，

(東北大學(xué) 工商管理學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110167)

1 引言

在項(xiàng)目實(shí)施過程中，項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)是客觀存在的，其一旦發(fā)生往往會(huì)對(duì)項(xiàng)目造成不利影響，嚴(yán)重者可導(dǎo)致項(xiàng)目失敗[1,2]。因此，為了保證項(xiàng)目順利完成，采取有效的應(yīng)對(duì)策略來減緩風(fēng)險(xiǎn)顯得至關(guān)重要[3]。應(yīng)對(duì)策略的實(shí)施往往需要資金上的支持。針對(duì)某一策略，較高的預(yù)算投入通常能帶來較好的應(yīng)對(duì)效果，同時(shí)也將導(dǎo)致較高的項(xiàng)目成本，那么，在進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)時(shí)，如何權(quán)衡策略的應(yīng)對(duì)效果以及其實(shí)施成本，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)預(yù)算的合理分配是一個(gè)具有現(xiàn)實(shí)意義的研究問題。

目前，關(guān)于項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)的研究多數(shù)將關(guān)注焦點(diǎn)放在項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)策略選擇問題上，并提出了一些方法來確定風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)策略集合，如基于權(quán)衡的方法[4～10]，基于決策樹的方法[11～15]，基于相似案例的方法[16～18]，以及基于優(yōu)化的方法[3,19～27]等。然而，關(guān)于項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)預(yù)算分配問題的研究還比較缺乏[27,28]。Sherali等[28]采用事件樹來分析風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生后各種結(jié)果事件的邏輯順序及發(fā)生概率，在此基礎(chǔ)上構(gòu)建優(yōu)化模型來進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)減緩資源的最優(yōu)分配。Sato和Hirao[29]針對(duì)項(xiàng)目預(yù)算和項(xiàng)目關(guān)鍵風(fēng)險(xiǎn)之間的權(quán)衡問題，以最大化基于風(fēng)險(xiǎn)的項(xiàng)目?jī)r(jià)值為目標(biāo)構(gòu)建優(yōu)化模型來進(jìn)行項(xiàng)目各工作活動(dòng)之間的預(yù)算分配。可以看出，文獻(xiàn)[28]中風(fēng)險(xiǎn)減緩資源分配的目的是減少風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生后的損失，而文獻(xiàn)[29]是為了降低項(xiàng)目活動(dòng)中風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生的概率。實(shí)際項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)管理中，項(xiàng)目經(jīng)理通常會(huì)從降低風(fēng)險(xiǎn)概率和減少風(fēng)險(xiǎn)損失兩個(gè)方面來應(yīng)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)。如工業(yè)生產(chǎn)項(xiàng)目中，設(shè)置安全警示牌來減少安全風(fēng)險(xiǎn)的發(fā)生概率，設(shè)置點(diǎn)火噴水裝置來降低安全風(fēng)險(xiǎn)所帶來的損失。同時(shí)，一些研究也指出了項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)需要從風(fēng)險(xiǎn)預(yù)防和風(fēng)險(xiǎn)保護(hù)兩個(gè)方面進(jìn)行，并將風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)策略分為風(fēng)險(xiǎn)預(yù)防策略和風(fēng)險(xiǎn)保護(hù)策略[3,23]。其中風(fēng)險(xiǎn)預(yù)防策略指的是通過降低風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生概率來應(yīng)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的措施，通常在計(jì)劃階段執(zhí)行；風(fēng)險(xiǎn)保護(hù)策略指的是通過減少風(fēng)險(xiǎn)損失來應(yīng)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的措施，通常在風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生后實(shí)施[3,27]。但是，這些研究?jī)H給出了最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)策略的選擇方法[27]，并未涉及如何在預(yù)防策略和保護(hù)策略之間進(jìn)行應(yīng)對(duì)預(yù)算的合理分配。

