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        基于數(shù)學(xué)素養(yǎng)視角 深度挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì)
        ——“多邊形內(nèi)角和”教學(xué)例談

        2018-12-18 13:06:44江蘇南京市溧水區(qū)教育局教研室吳義明
        小學(xué)教學(xué)研究 2018年29期
        關(guān)鍵詞:多邊形內(nèi)角四邊形

        江蘇南京市溧水區(qū)教育局教研室 吳義明

        江蘇南京市溧水區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué) 徐菊花

        【緣起】

        《多邊形內(nèi)角和》是蘇教版小學(xué)教材四年級下冊第七單元的內(nèi)容,是在學(xué)生認(rèn)識了“三角形、四邊形和梯形”以及掌握了三角形內(nèi)角和是180°的基礎(chǔ)上來進(jìn)行教學(xué)的。這一內(nèi)容是蘇教版獨(dú)有的“特色”單元“探索規(guī)律”中呈現(xiàn)的,其他版本小學(xué)教材大多未涉及此內(nèi)容。蘇教版教材是將這一內(nèi)容作為小學(xué)中“圖形與幾何”與中學(xué)幾何知識教學(xué)的一次銜接。蘇教版教材編寫用意很明確:一是作為學(xué)生“探索規(guī)律”的素材;二是通過學(xué)生的觀察、操作、歸納等具體的活動(dòng),發(fā)現(xiàn)多邊形內(nèi)角和的計(jì)算方法,培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手操作能力和發(fā)展學(xué)生的空間觀念,為中學(xué)幾何知識學(xué)習(xí)作鋪墊;三是培養(yǎng)學(xué)生的好奇心,感受數(shù)學(xué)活動(dòng)的挑戰(zhàn)性。筆者多次聽這一節(jié)公開課,困惑很多,首先困惑的是為什么這一節(jié)課會成為公開課的“寵兒”,是本身的內(nèi)容有價(jià)值魅力,還是能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的特點(diǎn),或者是因?yàn)閷W(xué)生容易掌握,便于踐行當(dāng)下新課程理念?筆者至今也沒弄清楚,搞明白。筆者還困惑在為什么蘇教版教材把這一內(nèi)容放到小學(xué)四年級來教學(xué),筆者認(rèn)為中學(xué)只要幾分鐘就能搞清楚的,在小學(xué)四年級來教,教師要花一節(jié)課,費(fèi)九牛二虎之力,有的學(xué)生還沒完全掌握,其意義又何在,作用又有多大呢!公開課上教師大多想滲透三個(gè)方面的主要目標(biāo):一是多邊形的內(nèi)角和可以根據(jù)三角形的內(nèi)角和推算出來;二是從簡單問題想起,有序思考是探索規(guī)律的有效方法;三是可以把新問題轉(zhuǎn)化成能夠解決的問題。這樣的課堂看上去符合新課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)的動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流這樣的理念,但筆者總感覺到這樣的數(shù)學(xué)課缺點(diǎn)什么。形式的東西多,實(shí)質(zhì)性的少。筆者深深感到當(dāng)下《多邊形內(nèi)角和》一課的教學(xué)未能從數(shù)學(xué)素養(yǎng)視角出發(fā),缺乏數(shù)學(xué)味,不能深度挖掘數(shù)學(xué)的本質(zhì),沒有把學(xué)生的好奇心通過這一內(nèi)容激發(fā)出來,也沒有看到學(xué)生課堂上表現(xiàn)出對數(shù)學(xué)知識挑戰(zhàn)的欲望,與蘇教版教材編者意圖是否完全吻合,值得我們推敲。為了不讓疑惑飄忽而過,筆者做了一份調(diào)查:某縣城實(shí)驗(yàn)小學(xué)四年級全班52名學(xué)生,在已經(jīng)學(xué)習(xí)了“三角形內(nèi)角和是180°”這一內(nèi)容的基礎(chǔ)上,設(shè)計(jì)了一份《多邊形內(nèi)角和》一課的自學(xué)單。

        《多邊形內(nèi)角和》自學(xué)單

        調(diào)查結(jié)果:

        第一題,47名學(xué)生都能填寫正確,三角形180°,四邊形360°,五邊形540°,六邊形720°,只有3名學(xué)生在五邊形和六邊形兩道題上出了差錯(cuò),另有2名學(xué)生在四邊形這道題上出了差錯(cuò),但教師稍加點(diǎn)撥,他們也就豁然開朗了。

        第二題,有一半以上的學(xué)生能表達(dá)出:只要將多邊形分成三角形,就能推出內(nèi)角和。還有學(xué)生用公式(n-2)×180°表示結(jié)果。

        調(diào)查結(jié)果讓筆者非常詫異,這一內(nèi)容對學(xué)生并不是想象中的那么難,公開課中需要費(fèi)神費(fèi)力地去研究嗎?筆者進(jìn)一步了解發(fā)現(xiàn),該班學(xué)生有的已經(jīng)看了教材了;有的已經(jīng)與家長、同學(xué)交流了;有的在培訓(xùn)班里已經(jīng)提前學(xué)過了;還有少數(shù)學(xué)生的學(xué)習(xí)力較強(qiáng),稍加思考也就解決了。原因是這部分內(nèi)容學(xué)生是有基礎(chǔ)的,在推導(dǎo)三角形內(nèi)角和是180°時(shí),很多方法已經(jīng)滲透了。

        如①折紙法

        (有平角是180°可推導(dǎo)出三角形內(nèi)角和是180°)

        ②劃分法

        (長方形、正方形四個(gè)直角和是360°,一個(gè)直角三角形的內(nèi)角和是360°÷2=180°)

        有這樣一些方法的鋪墊,“多邊形內(nèi)角和”只要將多邊形分成若干三角形,得出內(nèi)角和就不是難事了,原因就在此。

        教師可以嘗試讓學(xué)生探討四邊形的內(nèi)角和,學(xué)生的方法很多。

        生1:我用量角器分別量了一下4個(gè)角的度數(shù),加起來就能知道和是360°。

        師:用量的方法準(zhǔn)確嗎?

