王文黨　姚穎軻

摘 要：為了使GPS大地高向正常高轉(zhuǎn)換的精度得到有效改善，需要在局部區(qū)域內(nèi)，對(duì)區(qū)域的具體情況進(jìn)行有效分析，建立多面函數(shù)模型進(jìn)行高程擬合，提高模型的精度，增強(qiáng)最終的使用效果。本文以多面函數(shù)擬合法為切入點(diǎn)，借助相關(guān)的公式，選取分布均勻的GPS水準(zhǔn)聯(lián)測(cè)點(diǎn)和有關(guān)的函數(shù)形式，對(duì)各種數(shù)據(jù)進(jìn)行有效整合，進(jìn)行了詳細(xì)的分析和探討，增強(qiáng)高程擬合精度。

關(guān)鍵詞：GPS高程；多面函數(shù)法；核函數(shù)

當(dāng)前，水準(zhǔn)測(cè)量仍然是建立高程控制基準(zhǔn)的主要方法。對(duì)于工程建設(shè)來(lái)說(shuō)，高程系統(tǒng)通常采用正常高系統(tǒng)，水準(zhǔn)測(cè)量作為獲取正常高的直接方法而得到普遍使用。采用GPS建立平面控制基準(zhǔn)的精度毋庸質(zhì)疑，高程定位精度仍需進(jìn)一步研究和提高。對(duì)局局部區(qū)域工程控制網(wǎng)，可以采用數(shù)學(xué)方法建立合理的GPS高程擬合模型，GPS高程擬合的結(jié)果既可以驗(yàn)證水準(zhǔn)測(cè)量的正確性，也可以作為精度要求較低的高程控制基準(zhǔn)使用。本文對(duì)多面函數(shù)方法進(jìn)行研究，建立多面函數(shù)模型對(duì)某工程控制網(wǎng)GPS點(diǎn)的高程異常進(jìn)行擬合和分析，得出了一些有益的結(jié)論，并進(jìn)行了實(shí)際應(yīng)用。

1 多面函數(shù)擬合法的概念

多面函數(shù)擬合法，1971年由美國(guó)哈笛（Hardy）提出。1976年將此法應(yīng)用于美國(guó)大地測(cè)量、擬合重力異常、大地水準(zhǔn)面差距、垂線偏差等，1978年將此法用于地殼形變。它的基本思想是任何一個(gè)規(guī)則或不規(guī)則的連續(xù)曲面均可以由若干簡(jiǎn)單面（或稱單值數(shù)學(xué)面）來(lái)疊加逼近。具體做法是在每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)上建立一個(gè)曲面，然后在方向上將各個(gè)旋轉(zhuǎn)曲面按一定比例疊加成一張整體的連續(xù)曲面，使之嚴(yán)格地通過(guò)各個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，從而實(shí)現(xiàn)最終的逼近效果。這種方法與信息化、數(shù)字化社會(huì)具有密切聯(lián)系，在人類生活、生產(chǎn)以及工程建設(shè)中具有非常廣泛的應(yīng)用。

2 GPS高程擬合基本特點(diǎn)

多面疊加的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

這里Q（x，y，xi，yi）為參加插值計(jì)算的簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)面，又稱為多面函數(shù)的核函數(shù)；n為簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)面的張數(shù)或多層疊加面的層數(shù)，它的值與分塊擴(kuò)充范圍內(nèi)參與點(diǎn)的個(gè)數(shù)相等；Ki（i=1，2，3，…，n）為待定參數(shù)，它代表了第i個(gè)核函數(shù)對(duì)多層疊加面的貢獻(xiàn)。為了計(jì)算方便，多層疊加面中的個(gè)核函數(shù)一般選用同一類型的簡(jiǎn)單函數(shù)，通常是圍繞豎向軸旋轉(zhuǎn)的曲面，這條豎正好通過(guò)某一參考點(diǎn)，例如：

這里為非零參數(shù)。在一段雙曲線繞豎直軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面，當(dāng)σ=0時(shí)，此曲面就退化為圓錐面。

在研究的過(guò)程中，需要注意為內(nèi)插點(diǎn)到參考點(diǎn)之間的水平距離。

α為研究公式的參數(shù)。Q6是以高斯曲線為母線的旋轉(zhuǎn)面，C0和a為兩個(gè)參數(shù)。設(shè)已知參考點(diǎn)有m個(gè)，選擇其中n個(gè)點(diǎn)作為節(jié)點(diǎn)（j=1，2，…，n≤m）記B=（a1，a2，…an）T，則同樣有V=AX-ζ0誤差方程，式中X為核函數(shù)矩陣。