可以看出，上述文獻(xiàn)雖然對(duì)項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)的相關(guān)研究做出了許多貢獻(xiàn)，但是仍然存在著以下不足：以往研究很少關(guān)注風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)預(yù)算分配問題，使得其對(duì)項(xiàng)目管理實(shí)踐的指導(dǎo)較為有限；已有研究大多假設(shè)策略的實(shí)施效果及成本是固定的。實(shí)際中，策略的效果往往與策略本身、風(fēng)險(xiǎn)特性以及所投入的預(yù)算有關(guān)。比如，實(shí)施預(yù)防策略或保護(hù)策略都能在一定程度上降低風(fēng)險(xiǎn)，然而對(duì)兩種策略投入相同的預(yù)算所帶來的風(fēng)險(xiǎn)降低程度可能不同；同時(shí)當(dāng)初始風(fēng)險(xiǎn)特性不同時(shí)，針對(duì)同一策略投入相同的預(yù)算所帶來的應(yīng)對(duì)效果也會(huì)有所不同。當(dāng)初始風(fēng)險(xiǎn)概率或損失較大時(shí)，實(shí)施應(yīng)對(duì)策略通常能顯著地降低風(fēng)險(xiǎn)；而當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)較小時(shí)，若想獲得相同的風(fēng)險(xiǎn)降低程度往往需要投入更多的預(yù)算。針對(duì)現(xiàn)有研究的不足，本文嘗試對(duì)策略的效果與策略本身、風(fēng)險(xiǎn)特性以及所投入預(yù)算之間的關(guān)系進(jìn)行分析，并在此基礎(chǔ)上探討項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)預(yù)算分配問題。首先，分析風(fēng)險(xiǎn)預(yù)防策略或保護(hù)策略的效果與策略本身、風(fēng)險(xiǎn)特性以及所投入預(yù)算之間的關(guān)系，并給出相應(yīng)的關(guān)系表達(dá)式；其次，在滿足風(fēng)險(xiǎn)控制要求的約束下，以最小化風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)預(yù)算為目標(biāo)構(gòu)建考慮預(yù)防和保護(hù)的風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)預(yù)算分配優(yōu)化模型，通過模型求解，可得到最優(yōu)的應(yīng)對(duì)預(yù)算分配決策。最后，通過分析最優(yōu)決策得到一些有價(jià)值的定理和結(jié)論，從而為項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)的相關(guān)決策提供支持與參考。

2 風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)策略分析

本節(jié)對(duì)策略效果與策略本身、風(fēng)險(xiǎn)特性以及預(yù)算之間的關(guān)系進(jìn)行分析。本文涉及到的變量符號(hào)及相應(yīng)說明見表1。

表1 變量符號(hào)及其說明

2.1 風(fēng)險(xiǎn)預(yù)防策略

風(fēng)險(xiǎn)預(yù)防的目的是盡可能地降低風(fēng)險(xiǎn)概率，進(jìn)而減少風(fēng)險(xiǎn)期望損失[3]。那么，預(yù)防策略的效果體現(xiàn)在能將風(fēng)險(xiǎn)概率降低到何種程度。以往研究認(rèn)為風(fēng)險(xiǎn)概率與應(yīng)對(duì)預(yù)算之間的關(guān)系呈現(xiàn)向下凸的曲線形式[3,29]。即，當(dāng)向預(yù)防策略不投入預(yù)算時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生概率保持不變，與初始風(fēng)險(xiǎn)概率相同；隨著所投入預(yù)算的增加，風(fēng)險(xiǎn)概率呈現(xiàn)降低的趨勢(shì)。通常情形下，當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)概率已處于較低水平時(shí)，隨著預(yù)算的持續(xù)投入，風(fēng)險(xiǎn)概率降低的程度會(huì)越來越小。此外，在不更改項(xiàng)目活動(dòng)的情況下，任何策略都不能保證項(xiàng)目免受風(fēng)險(xiǎn)，那么無論向預(yù)防策略投入多少預(yù)算，風(fēng)險(xiǎn)概率只能無限接近于一個(gè)相對(duì)較低的值。基于上述分析，風(fēng)險(xiǎn)概率和所投入預(yù)算之間的關(guān)系應(yīng)滿足如下性質(zhì)：(1)當(dāng)q=0時(shí)，P=P0；(2)?P/?q<0，?2P/?q2>0；(3)當(dāng)q→∞時(shí)，P→ε。