        生1:不知道。但正方形和長方形是準(zhǔn)確的,一定是360°。

        生2:我把四個(gè)角撕下來拼到一起,發(fā)現(xiàn)剛好拼成一個(gè)周角,我確認(rèn)四邊形內(nèi)角和是360°。

        生3:我只要加一條輔助線把四邊形分成兩個(gè)三角形,再用180°×2就得出這個(gè)四邊形的內(nèi)角和是360°。

        生4:由此類推,五邊形加兩條輔助線,把五邊形分成三個(gè)三角形,五邊形的內(nèi)角和是180°×3=540°;六邊形加三條輔助線,把六邊形分成四個(gè)三角形,六邊形的內(nèi)角和是180°×4=720°。因此,多邊形內(nèi)角和的度數(shù),只要將它分成若干個(gè)三角形,就能知道多邊形內(nèi)角和的度數(shù)。

        其中,一名學(xué)生問了一個(gè)看起來“怪”的問題,讓很多教師都大跌眼鏡,傻了眼。生問:(n-2)×180°這一公式中,n是多邊形邊數(shù),180°是一個(gè)三角形的內(nèi)角和的度數(shù),而減2這里的“2”表示什么?為什么要減去2,而不是減3、減4……呢?筆者帶著這一問題問過多位小學(xué)數(shù)學(xué)教師,也請教過中學(xué)數(shù)學(xué)教師,答案均不能讓人滿意。這一看起來“怪”的問題一直困擾著筆者!基于以上困惑,筆者產(chǎn)生了如下深度思考:

        【深度思考一】根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°,通過找規(guī)律可以推算出多邊形內(nèi)角和的計(jì)算公式:多邊形內(nèi)角和=(n-2)×180°。這里的180°是一個(gè)三角形的內(nèi)角和,n為多邊形的邊數(shù),公式里的減2,2是什么意思?為什么減2,而不是減1減3呢?這一問題有挑戰(zhàn)性,有思維的深度。最簡單的回答是:多邊形的邊數(shù)與三角形個(gè)數(shù)的關(guān)系是相差2,但為什么相差2呢?深層次的原因在哪里呢?究其原因,分析如下表

        這樣學(xué)生就不會對公式中為什么減2產(chǎn)生疑問,確實(shí)是多邊形的邊數(shù)與三角形個(gè)數(shù)的關(guān)系是相差2,相差2的原因也就能搞清楚,弄明白,學(xué)生不僅知其然,而且知其所以然。

        【深度思考二】以上兩種教法是從教材視角來教,是不是還有不一樣的教法呢?

        【深度思考三】從多邊形的任一邊上的任一點(diǎn)出發(fā),分成若干個(gè)三角形,推導(dǎo)出多邊形的內(nèi)角和。

        【深度思維四】從多邊形內(nèi)任意一點(diǎn)0將多邊形分解成若干個(gè)三角形,推導(dǎo)出多邊形的內(nèi)角和。

        綜上所述,教材所給的教例,僅是一種教學(xué)方式,從數(shù)學(xué)理性精神角度去思考,為什么是n-2,這里的“2”是怎么回事?追根溯源就產(chǎn)生了從新的教學(xué)角度來推導(dǎo)180°×(n-2)這一公式,如果學(xué)生在學(xué)習(xí)中能夠充分感悟到數(shù)學(xué)的理性精神,就能體會到理性精神的價(jià)值,這樣學(xué)生的思維品質(zhì)就會得到提升,學(xué)生思維的深刻性、靈活性、敏捷性、批判性、創(chuàng)造性就得到了培養(yǎng),進(jìn)而學(xué)生能產(chǎn)生對數(shù)學(xué)的好奇心、積極探索數(shù)學(xué)領(lǐng)域奧秘的愿望,這才真正說明學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到了升華。

        《多邊形內(nèi)角和》這一內(nèi)容到底如何來教學(xué)呢?筆者認(rèn)為:基于教材的邏輯視角,基于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的視角,即用數(shù)學(xué)的眼光觀察,用數(shù)學(xué)的思維分析,用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)。用數(shù)學(xué)的眼光就是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的抽象,用數(shù)學(xué)的思維分析就是強(qiáng)調(diào)邏輯推理,用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)就是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)模型。從更為簡明的角度,我們應(yīng)把理性的思維置于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心,將數(shù)學(xué)思維的學(xué)習(xí)與具體知識內(nèi)容有機(jī)結(jié)合,用思維方法的分析去帶動(dòng)具體知識內(nèi)容的學(xué)習(xí)。這樣教學(xué)不僅能深度挖掘數(shù)學(xué)的本質(zhì),而且能使這節(jié)平淡的課變得回味無窮、妙趣橫生,同時(shí)還能把數(shù)學(xué)的感覺交給學(xué)生,使數(shù)學(xué)具有數(shù)學(xué)味,最后達(dá)到從數(shù)學(xué)材料中抽取其直觀意義的高層次思維,這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所追求的一種境界。?

        【深度思考一】

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        【深度思考二】

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        【深度思考三】

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        【深度思考四】

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        4.4 多邊形和特殊四邊形
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