當(dāng)已知數(shù)m大于節(jié)點(diǎn)數(shù)n時(shí)，利用最小二乘法原理，可以根據(jù)A=（XTX）-1XTζ0計(jì)算方程系數(shù)，在核函數(shù)權(quán)陣的情況下，也可以計(jì)算方程系數(shù)。系數(shù)求出后，同樣可以求出待求點(diǎn)的ζ，從而求出Hr。

如果已知數(shù)m等于節(jié)點(diǎn)數(shù)n時(shí)，方程唯一解，可以按線性方程求解。如下式：B=X-1s

這時(shí)待定點(diǎn)的解為：ζP=XPB=XPX-1ζ

這里補(bǔ)充說(shuō)明，對(duì)于已知參考點(diǎn)個(gè)數(shù)等于誤差方程系數(shù)的情況下，方程存在唯一解，只可以線性求解。這種方法的m個(gè)已知點(diǎn)，要求是高程異常顯著點(diǎn)，即能很好描述該區(qū)域內(nèi)高程異常分布的特征點(diǎn)，最好位于最高、最低及坡度變化處。

這種擬合法，雖然理論上嚴(yán)密，但使用上有些困難，特別是σ和核函數(shù)的選取，需要不斷試驗(yàn)改進(jìn)選取。下面就其中三個(gè)問(wèn)題進(jìn)行深入分析。

2.1 核函數(shù)的選擇

Hardy的研究結(jié)果是對(duì)擾動(dòng)位型調(diào)和函數(shù)擬合倒雙曲面函數(shù)，對(duì)地形模型非調(diào)和型擬合正雙曲面函數(shù)。在參考文獻(xiàn)[5]的研究結(jié)果中，認(rèn)為倒雙曲面擬合效果良好。因此，在以前的研究中，大多數(shù)測(cè)量人員對(duì)倒雙曲面的探討比較多，而對(duì)其他核函數(shù)的研究沒(méi)有涉及。

2.2 光滑系數(shù)的確定

優(yōu)化的σ選取對(duì)其高擬合效果有作用，但比較困難，正如Hardy提出，是需要深入研究的一個(gè)問(wèn)題。對(duì)于雙曲面函數(shù)，文中取0～1000000對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行試驗(yàn)，結(jié)果表明σ越大，內(nèi)插的曲面越平滑，但當(dāng)大于某一值時(shí)將使結(jié)果出現(xiàn)很大的偏差。σ對(duì)于倒雙曲面函數(shù)，σ必須大于零，否則無(wú)法計(jì)算，同時(shí)σ的取值也有正雙曲面的性質(zhì)，σ越大，內(nèi)插的曲面越平滑。但當(dāng)大于某一值時(shí)也將使結(jié)果出現(xiàn)很大的偏差。

2.3 核函數(shù)節(jié)點(diǎn)的選取

在大范圍有較多的GPS水準(zhǔn)點(diǎn)，即已知高程異常的點(diǎn)較多，可選其中部分作為節(jié)點(diǎn)，其余作為擬合高程異常的檢核。此時(shí)，擬合結(jié)果就與所選節(jié)點(diǎn)不同而異，這是需要實(shí)驗(yàn)研究的問(wèn)題。對(duì)于局部GPS網(wǎng)，GPS水準(zhǔn)點(diǎn)不會(huì)很多，就可全部用來(lái)作為節(jié)點(diǎn)，進(jìn)行擬合。

3 多面函數(shù)擬合高程異常

應(yīng)用多面函數(shù)擬合內(nèi)插高程異常，其中有3個(gè)問(wèn)題需要進(jìn)一步

研究。

3.1 核函數(shù)的選擇

多面函數(shù)是屬于純數(shù)學(xué)通近方法，其差值精度與選用的核函數(shù)有密切的關(guān)系，高程變化大的地區(qū)內(nèi)插的精度往往較低，所以我們要選擇一個(gè)一成不變的核函數(shù)對(duì)各種地形進(jìn)行最小二乘推估。只要高程變化大的地區(qū)保證了精度，對(duì)于平坦地區(qū)的推估，其核函數(shù)影響是不大的。對(duì)于待求點(diǎn)的估值實(shí)質(zhì)上就是數(shù)據(jù)點(diǎn)的加權(quán)平均值。因而選擇優(yōu)良核函數(shù)的準(zhǔn)則是：由它計(jì)算的權(quán)系數(shù)P要相對(duì)集中，并且數(shù)值穩(wěn)定性好。在對(duì)地殼垂直運(yùn)動(dòng)中速率面的擬合采用正雙曲線函數(shù)。