綜上，給出風(fēng)險(xiǎn)預(yù)防預(yù)算與風(fēng)險(xiǎn)概率的關(guān)系式，如(1)式所示

P=(aεq+P0)/(aq+1)

(1)

其中a為風(fēng)險(xiǎn)預(yù)防系數(shù)，表示單位預(yù)算投入所帶來的風(fēng)險(xiǎn)概率的降低程度，a越大，P越小。

2.2 風(fēng)險(xiǎn)保護(hù)策略

風(fēng)險(xiǎn)保護(hù)策略的效果體現(xiàn)在能將風(fēng)險(xiǎn)損失降低到何種程度。類似地，風(fēng)險(xiǎn)損失與所投入預(yù)算之間的關(guān)系應(yīng)滿足如下性質(zhì)：(1)當(dāng)r=0時(shí)，L=L0；(2)?L/?r<0，?2L/?r2>0；(3)當(dāng)r→∞時(shí)，L→δ。

與風(fēng)險(xiǎn)預(yù)防預(yù)算和風(fēng)險(xiǎn)概率的關(guān)系式相似，風(fēng)險(xiǎn)保護(hù)預(yù)算與風(fēng)險(xiǎn)損失之間的關(guān)系表達(dá)式為

L=(bδr+L0)/(br+1)

(2)

其中b為風(fēng)險(xiǎn)保護(hù)系數(shù)，表示單位預(yù)算投入所帶來的風(fēng)險(xiǎn)損失的降低程度，b越大，L越小。

為了避免由于風(fēng)險(xiǎn)概率和風(fēng)險(xiǎn)損失取值范圍不同對(duì)風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)預(yù)算分配決策所產(chǎn)生的影響，將初始風(fēng)險(xiǎn)損失的取值進(jìn)行歸一化處理，使得L0∈[0,1]。

3 項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)預(yù)算分配優(yōu)化模型

3.1 問題描述

考慮項(xiàng)目面臨一個(gè)關(guān)鍵風(fēng)險(xiǎn)，項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)管理小組對(duì)該風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行了分析和評(píng)估，得到該風(fēng)險(xiǎn)的發(fā)生概率P0以及風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生之后所帶來的損失L0。為了將該風(fēng)險(xiǎn)降低在項(xiàng)目可接受水平內(nèi)，項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)管理小組提出了一個(gè)預(yù)防策略和一個(gè)保護(hù)策略，分別用來減少風(fēng)險(xiǎn)概率和風(fēng)險(xiǎn)損失。預(yù)防策略或保護(hù)策略的效果與對(duì)其投入的預(yù)算有關(guān)。那么本文要解決的問題是，在滿足項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)控制要求的前提下，如何在預(yù)防策略和保護(hù)策略之間進(jìn)行預(yù)算分配，使得所投入的總風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)預(yù)算最小。

依據(jù)上述分析，以風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)預(yù)算最小為目標(biāo)，以滿足風(fēng)險(xiǎn)控制要求為約束構(gòu)建優(yōu)化模型，如下

minC=q+r

(3)

s.t.PL=R

(4)

q≥0,r≥0

(5)

其中q、r為決策變量；(4)式是風(fēng)險(xiǎn)控制要求約束，R為可接受的風(fēng)險(xiǎn)期望損失，即項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)控制要求，可由項(xiàng)目經(jīng)理確定。這里假設(shè)R>εδ，因?yàn)镽≤εδ意味著無論投入多少努力都不可能滿足風(fēng)險(xiǎn)控制要求，那么風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)決策將變得毫無意義。

