徐康

摘要：高中課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組根據(jù)高中數(shù)學(xué)學(xué)科的課程目標(biāo)、教育價(jià)值、學(xué)科特點(diǎn)給出了高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析。它體現(xiàn)了學(xué)生在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)知識(shí)的教育過(guò)程中逐步形成的適應(yīng)個(gè)人未來(lái)發(fā)展與社會(huì)發(fā)展需要所必需的品質(zhì)與能力。筆者以高中復(fù)數(shù)教學(xué)為切入點(diǎn)，從復(fù)數(shù)相關(guān)知識(shí)入手建構(gòu)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)體系。

關(guān)鍵詞：復(fù)數(shù)；核心素養(yǎng)；教學(xué)實(shí)踐；思維能力

復(fù)數(shù)是高中數(shù)學(xué)中涉及面廣、知識(shí)跨度大的內(nèi)容，它與代數(shù)、幾何、三角等有著密切的聯(lián)系。雖然近幾年高考出現(xiàn)的復(fù)數(shù)題較為簡(jiǎn)單，但是通過(guò)復(fù)數(shù)教學(xué)，能促進(jìn)學(xué)生多種思維能力的提高。本文結(jié)合平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勗趶?fù)數(shù)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)運(yùn)算能力

嚴(yán)謹(jǐn)性是數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，它要求數(shù)學(xué)結(jié)論的敘述必須精煉、準(zhǔn)確，對(duì)結(jié)論的推理論證周密、條理。嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)運(yùn)算是學(xué)生良好數(shù)學(xué)素質(zhì)的一個(gè)重要組成部分。而復(fù)數(shù)中培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)運(yùn)算的素材很多，如：在實(shí)數(shù)集內(nèi)建立的一些運(yùn)算法則、公式等在復(fù)數(shù)集內(nèi)是否仍然成立；復(fù)數(shù)的三角形式：r（cosθ+isinθ）必須具備的條件；在復(fù)數(shù)集內(nèi)對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0，其判別式對(duì)于方程根的判別是否適用；解某些復(fù)數(shù)問(wèn)題能否兩邊同時(shí)取模等。因此，教學(xué)時(shí)，可通過(guò)一些錯(cuò)解辯析，有意識(shí)地布置“陷阱”，來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪\(yùn)算能力。

例 1 已知|z|=1，且z（z·z+1）=1，求復(fù)數(shù)z.

筆者在一堂習(xí)題課中，發(fā)現(xiàn)大部分同學(xué)運(yùn)用了如下的取模方法解答，且認(rèn)為是較簡(jiǎn)便的方法。針對(duì)這一情況，有必要再舉類似的例子，讓同學(xué)們討論辯析。這樣一來(lái)，同學(xué)們不但掌握了正確的解法，同時(shí)還培養(yǎng)了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S能力。

評(píng)析：首先肯定解答所得的結(jié)果是對(duì)的，但在解題過(guò)程中采取了在等式兩邊取模的做法值得商榷。因?yàn)檫@種做法一般不都是正確的。在一個(gè)等式兩邊取模所得到的等式與原等式一般不等價(jià)。

二、培養(yǎng)發(fā)散的數(shù)學(xué)建模能力

發(fā)散思維是一種不依常規(guī)尋求變異、多方面尋求答案的一種思維方式，它具有流暢、變通、獨(dú)特等特征。復(fù)數(shù)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生一題多解、一題多變、一題多用，可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力。

例2 已知復(fù)數(shù)m、n滿足|m|=3，|n|=4，且|m-n|=5，求|m+n|的值.

解1 設(shè)m=a+bi，n=c+di，由|m-n|=5兩邊平方得ac+bd=0，|m+n|=5.

解2 設(shè)復(fù)數(shù)m、n 的三角形式，之后類同與解1

解3 運(yùn)用復(fù)數(shù)的幾何意義求解

通過(guò)上述多種解法，可使學(xué)生了解復(fù)數(shù)求值的一些常用方法，同時(shí)可使學(xué)生進(jìn)一步掌握復(fù)數(shù)有關(guān)公式、復(fù)數(shù)的幾何意義。

趁熱打鐵，引導(dǎo)學(xué)生觀察原題的條件與結(jié)論，在上述解答的啟發(fā)下保持條件，改變結(jié)論，得到更多的好題，再通過(guò)上述這些問(wèn)題的處理，學(xué)生的發(fā)散的數(shù)學(xué)抽象能力會(huì)進(jìn)一步得到訓(xùn)練。

三、培養(yǎng)逆向的數(shù)學(xué)抽象能力

在復(fù)數(shù)教學(xué)中，注意逆用有關(guān)概念、公式，逆用復(fù)數(shù)的有關(guān)幾何意義等等，有助于培養(yǎng)學(xué)生逆向的數(shù)學(xué)抽象思維。

例3 設(shè)a為非負(fù)數(shù)，z為復(fù)數(shù)，解方程z·z+2|z|=a.

