王文黨 姚穎軻
摘 要:為了使GPS大地高向正常高轉(zhuǎn)換的精度得到有效改善,需要在局部區(qū)域內(nèi),對(duì)區(qū)域的具體情況進(jìn)行有效分析,建立多面函數(shù)模型進(jìn)行高程擬合,提高模型的精度,增強(qiáng)最終的使用效果。本文以多面函數(shù)擬合法為切入點(diǎn),借助相關(guān)的公式,選取分布均勻的GPS水準(zhǔn)聯(lián)測(cè)點(diǎn)和有關(guān)的函數(shù)形式,對(duì)各種數(shù)據(jù)進(jìn)行有效整合,進(jìn)行了詳細(xì)的分析和探討,增強(qiáng)高程擬合精度。
關(guān)鍵詞:GPS高程;多面函數(shù)法;核函數(shù)
當(dāng)前,水準(zhǔn)測(cè)量仍然是建立高程控制基準(zhǔn)的主要方法。對(duì)于工程建設(shè)來(lái)說(shuō),高程系統(tǒng)通常采用正常高系統(tǒng),水準(zhǔn)測(cè)量作為獲取正常高的直接方法而得到普遍使用。采用GPS建立平面控制基準(zhǔn)的精度毋庸質(zhì)疑,高程定位精度仍需進(jìn)一步研究和提高。對(duì)局局部區(qū)域工程控制網(wǎng),可以采用數(shù)學(xué)方法建立合理的GPS高程擬合模型,GPS高程擬合的結(jié)果既可以驗(yàn)證水準(zhǔn)測(cè)量的正確性,也可以作為精度要求較低的高程控制基準(zhǔn)使用。本文對(duì)多面函數(shù)方法進(jìn)行研究,建立多面函數(shù)模型對(duì)某工程控制網(wǎng)GPS點(diǎn)的高程異常進(jìn)行擬合和分析,得出了一些有益的結(jié)論,并進(jìn)行了實(shí)際應(yīng)用。
1 多面函數(shù)擬合法的概念
多面函數(shù)擬合法,1971年由美國(guó)哈笛(Hardy)提出。1976年將此法應(yīng)用于美國(guó)大地測(cè)量、擬合重力異常、大地水準(zhǔn)面差距、垂線偏差等,1978年將此法用于地殼形變。它的基本思想是任何一個(gè)規(guī)則或不規(guī)則的連續(xù)曲面均可以由若干簡(jiǎn)單面(或稱單值數(shù)學(xué)面)來(lái)疊加逼近。具體做法是在每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)上建立一個(gè)曲面,然后在方向上將各個(gè)旋轉(zhuǎn)曲面按一定比例疊加成一張整體的連續(xù)曲面,使之嚴(yán)格地通過(guò)各個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn),從而實(shí)現(xiàn)最終的逼近效果。這種方法與信息化、數(shù)字化社會(huì)具有密切聯(lián)系,在人類生活、生產(chǎn)以及工程建設(shè)中具有非常廣泛的應(yīng)用。
2 GPS高程擬合基本特點(diǎn)
多面疊加的數(shù)學(xué)表達(dá)式為:
這里Q(x,y,xi,yi)為參加插值計(jì)算的簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)面,又稱為多面函數(shù)的核函數(shù);n為簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)面的張數(shù)或多層疊加面的層數(shù),它的值與分塊擴(kuò)充范圍內(nèi)參與點(diǎn)的個(gè)數(shù)相等;Ki(i=1,2,3,…,n)為待定參數(shù),它代表了第i個(gè)核函數(shù)對(duì)多層疊加面的貢獻(xiàn)。為了計(jì)算方便,多層疊加面中的個(gè)核函數(shù)一般選用同一類型的簡(jiǎn)單函數(shù),通常是圍繞豎向軸旋轉(zhuǎn)的曲面,這條豎正好通過(guò)某一參考點(diǎn),例如:
這里為非零參數(shù)。在一段雙曲線繞豎直軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面,當(dāng)σ=0時(shí),此曲面就退化為圓錐面。
在研究的過(guò)程中,需要注意為內(nèi)插點(diǎn)到參考點(diǎn)之間的水平距離。