3.2 結(jié)果分析

對(duì)模型進(jìn)行求解分析，可得到以下定理和結(jié)論。

定理1優(yōu)化模型(3)～(5)的最優(yōu)解存在且唯一，即

(6)

(7)

最優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)預(yù)算為

(8)

證明由于預(yù)防預(yù)算和風(fēng)險(xiǎn)概率、保護(hù)預(yù)算和風(fēng)險(xiǎn)損失之間是一對(duì)一的關(guān)系，那么求解最優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)概率和風(fēng)險(xiǎn)損失，就能得到預(yù)防預(yù)算和保護(hù)預(yù)算的最優(yōu)解。

對(duì)(1)式和(2)式進(jìn)行變換，可得到預(yù)防預(yù)算關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)概率的表達(dá)式q=(P0-P)/[a(P-ε)]，保護(hù)預(yù)算關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)損失的表達(dá)式r=(L0-L)/[b(L-δ)]；由(4)式可知L=R/P，將上述表達(dá)式代入(3)式，可得到風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)預(yù)算關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)概率的表達(dá)式如下

(9)

對(duì)(9)式分別求風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)預(yù)算關(guān)于P的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)可得

(10)

(11)

顯然?2C/?P2>0，即風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)預(yù)算是關(guān)于P的嚴(yán)格凸函數(shù)，最優(yōu)解存在且唯一。因此，由一階條件?C/?P=0可得到最優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)概率，相應(yīng)地，將最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)概率代入(1)～(4)式，可得到最優(yōu)的預(yù)防預(yù)算、保護(hù)預(yù)算以及風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)預(yù)算。證畢。

對(duì)定理1進(jìn)行分析可得到如下結(jié)論。

結(jié)論1風(fēng)險(xiǎn)控制要求對(duì)風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)預(yù)算分配決策的影響如下

?q*/?R<0,?r*/?R<0,?C*/?R<0

證明分別求q*和r*關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)控制要求R的一階導(dǎo)數(shù)，可得

由于P0>ε，L0>δ，R>εδ，那么，?q*/?R<0，?r*/?R<0，進(jìn)而?C*/?R<0。證畢。

結(jié)論1表明，最優(yōu)的預(yù)防預(yù)算q*、最優(yōu)的保護(hù)預(yù)算r*以及總風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)預(yù)算C*都與可接受的風(fēng)險(xiǎn)期望損失R負(fù)相關(guān)。較高的R意味著項(xiàng)目經(jīng)理對(duì)風(fēng)險(xiǎn)控制的要求較低，即將風(fēng)險(xiǎn)控制在較高的風(fēng)險(xiǎn)期望損失內(nèi)就能使項(xiàng)目經(jīng)理滿意，此時(shí)，對(duì)風(fēng)險(xiǎn)預(yù)防和風(fēng)險(xiǎn)保護(hù)投入的預(yù)算也較低；而當(dāng)項(xiàng)目經(jīng)理對(duì)風(fēng)險(xiǎn)控制要求越來越嚴(yán)格時(shí)，需要同時(shí)增加對(duì)風(fēng)險(xiǎn)預(yù)防和風(fēng)險(xiǎn)保護(hù)投入的預(yù)算，相應(yīng)地，總的風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)預(yù)算也隨之增加。

結(jié)論2初始風(fēng)險(xiǎn)概率對(duì)風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)預(yù)算分配決策的影響如下

?q*/?P0>?r*/?P0>0, ?C*/?P0>0

證明分別求q*和r*關(guān)于初始風(fēng)險(xiǎn)概率P0的一階導(dǎo)數(shù)，可得?q*/?P0=(1/2+κδ)/[aκ(R-εδ)]，?r*/?P0=κR(L0-δ)/[2b(P0-ε)(R-εδ)]，那么，?q*/?P0-?r*/?P0=δ/[a(R-εδ)]>0；顯然，?q*/?P0>?r*/?P0>0，進(jìn)而?C*/?P0>0。證畢。

