■韓文美

我們?cè)诮鉀Q一些立體幾何問(wèn)題時(shí),往往可以結(jié)合具體題目條件,通過(guò)特殊手段,結(jié)合特殊點(diǎn)、線(xiàn)、面或特殊立體幾何圖形等的應(yīng)用,利用數(shù)形結(jié)合來(lái)處理,從而使問(wèn)題得以巧妙轉(zhuǎn)化,有效解決。下面分別舉例分析,希望對(duì)大家的學(xué)習(xí)能起到拋磚引玉的作用。

一、有關(guān)空間線(xiàn)、面關(guān)系的判定問(wèn)題

例1 若空間中四條兩兩不同的直線(xiàn)l1,l2,l3,l4滿(mǎn)足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,則下列結(jié)論一定正確的是( )。

A.l1⊥l4

B.l1∥l4

C.l1與l4既不垂直也不平行

D.l1與l4的位置關(guān)系不確定

分析：結(jié)合題目條件,直接構(gòu)造特殊的立體幾何圖形——正方體,通過(guò)數(shù)形結(jié)合來(lái)加以直觀判斷。注意對(duì)特殊圖形中不同的位置情況要加以全面考慮。

如圖1所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,設(shè)BB1是直線(xiàn)l1,BC是直線(xiàn)l2,AB是直線(xiàn)l3,DD1是直線(xiàn)l4,則l1∥l4。設(shè)BB1是直線(xiàn)l1,BC是直線(xiàn)l2,CC1是直線(xiàn)l3,CD是直線(xiàn)l4,則l1⊥l4。所以l1與l4的位置關(guān)系不確定,故選D。

圖1

二、有關(guān)數(shù)值的處理問(wèn)題

例2 如圖2,在三棱錐S-ABC中,E,F,G,H分別為SA,AC,BC,SB的中點(diǎn),則截面EFGH將該三棱錐分成的兩部分的體積之比VABGHEF∶VSCGHEF為( )。

圖2

A.1∶2 B.2∶1

C.1∶1 D.1∶3

分析：結(jié)合題目條件,直接構(gòu)造特殊的立體幾何圖形,利用正四面體的特殊情況來(lái)解決兩部分的體積比問(wèn)題,這樣就省去了復(fù)雜的空間幾何體的體積計(jì)算,提高了解題效益。

由于圖形不確定,而答案固定,故假設(shè)該三棱錐為正四面體,則所截得的兩部分形狀一樣,體積相等,即VABGHEF∶VSCGHEF=1∶1。故選C。

三、有關(guān)幾何體體積的求解問(wèn)題

例3 已知正四面體P-ABC中,D,E,F分別在棱PA,PB,PC上,若PE≠PF,且DE=DF=7,EF=2,則四面體P-DEF的體積為_(kāi)___。

分析：對(duì)于立體幾何中的動(dòng)三棱錐的體積問(wèn)題,直接求解難度非常大,且無(wú)法切入。而通過(guò)特殊化處理,使得點(diǎn)D與點(diǎn)A重合,設(shè)出相應(yīng)線(xiàn)段的長(zhǎng)度,利用余弦定理,在不同三角形中建立對(duì)應(yīng)的方程,聯(lián)立方程求出x+y與xy的值,并求出△PEF的面積與正四面體P-ABC的高h(yuǎn)。通過(guò)等積法的轉(zhuǎn)化來(lái)求解,化動(dòng)為靜,減少變量關(guān)系,降低思維難度,有效地將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題,結(jié)合平面圖形中對(duì)應(yīng)的邊角關(guān)系來(lái)處理,思維方式特殊,解題效果明顯。

如圖3,特殊化處理,使得點(diǎn)D與點(diǎn)A重合,不妨設(shè)PF=BE=x,PE=FC=y,則正四面體P-ABC的棱長(zhǎng)為x+y。

在△PEF中,由余弦定理可得4=x2+y2-2xycos60°,即x2+y2-xy=4。在△PAF中,由余弦定理可得7=x2+(x+y)2-2x(x+y)cos60°,即x2+y2+xy=7。

圖3

四、有關(guān)空間中異面直線(xiàn)所成的角

例4 如圖1,平面α過(guò)正方體ABCDA1B1C1D1的頂點(diǎn)A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,則m,n所成的角為( )。

A.60° B.30°

C.45° D.90°

圖4

分析：用平移法求異面直線(xiàn)所成的角的三個(gè)步驟:(1)一作:根據(jù)定義作出異面直線(xiàn)所成的角。(2)二證:證明作出的角就是異面直線(xiàn)所成的角。(3)三求:解三角形,求出作出的角。

設(shè)平面CB1D1∩平面ABCD=m",平面CB1D1∩平面ABB1A1=n"。

因?yàn)棣痢纹矫鍯B1D1,所以m∥m",n∥n",則m,n所成的角等于m",n"所成的角。

延長(zhǎng)AD,過(guò)D1作D1E∥B1C,交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)與點(diǎn)E。

連接CE,則CE為m"。同理可知,B1F1為n"。

由于BD∥CE,B1F1∥A1B,所以m",n"所成的角即為A1B,BD所成的角。容易得到m",n"所成的角為60°。應(yīng)選A。

五、有關(guān)空間二面角的分析問(wèn)題

例5 如圖5,已知△ABC,D是AB的中點(diǎn),沿直線(xiàn)CD將△ACD折成△A"CD,所成二面角A"-CD-B的平面角為α,則( )。

A.∠A"DB≤α

B.∠A"DB≥α

C.∠A"CB≤α

D.∠A"CB≥α

圖5

分析：直接通過(guò)題目條件判斷所給兩角之間的大小關(guān)系,難度比較大,而通過(guò)極限法(極限法是根據(jù)題干及選項(xiàng)的特征,考慮極端情形的方法,有助于縮小選擇面,使計(jì)算簡(jiǎn)便,迅速找到答案),結(jié)合翻折角的變化帶動(dòng)點(diǎn)的變化來(lái)分析,可以很快確定答案。

結(jié)合對(duì)應(yīng)的圖形,采用特殊的極限思維:從點(diǎn)A開(kāi)始,當(dāng)△ACD沿直線(xiàn)CD翻折→180°時(shí),α→0°,排除 A、C項(xiàng);從點(diǎn)A開(kāi)始,當(dāng)△ACD沿直線(xiàn)CD翻折→0°時(shí),α→180°,排除D項(xiàng)。故選B。