α為研究公式的參數(shù)。Q6是以高斯曲線為母線的旋轉(zhuǎn)面,C0和a為兩個(gè)參數(shù)。設(shè)已知參考點(diǎn)有m個(gè),選擇其中n個(gè)點(diǎn)作為節(jié)點(diǎn)(j=1,2,…,n≤m)記B=(a1,a2,…an)T,則同樣有V=AX-ζ0誤差方程,式中X為核函數(shù)矩陣。
當(dāng)已知數(shù)m大于節(jié)點(diǎn)數(shù)n時(shí),利用最小二乘法原理,可以根據(jù)A=(XTX)-1XTζ0計(jì)算方程系數(shù),在核函數(shù)權(quán)陣的情況下,也可以計(jì)算方程系數(shù)。系數(shù)求出后,同樣可以求出待求點(diǎn)的ζ,從而求出Hr。
如果已知數(shù)m等于節(jié)點(diǎn)數(shù)n時(shí),方程唯一解,可以按線性方程求解。如下式:B=X-1s
這時(shí)待定點(diǎn)的解為:ζP=XPB=XPX-1ζ
這里補(bǔ)充說(shuō)明,對(duì)于已知參考點(diǎn)個(gè)數(shù)等于誤差方程系數(shù)的情況下,方程存在唯一解,只可以線性求解。這種方法的m個(gè)已知點(diǎn),要求是高程異常顯著點(diǎn),即能很好描述該區(qū)域內(nèi)高程異常分布的特征點(diǎn),最好位于最高、最低及坡度變化處。
這種擬合法,雖然理論上嚴(yán)密,但使用上有些困難,特別是σ和核函數(shù)的選取,需要不斷試驗(yàn)改進(jìn)選取。下面就其中三個(gè)問(wèn)題進(jìn)行深入分析。
2.1 核函數(shù)的選擇
Hardy的研究結(jié)果是對(duì)擾動(dòng)位型調(diào)和函數(shù)擬合倒雙曲面函數(shù),對(duì)地形模型非調(diào)和型擬合正雙曲面函數(shù)。在參考文獻(xiàn)[5]的研究結(jié)果中,認(rèn)為倒雙曲面擬合效果良好。因此,在以前的研究中,大多數(shù)測(cè)量人員對(duì)倒雙曲面的探討比較多,而對(duì)其他核函數(shù)的研究沒(méi)有涉及。
2.2 光滑系數(shù)的確定
優(yōu)化的σ選取對(duì)其高擬合效果有作用,但比較困難,正如Hardy提出,是需要深入研究的一個(gè)問(wèn)題。對(duì)于雙曲面函數(shù),文中取0~1000000對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行試驗(yàn),結(jié)果表明σ越大,內(nèi)插的曲面越平滑,但當(dāng)大于某一值時(shí)將使結(jié)果出現(xiàn)很大的偏差。σ對(duì)于倒雙曲面函數(shù),σ必須大于零,否則無(wú)法計(jì)算,同時(shí)σ的取值也有正雙曲面的性質(zhì),σ越大,內(nèi)插的曲面越平滑。但當(dāng)大于某一值時(shí)也將使結(jié)果出現(xiàn)很大的偏差。
2.3 核函數(shù)節(jié)點(diǎn)的選取
在大范圍有較多的GPS水準(zhǔn)點(diǎn),即已知高程異常的點(diǎn)較多,可選其中部分作為節(jié)點(diǎn),其余作為擬合高程異常的檢核。此時(shí),擬合結(jié)果就與所選節(jié)點(diǎn)不同而異,這是需要實(shí)驗(yàn)研究的問(wèn)題。對(duì)于局部GPS網(wǎng),GPS水準(zhǔn)點(diǎn)不會(huì)很多,就可全部用來(lái)作為節(jié)點(diǎn),進(jìn)行擬合。
3 多面函數(shù)擬合高程異常
應(yīng)用多面函數(shù)擬合內(nèi)插高程異常,其中有3個(gè)問(wèn)題需要進(jìn)一步
研究。
3.1 核函數(shù)的選擇
多面函數(shù)是屬于純數(shù)學(xué)通近方法,其差值精度與選用的核函數(shù)有密切的關(guān)系,高程變化大的地區(qū)內(nèi)插的精度往往較低,所以我們要選擇一個(gè)一成不變的核函數(shù)對(duì)各種地形進(jìn)行最小二乘推估。只要高程變化大的地區(qū)保證了精度,對(duì)于平坦地區(qū)的推估,其核函數(shù)影響是不大的。對(duì)于待求點(diǎn)的估值實(shí)質(zhì)上就是數(shù)據(jù)點(diǎn)的加權(quán)平均值。因而選擇優(yōu)良核函數(shù)的準(zhǔn)則是:由它計(jì)算的權(quán)系數(shù)P要相對(duì)集中,并且數(shù)值穩(wěn)定性好。在對(duì)地殼垂直運(yùn)動(dòng)中速率面的擬合采用正雙曲線函數(shù)。