結(jié)論2表明，隨著初始風(fēng)險(xiǎn)概率P0的增加，最優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)預(yù)防預(yù)算q*、風(fēng)險(xiǎn)保護(hù)預(yù)算r*以及總風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)預(yù)算C*呈現(xiàn)遞增的趨勢(shì)，且最優(yōu)預(yù)防預(yù)算q*的增加速度大于最優(yōu)保護(hù)預(yù)算r*的增加速度。即當(dāng)初始風(fēng)險(xiǎn)概率增加時(shí)，若想滿足項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)控制要求，不僅需要追加預(yù)防預(yù)算，同時(shí)還需追加保護(hù)預(yù)算。這是因?yàn)?，在同樣的風(fēng)險(xiǎn)控制要求下，減少較高的初始風(fēng)險(xiǎn)概率需要投入較高的風(fēng)險(xiǎn)預(yù)防預(yù)算，而當(dāng)將風(fēng)險(xiǎn)概率降低到一定程度后，單位預(yù)防預(yù)算所帶來的概率降低程度較小，此時(shí)可以通過增加風(fēng)險(xiǎn)保護(hù)預(yù)算的方式來降低風(fēng)險(xiǎn)損失，進(jìn)而達(dá)到降低風(fēng)險(xiǎn)期望損失的目的。

結(jié)論3初始風(fēng)險(xiǎn)損失對(duì)風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)預(yù)算分配決策的影響如下

?r*/?L0>?q*/?L0>0, ?C*/?L0>0

證明求q*和r*對(duì)初始損失L0的一階導(dǎo)數(shù)，可得?q*/?L0=(P0-ε)/[2aκ(L0-δ)(R-εδ)]、?r*/?L0=(κR+2ε)/[2b(R-εδ)]，?r*/?L0-?q*/?L0=ε/[b(R-εδ)]>0，顯然，?r*/?L0>?q*/?L0>0，?C*/?L0>0。證畢。

結(jié)論3表明，隨著初始風(fēng)險(xiǎn)損失L0的增加，最優(yōu)預(yù)防預(yù)算q*、保護(hù)預(yù)算r*以及風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)預(yù)算C*均呈現(xiàn)增加趨勢(shì)，且保護(hù)預(yù)算r*的增加速度高于預(yù)防預(yù)算q*的增加速度。這是由于初始風(fēng)險(xiǎn)損失的增加使得初始風(fēng)險(xiǎn)期望損失增加，若要滿足相同的風(fēng)險(xiǎn)控制要求，則需要向預(yù)防策略和保護(hù)策略投入更多的預(yù)算來降低風(fēng)險(xiǎn)。同時(shí)，單位預(yù)算所帶來的應(yīng)對(duì)效果與風(fēng)險(xiǎn)概率或損失的初始值有關(guān)，當(dāng)初始損失(或概率)較大時(shí)，預(yù)算投入到風(fēng)險(xiǎn)保護(hù)(或預(yù)防)所得到應(yīng)對(duì)效果較好。因此，隨著初始風(fēng)險(xiǎn)損失的增加，風(fēng)險(xiǎn)預(yù)防預(yù)算和保護(hù)預(yù)算都會(huì)增加，且風(fēng)險(xiǎn)保護(hù)預(yù)算的增加速度較快。

定理2最優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)預(yù)防預(yù)算q*和風(fēng)險(xiǎn)保護(hù)預(yù)算r*之間的關(guān)系如表2所示。

表2 最優(yōu)的預(yù)防預(yù)算和保護(hù)預(yù)算之間的關(guān)系

證明首先，證明最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)預(yù)防預(yù)算q*和風(fēng)險(xiǎn)保護(hù)預(yù)算r*之間的大小關(guān)系。比較q*和r*可得

(12)

當(dāng)P0δ>R且L0ε>R(或P0δa(L0ε-R)時(shí)，q*>r*；當(dāng)b(P0δ-R)=a(L0ε-R)時(shí)，q*=r*；當(dāng)b(P0δ-R)

