)。本文所提方案在R=4的情況下，帶外泄漏比前兩者降低15 dB，抑制效果明顯；與此同時(shí)由于考慮了PAPR抑制，本文提出的方案比僅抑制帶外泄漏的標(biāo)準(zhǔn)框架方案在帶外抑制上雖然性能稍差，但是差距很小，而對PAPR卻有明顯的優(yōu)化作用。

圖2 R=4時(shí)4個不同的OFDM帶外泄漏情況Fig.2 Out-of-band emission performance comparison among different OFDM systems with R=4

圖3表示了R=4的情況下上述4個不同OFDM系統(tǒng)在PAPR性能上的對比，表現(xiàn)形式為PAPR的互補(bǔ)累計(jì)分布函數(shù)(Complementary Cumulative Distribution Function，CCDF)。為方便比較，以10-3量級作為比較基準(zhǔn)。標(biāo)準(zhǔn)框架方案只考慮帶外泄漏的抑制，其PAPR性能是最差的，PAPR閾值要超過10.5 dB才能達(dá)到10-3比率；標(biāo)準(zhǔn)的OFDM系統(tǒng)(即無編碼)沒有進(jìn)行帶外抑制，所以PAPR性能也比前者略好，但差距很小，同樣在10.5 dB左右。本文提出的預(yù)編碼方案在PAPR抑制上也有明顯效果，在R=4的情況下，在10-3量級比率進(jìn)行截?cái)?，相比?biāo)準(zhǔn)OFDM系統(tǒng)，有超過1.5 dB的性能提升；而直接DCT預(yù)編碼方案由于僅針對了PAPR優(yōu)化，在PAPR抑制的效果上雖然比本文提出方案有大約0.5 dB的提升，但是正如前面的圖2對比，帶外泄漏非常高，沒有抑制效果。

圖3 R=4時(shí)不同OFDM系統(tǒng)的PAPR性能比較Fig.3 PAPR performance comparison among different OFDM systems with R=4

圖4和圖5分別給出了帶外泄漏情況和PAPR在不同冗余度R下的性能比較，可以看出，隨著冗余度R的增加，帶外泄漏抑制效果也在提升，相反地，PAPR則是相對在惡化，這也是由本文所采用的框架所決定的。R越大表示框架引入的用于降低帶外泄漏編碼的冗余子載波越多，但同時(shí)也會拉低信號平均功率，影響PAPR。本文所提出的方案可以達(dá)到同時(shí)降低帶外泄漏和PAPR的效果，但是不可能同時(shí)達(dá)到最好；而且R的增大表示冗余子載波增多，這也會降低頻譜效率，因此R的值需要在應(yīng)用中進(jìn)行權(quán)衡。

圖4 本文方案在不同冗余度R下的帶外泄漏情況Fig.4 Out-of-band emission performance with different R for the proposed method

圖5 本文方案在不同冗余度R下的PAPR情況Fig.5 PAPR performance with different R for the proposed method

最后，由于本文始終是基于正交矩陣的原則在進(jìn)行方案的優(yōu)化，所以至少在加性高斯白噪聲信道(Additive White Gaussian Noise,AWGN)上，誤碼率性能不會有很大影響。

5 結(jié)束語

本文基于兩種分別解決OFDM系統(tǒng)中帶外泄漏和PAPR問題的預(yù)編碼方案，提出了一種聯(lián)合的預(yù)編碼方法。該方法基于已有的用以降低帶外泄漏的框架，針對PAPR的降低進(jìn)行優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)了僅使用一個預(yù)編碼矩陣來同時(shí)解決OFDM系統(tǒng)中常見的兩個問題，并且沒有引入額外的高復(fù)雜度，在兩個問題的解決之間實(shí)現(xiàn)了一定程度上的平衡。仿真結(jié)果表明，少量的頻譜冗余度就可以同時(shí)在帶外泄漏和PAPR問題的解決上取得較好的結(jié)果，并且由于是正交矩陣編碼，在加性高斯白噪聲信道上對誤碼率性能沒有明顯影響。除此之外，該方法的效果僅與采取的子載波數(shù)量、頻譜冗余量以及帶外頻率集的選擇有關(guān)，即預(yù)編碼矩陣與基帶數(shù)據(jù)沒有關(guān)系，所以接收機(jī)的解碼器設(shè)計(jì)也變得非常容易。但是本文提出的算法在子載波數(shù)量非常多的情況下時(shí)間復(fù)雜度也會變得很高，還有進(jìn)一步優(yōu)化的空間。