據(jù)筆者所教班級(jí)學(xué)生解答來(lái)看，學(xué)生大都采用“轉(zhuǎn)化”的方法來(lái)求解，即將復(fù)數(shù)分離成實(shí)部和虛部，在利用復(fù)數(shù)相等的條件，列出有關(guān)條件的實(shí)數(shù)等式。但是事物都是一分為二的，這種轉(zhuǎn)化有時(shí)會(huì)使問(wèn)題變得復(fù)雜繁瑣。逆其道而行之，即把復(fù)數(shù)z看作一個(gè)整體，利用“整體化處理”，便能化難為易。這也是處理復(fù)數(shù)問(wèn)題的一種重要方法。

四、培養(yǎng)創(chuàng)造性的邏輯推理能力

復(fù)數(shù)這一章中，有不少習(xí)題往往是某一問(wèn)題的特例。教學(xué)時(shí)，積極引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這些特例作適當(dāng)引伸、推廣，尋找一般規(guī)律，培養(yǎng)其探究和創(chuàng)造能力。

例4 已知m、n為復(fù)數(shù)，m·n=0，求證m、n中至少有一個(gè)是零。

筆者在一次習(xí)題課中，通過(guò)一題多解，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生作了如下引伸、推廣和應(yīng)用，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，取得了良好的教學(xué)效果。

問(wèn)題 設(shè)a，b，c，d等若干個(gè)數(shù)均為復(fù)數(shù)，且a·b·c·d······· =0，則a，b，c，d等復(fù)數(shù)中是否至少有一個(gè)是零呢？

探索：|a·b·c·d···|=|a|·|b|·|c|·|d|····，又a·b·c·d·······=0，故|a|·|b|·|c|·|d|····=0，

即a，b，c，d等復(fù)數(shù)中是否至少有一個(gè)是零，反之顯然成立。

五、培養(yǎng)觀察、聯(lián)想的直觀想象

解題時(shí)，仔細(xì)觀察、聯(lián)想，可以把握住題目的特點(diǎn)，發(fā)掘題目中的隱含條件，發(fā)現(xiàn)解題思路，從而獲得題目的最佳解法。由于復(fù)數(shù)中有著數(shù)形結(jié)合的特征，有著整體化處理的方法，這就為培養(yǎng)學(xué)生的觀察、聯(lián)想、思維能力提供了方便。

例5：已知m與n是非零復(fù)數(shù)，且|m+n|=|m-n|，求證：m/n的平方一定是負(fù)數(shù)。

本題按常規(guī)解法是設(shè)m、n為代數(shù)形式或三角形式來(lái)求證。

然而這兩種運(yùn)算都比較繁瑣。若引導(dǎo)學(xué)生觀察題設(shè)的條件及結(jié)論的形式，從條件的|m+n|=|m-n|作變式1：|（m/n）-1|=|（m/n）+1|進(jìn)行整體處理，則可化繁為簡(jiǎn)，化難為易。

到此可以引導(dǎo)學(xué)生學(xué)生從不同角度去聯(lián)想

聯(lián)想一：聯(lián)想復(fù)數(shù)公式（Z·Z的共軛復(fù)數(shù)=|Z|·|Z|）

由變式1兩邊平方整理得m/n為純虛數(shù)，故m/n的平方一定是負(fù)數(shù)。

聯(lián)想二：聯(lián)想復(fù)數(shù)的幾何意義由變式1可知m/n的軌跡是與點(diǎn)（-1，0）、（1，0）等距離的點(diǎn)集，顯然是y軸（除去原點(diǎn)），即m/n為純虛數(shù)，故m/n的平方一定是負(fù)數(shù)。

聯(lián)想三：復(fù)數(shù)模的有關(guān)概念

設(shè)m/n=x+yi，由模的定義兩邊平方可得：x=0，即m/n為純虛數(shù)，故m/n的平方一定是負(fù)數(shù)。

參考文獻(xiàn)：

[1]曲一線，5年高考三年模擬[M].北京：首都師范大學(xué)出版社，2016

[2]郭其俊.利用教科書(shū)中的問(wèn)題，建構(gòu)有價(jià)值的數(shù)學(xué)探究.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2004 （10）