當(dāng)P0δ>R且L0ε0>a(L0ε-R)，由 (12)式可知，q*>r*；同理，當(dāng)P0δR時(shí)，b(P0δ-R)<0q*。

其次，證明是否需要同時(shí)向風(fēng)險(xiǎn)預(yù)防和風(fēng)險(xiǎn)保護(hù)投入預(yù)算。

當(dāng)P0δ>R時(shí)，意味著單獨(dú)進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)保護(hù)難以滿足項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)控制要求，因此，需要向風(fēng)險(xiǎn)預(yù)防策略投入預(yù)算，即q*>0；類似地，當(dāng)L0ε>R時(shí)，表明單獨(dú)進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)預(yù)防無法將風(fēng)險(xiǎn)期望損失降低到可接受水平，此時(shí)需要通過風(fēng)險(xiǎn)保護(hù)來降低風(fēng)險(xiǎn)損失，進(jìn)而達(dá)到降低風(fēng)險(xiǎn)期望損失的目的，即r*>0。顯然，當(dāng)P0δ>R且L0ε>R時(shí)，需要同時(shí)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)預(yù)防策略和風(fēng)險(xiǎn)保護(hù)策略投入預(yù)算，即q*>0，r*>0；當(dāng)P0δ

情形1是否存在q*=0以及存在q*=0的條件。

q*=0意味著僅向風(fēng)險(xiǎn)保護(hù)投入預(yù)算就可以將風(fēng)險(xiǎn)期望損失降低到可接受水平，因此我們?cè)赑0δ

若q*=0，意味著最優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)概率與初始風(fēng)險(xiǎn)概率相同，即P*=P0。由定理1可知，P*=(κR+ε)/(1+κδ)，那么P*=P0可替換為(κR+ε)/(1+κδ)=P0。通過公式變換可得

R=P0δ+a(L0-δ)(P0-ε)/2b±

(13)

R=P0δ+a(L0-δ)(P0-ε)/2b+

記為R′。即當(dāng)R=R′時(shí)，q*=0。

情形2是否存在r*=0以及存在r*=0的條件。

與情形1相似，r*=0的前提條件是L0ε

R=L0ε+b(L0-δ)(P0-ε)/2a+

記為R″。即存在r*=0的情形，其存在的條件為R=R″。證畢。

對(duì)定理2進(jìn)行分析可得到如下結(jié)論。

結(jié)論4當(dāng)單獨(dú)向風(fēng)險(xiǎn)預(yù)防或風(fēng)險(xiǎn)保護(hù)投入無限多預(yù)算都不能達(dá)到風(fēng)險(xiǎn)控制要求時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)預(yù)防和風(fēng)險(xiǎn)保護(hù)需要同時(shí)投入預(yù)算，且有效性較高的策略所投入的預(yù)算較多。

證明由定理2可知，在同時(shí)進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)預(yù)防和風(fēng)險(xiǎn)保護(hù)時(shí)，更重視風(fēng)險(xiǎn)預(yù)防還是風(fēng)險(xiǎn)保護(hù)取決于(P0δ-R)/a和(L0ε-R)/b之間的大小關(guān)系。其中P0δ-R表示將損失減少到最低程度時(shí)的期望損失與風(fēng)險(xiǎn)控制要求之間的差距，可理解為風(fēng)險(xiǎn)概率的可控程度，當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)概率的可控程度較大時(shí)，需要更加關(guān)注風(fēng)險(xiǎn)預(yù)防，以達(dá)到降低風(fēng)險(xiǎn)的目的；a為風(fēng)險(xiǎn)預(yù)防系數(shù)，a越小表明單位預(yù)算能夠減少的風(fēng)險(xiǎn)概率越少，此時(shí)，更加需要向風(fēng)險(xiǎn)預(yù)防投入較多的預(yù)算來減少風(fēng)險(xiǎn)概率，從而降低風(fēng)險(xiǎn)期望損失。這里，將(P0δ-R)/a認(rèn)為是風(fēng)險(xiǎn)預(yù)防策略的有效性，類似地，將(L0ε-R)/b認(rèn)為是風(fēng)險(xiǎn)保護(hù)策略的有效性。因而，在滿足風(fēng)險(xiǎn)控制要求的條件下，對(duì)有效性較高的策略投入更多的預(yù)算能使得總風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)預(yù)算最小。證畢。