3.2 圓滑因子6的選擇
優(yōu)化選取δ對(duì)提高擬合效果有作用,但比較困難。對(duì)于倒倒雙曲線函數(shù),6必須大于0,否則無(wú)法計(jì)算。
3.3 函數(shù)結(jié)點(diǎn)的選取
在大范圍有較多的GPS水準(zhǔn)點(diǎn),即已知高程異常的點(diǎn)較多,可選取其中部分點(diǎn)為結(jié)點(diǎn),其余作為擬合高程的檢核。此時(shí)擬合結(jié)果就與所選結(jié)點(diǎn)不同而異,這是需要試驗(yàn)研究的問(wèn)題。對(duì)于局部GPS網(wǎng),GPS水準(zhǔn)點(diǎn)不會(huì)很多,可以用全部GPS水準(zhǔn)點(diǎn)來(lái)作結(jié)點(diǎn)進(jìn)行擬合。
4 模型選擇與應(yīng)用
某大型工程控制網(wǎng)有18個(gè)首級(jí)控制點(diǎn),布設(shè)在水域的兩岸,記為A1~A18。平面控制采用GPSB級(jí)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行,高程采用二等水準(zhǔn)進(jìn)行觀測(cè),采用成熟的平差軟件進(jìn)行計(jì)算,獲得各點(diǎn)的GPS大地高,通過(guò)擬合似大地水準(zhǔn)面來(lái)獲得各點(diǎn)的高程異常值。
均勻選取控制網(wǎng)中8個(gè)點(diǎn)作為擬合函數(shù)的中心點(diǎn),建立多面函數(shù)擬合模型,對(duì)剩余的10個(gè)點(diǎn)進(jìn)行高程擬合,用擬合所得的高程與已知的水準(zhǔn)高程進(jìn)行比較,來(lái)驗(yàn)證多面函數(shù)擬合的精度。為分析核函數(shù)形式的選取對(duì)擬合效果的影響,選取了三種不同的核函數(shù)建立多面函數(shù)模型。
通過(guò)相關(guān)數(shù)據(jù)可以得出,擬合所得高程與已知高程相比較,最大偏差為-0.02675mn和-0.0238m,擬合效果比較好;采用后一種核函數(shù)建立高程擬合模型,擬合的效果低于第一種情況。擬合結(jié)果說(shuō)明:選取的核函數(shù)形式不同,擬合效果的差異很大。選用上述第一種多面函數(shù)模型進(jìn)行高程擬合,可以滿足利用全站儀進(jìn)行施工放樣和檢核的需要,根據(jù)工程階段性的高程放樣精度要求,多面函數(shù)模型擬合的高程是可以使用的。
5 結(jié)束語(yǔ)
在科學(xué)技術(shù)的發(fā)展下,數(shù)字化在鐵路工程中應(yīng)用的越來(lái)越廣泛,對(duì)社會(huì)信息化的進(jìn)步作出了積極有益的貢獻(xiàn),催生了新的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)點(diǎn),在實(shí)際工作中,這一技術(shù)的使用范圍愈加廣泛。在研制的過(guò)程中,需要以GPS軟件平臺(tái)為基礎(chǔ),通過(guò)二次開(kāi)發(fā),將人力、物力、財(cái)力等進(jìn)行有效結(jié)合,增強(qiáng)應(yīng)用開(kāi)發(fā)軟件數(shù)據(jù)的精確性和統(tǒng)一性,使數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)有效分享。在計(jì)算機(jī)技術(shù)不斷發(fā)展的過(guò)程中,數(shù)字產(chǎn)品將迎來(lái)更加開(kāi)放的平臺(tái),未來(lái)將會(huì)有更好的軟件和方法服務(wù)于人類社會(huì)。
參考文獻(xiàn)
[1]吳迪軍,熊偉.跨海橋梁GPS高程擬合方法[J].測(cè)繪科學(xué).2017(06).
[2]王強(qiáng),崔希民,張恒璟,杜俊秀.多項(xiàng)式擬合模型在GPS水準(zhǔn)測(cè)量中的應(yīng)用[J].測(cè)繪工程.2014(08).
[3]王建忠.GPS高程擬合精度淺析[J].西部探礦工程.2014(06).