3.2 圓滑因子6的選擇

優(yōu)化選取δ對(duì)提高擬合效果有作用，但比較困難。對(duì)于倒倒雙曲線函數(shù)，6必須大于0，否則無(wú)法計(jì)算。

3.3 函數(shù)結(jié)點(diǎn)的選取

在大范圍有較多的GPS水準(zhǔn)點(diǎn)，即已知高程異常的點(diǎn)較多，可選取其中部分點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)，其余作為擬合高程的檢核。此時(shí)擬合結(jié)果就與所選結(jié)點(diǎn)不同而異，這是需要試驗(yàn)研究的問(wèn)題。對(duì)于局部GPS網(wǎng)，GPS水準(zhǔn)點(diǎn)不會(huì)很多，可以用全部GPS水準(zhǔn)點(diǎn)來(lái)作結(jié)點(diǎn)進(jìn)行擬合。

4 模型選擇與應(yīng)用

某大型工程控制網(wǎng)有18個(gè)首級(jí)控制點(diǎn)，布設(shè)在水域的兩岸，記為A1～A18。平面控制采用GPSB級(jí)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，高程采用二等水準(zhǔn)進(jìn)行觀測(cè)，采用成熟的平差軟件進(jìn)行計(jì)算，獲得各點(diǎn)的GPS大地高，通過(guò)擬合似大地水準(zhǔn)面來(lái)獲得各點(diǎn)的高程異常值。

均勻選取控制網(wǎng)中8個(gè)點(diǎn)作為擬合函數(shù)的中心點(diǎn)，建立多面函數(shù)擬合模型，對(duì)剩余的10個(gè)點(diǎn)進(jìn)行高程擬合，用擬合所得的高程與已知的水準(zhǔn)高程進(jìn)行比較，來(lái)驗(yàn)證多面函數(shù)擬合的精度。為分析核函數(shù)形式的選取對(duì)擬合效果的影響，選取了三種不同的核函數(shù)建立多面函數(shù)模型。

通過(guò)相關(guān)數(shù)據(jù)可以得出，擬合所得高程與已知高程相比較，最大偏差為-0.02675mn和-0.0238m，擬合效果比較好；采用后一種核函數(shù)建立高程擬合模型，擬合的效果低于第一種情況。擬合結(jié)果說(shuō)明：選取的核函數(shù)形式不同，擬合效果的差異很大。選用上述第一種多面函數(shù)模型進(jìn)行高程擬合，可以滿足利用全站儀進(jìn)行施工放樣和檢核的需要，根據(jù)工程階段性的高程放樣精度要求，多面函數(shù)模型擬合的高程是可以使用的。

5 結(jié)束語(yǔ)

在科學(xué)技術(shù)的發(fā)展下，數(shù)字化在鐵路工程中應(yīng)用的越來(lái)越廣泛，對(duì)社會(huì)信息化的進(jìn)步作出了積極有益的貢獻(xiàn)，催生了新的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)點(diǎn)，在實(shí)際工作中，這一技術(shù)的使用范圍愈加廣泛。在研制的過(guò)程中，需要以GPS軟件平臺(tái)為基礎(chǔ)，通過(guò)二次開(kāi)發(fā)，將人力、物力、財(cái)力等進(jìn)行有效結(jié)合，增強(qiáng)應(yīng)用開(kāi)發(fā)軟件數(shù)據(jù)的精確性和統(tǒng)一性，使數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)有效分享。在計(jì)算機(jī)技術(shù)不斷發(fā)展的過(guò)程中，數(shù)字產(chǎn)品將迎來(lái)更加開(kāi)放的平臺(tái)，未來(lái)將會(huì)有更好的軟件和方法服務(wù)于人類社會(huì)。

參考文獻(xiàn)

[1]吳迪軍，熊偉.跨海橋梁GPS高程擬合方法[J].測(cè)繪科學(xué).2017（06）.

[2]王強(qiáng)，崔希民，張恒璟，杜俊秀.多項(xiàng)式擬合模型在GPS水準(zhǔn)測(cè)量中的應(yīng)用[J].測(cè)繪工程.2014（08）.

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