結(jié)論5當(dāng)僅采取預(yù)防策略就能夠滿足風(fēng)險(xiǎn)控制要求而僅實(shí)施保護(hù)策略難以滿足風(fēng)險(xiǎn)控制要求時(shí)，最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)預(yù)防預(yù)算大于最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)保護(hù)預(yù)算，反之亦然。

結(jié)論6存在僅采取單一應(yīng)對(duì)策略就能達(dá)到風(fēng)險(xiǎn)控制要求的情形；且在ε=δ=0情形下，當(dāng)a/b=R/(P0L0)時(shí)，僅采取保護(hù)策略，最優(yōu)保護(hù)預(yù)算為r*=(b-a)/(ab)；當(dāng)a/b=P0L0/R時(shí)，僅采取預(yù)防策略，最優(yōu)預(yù)防預(yù)算為q*=(a-b)/(ab)。

證明由定理2可知，存在僅進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)預(yù)防或風(fēng)險(xiǎn)保護(hù)就能滿足風(fēng)險(xiǎn)控制要求的情形；當(dāng)ε=δ=0時(shí)，最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)預(yù)防預(yù)算和風(fēng)險(xiǎn)保護(hù)預(yù)算分別為q*=(P0-κR)/(aκR)和r*=(κL0-1)/b。令q*=0可得，a/b=R/(P0L0)且r*=(b-a)/(ab)；令r*=0可得，a/b=P0L0/R且q*=(a-b)/(ab)。證畢。

結(jié)論6表明，當(dāng)采取風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)策略能使風(fēng)險(xiǎn)概率和損失降低到接近零，且預(yù)防系數(shù)和保護(hù)系數(shù)的比例與可接受的風(fēng)險(xiǎn)期望損失和初始風(fēng)險(xiǎn)期望損失的比例相等時(shí)，僅需向預(yù)防系數(shù)或保護(hù)系數(shù)較高的策略投入預(yù)算，且所投入的預(yù)算與初始風(fēng)險(xiǎn)概率、初始風(fēng)險(xiǎn)損失無關(guān)，僅與預(yù)防系數(shù)和保護(hù)系數(shù)有關(guān)。

4 結(jié)論與啟示

本文給出了考慮預(yù)防和保護(hù)的項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)預(yù)算分配方法，通過該方法可得到最優(yōu)的項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)預(yù)算分配決策。對(duì)最優(yōu)決策進(jìn)行分析，可為項(xiàng)目經(jīng)理提供如下管理啟示及決策建議：

(1)項(xiàng)目經(jīng)理可根據(jù)具體的項(xiàng)目、風(fēng)險(xiǎn)以及策略信息來確定風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)效果與預(yù)算之間的關(guān)系參數(shù)，并依據(jù)本文提出的模型確定最優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)預(yù)防預(yù)算以及風(fēng)險(xiǎn)保護(hù)預(yù)算，從而實(shí)現(xiàn)以最少的風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)預(yù)算滿足項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)控制要求的目的。最優(yōu)的項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)預(yù)算與項(xiàng)目經(jīng)理所設(shè)定的風(fēng)險(xiǎn)控制要求有關(guān)。當(dāng)項(xiàng)目經(jīng)理對(duì)風(fēng)險(xiǎn)控制的要求較高時(shí)，需要向風(fēng)險(xiǎn)預(yù)防和風(fēng)險(xiǎn)保護(hù)投入較多的預(yù)算；當(dāng)項(xiàng)目經(jīng)理對(duì)風(fēng)險(xiǎn)控制要求較低時(shí)，僅需投入較少的風(fēng)險(xiǎn)預(yù)防預(yù)算和風(fēng)險(xiǎn)保護(hù)預(yù)算?？梢钥闯觯L(fēng)險(xiǎn)控制要求與風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)預(yù)算是兩個(gè)相互對(duì)立的目標(biāo)，較嚴(yán)格的項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)控制要求通常會(huì)導(dǎo)致較高的風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)預(yù)算投入。因此，項(xiàng)目經(jīng)理在進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)時(shí)，需要在風(fēng)險(xiǎn)控制要求和風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)預(yù)算之間進(jìn)行權(quán)衡。

(2)隨著項(xiàng)目的持續(xù)開展，風(fēng)險(xiǎn)概率或損失的評(píng)估結(jié)果將會(huì)發(fā)生變化，此時(shí)需要項(xiàng)目經(jīng)理及時(shí)調(diào)整風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)預(yù)算分配決策，以滿足項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)控制要求。具體地，當(dāng)初始風(fēng)險(xiǎn)概率增加時(shí)，項(xiàng)目需要同時(shí)增加對(duì)預(yù)防策略和保護(hù)策略的預(yù)算投入，且向預(yù)防策略增加的預(yù)算投入大于向保護(hù)策略增加的預(yù)算投入；反之亦然。

(3)在實(shí)際項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)管理中，針對(duì)多數(shù)項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)，項(xiàng)目經(jīng)理需要同時(shí)實(shí)施預(yù)防策略和保護(hù)策略來降低風(fēng)險(xiǎn)。此時(shí)，向預(yù)防策略投入更多的預(yù)算還是向保護(hù)策略投入更多的預(yù)算與策略的有效性有關(guān)。當(dāng)初始風(fēng)險(xiǎn)概率較高、風(fēng)險(xiǎn)損失能降低到的最低程度較大且風(fēng)險(xiǎn)預(yù)防系數(shù)較小時(shí)，向風(fēng)險(xiǎn)保護(hù)策略投入更多預(yù)算已無法滿足風(fēng)險(xiǎn)控制要求，此時(shí)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)預(yù)防給予更多的關(guān)注并加大對(duì)風(fēng)險(xiǎn)預(yù)防策略的預(yù)算投入可以帶來更大程度的風(fēng)險(xiǎn)降低，進(jìn)而能以較少的應(yīng)對(duì)預(yù)算來滿足風(fēng)險(xiǎn)控制要求。因此，在此種情形下，建議項(xiàng)目經(jīng)理對(duì)風(fēng)險(xiǎn)預(yù)防給予更多的關(guān)注以及預(yù)算投入。反之，當(dāng)初始風(fēng)險(xiǎn)損失較大、預(yù)防后的風(fēng)險(xiǎn)概率下界較大且風(fēng)險(xiǎn)保護(hù)系數(shù)較小時(shí)，建議項(xiàng)目經(jīng)理更多地關(guān)注風(fēng)險(xiǎn)保護(hù)并向風(fēng)險(xiǎn)保護(hù)策略投入更多的預(yù)算。

本文從預(yù)防和保護(hù)的角度提出了項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)預(yù)算分配方法，彌補(bǔ)了已有研究中較少關(guān)注應(yīng)對(duì)資源分配問題的不足，豐富了項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)的相關(guān)研究?jī)?nèi)容。本文的研究結(jié)論可為項(xiàng)目經(jīng)理提供風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)決策支持，具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。未來研究可以考慮采用歷史數(shù)據(jù)擬合的方式給出風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)預(yù)算與應(yīng)對(duì)效果之間的函數(shù)關(guān)系，從而給出更加準(zhǔn)確的描述；此外，后續(xù)研究還可以探討多個(gè)風(fēng)險(xiǎn)情形下的應(yīng)對(duì)預(yù)算分配問題，以更好地服務(wù)于項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)管理實(shí)踐。