（齊齊哈爾中學(xué) 黑龍江齊齊哈爾 161000）

近幾年的練習(xí)、高考題頻頻的出現(xiàn)，凸顯了此類題目的炙熱程度，實質(zhì)上就是導(dǎo)數(shù)運算法則的形式的逆用、體現(xiàn)了題根源于教材。高中階段常用模型如下：

一、利用函數(shù)求導(dǎo)的四則運算構(gòu)造函數(shù)

1.設(shè)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x) (x∈R)的導(dǎo)函數(shù)，f(?1)=0，當(dāng)x＞0時，xf′(x)-f(x)＜0，則使得f(x)＞0成立的x的取值范圍是（ ）

A.(? ∞ ,? 1 )U ( 0,1) B.(? 1 ,0)U(1,+ ∞)

C.(? ∞,? 1 )U ( ?1,0) D.(0 ,1)U (1 ,+ ∞)

答案：A

2.設(shè)f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x＜0時f′(x) ?g(x)+g′(x) ?f(x)＞0，且g(3)=0，則不等式f(x)?g(x)＜0的解集（ ）

A.(? 3,0)∪ ( 3,+ ∞) B.(? 3 ,0)∪(0,3)

C.(? ∞ ,? 3)∪(0,3) D.(? ∞,?3)∪(3,+∞)

答案：C

3.已知f(x)為定義在(? ∞ ,+ ∞ )上的可導(dǎo)函數(shù)，f(x)＞f′(x)對于x∈R恒成立，且e為自然對數(shù)的底數(shù)

A.e2013?f(2014) ＜e2014?f(2013)；

B.e2013?f(2014)=e2014?f(2013)；

C.e2013?f(2014) ＞e2014?f(2013)；

D.e2013?f(2014)與e2014?f(2013)大小不確定；答案：A

4.已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，f′(x)是它的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f(x)+x?f′(x)≤0恒成立，f(?2)=0，則不等式x?f(x)＜0的解集為.

解：設(shè)F(x)=x?f(x)?F′ (x)

=x′?f(x)+f′(x)?x

=f(x)+f′(x)?x

由F(x)=x?f(x)∴F( ?x)

=?x?f(?x)

=?xf(x)=?F(x) ∴F(x)為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點對稱當(dāng)x＞0時，f(x)+x?f′(x)≤0∴F(x)在(0,+ ∞)上單調(diào)遞減，f(?2)=0∴F(?2)=0=F(2)∴x∈(?2,0)∪(2,+ ∞)

6.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在(? ∞ ,0 )上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且有2f(x)+x?f′(x) ＞x2。

則不等式(x+2014)2?f(x+2014)?4f(?2)＞0的解集為（ ）

A.(? ∞ ,? 2 012)；B.(?2012,0)；

C.(? ∞ ,? 2 016)；D.(?2016,0)

答案：C

7.已知定義在R上的函數(shù)f(x)，滿足3?f(x)＞f′(x)恒成立，且f(1)=e3（e為自然對數(shù)的底數(shù)）則下列結(jié)論正確的是（ ）

A.f(0)=1；B.f(0)＜1；

C.f( 2)＜e6；D.f( 2)＞e6

答案：C

二、利用函數(shù)單調(diào)性構(gòu)造函數(shù)

1.已知R上的奇函數(shù)f(x)滿足f′(x)＞ ?2，

則不等式f(x?1)＜x2?(3?2l nx)+3(1?2x)的解集為.

解：設(shè)F(x)=f(x?1)-x2? (3? 2 l nx)-3(1?2x)

則F′(x)=f′(x?1)+4xl nx-4x+6

再設(shè)g(x)=4xlnx-4x+6，

則g′(x)=4 l nx(x＞ 0 )， 當(dāng)g′(x)＞0時 即l nx＞ 0 ?x＞1，∴g(x)在x∈(0,1)遞減，在(1,+ ∞ )遞增。

∴x=1時，g(x)min=g(2)=2∴F′ (x)＞ 0 ∴F(x)在(0,+ ∞ )遞增，而F(1)=f(0)-3( 1 ?0)-3( 1 ?2)=0，∴F(x)＜0的解集為(0,1)，

即f(x?1)＜x2?(3?2l nx)+3(1?2x)的解集為（0,1）。

∴F(x)在R上單調(diào)遞增，且F(2)=e?f(2)-1=0，

∴解集為(2,+ ∞)

通過以上實例我們發(fā)現(xiàn)利用求導(dǎo)運算法則和利用單調(diào)性構(gòu)造函數(shù)有異曲同工之處，我們做出以下總結(jié)性的解法足以應(yīng)對此類題目

（1）解不等式f(x) ＞g(x)，可以直接構(gòu)造新函數(shù)：

F(x)=f(x)-g(x)，之后再對F(x)求導(dǎo)

（2）由x?f′(x)+f(x)＞0(＜0)可以直接構(gòu)造函數(shù)：

F(x)=x?f(x)，之后再對F(x)求導(dǎo)

（3）由αs i nα_βsinβ，可以利用其結(jié)構(gòu)特征、直接構(gòu)造新函數(shù)F(x)=xsinx，之后再對F(x)求導(dǎo)

（4）由x?f′(x)-f(x)，可以直接構(gòu)造新函數(shù)：

（5）由x2?f′(x)-2x?f(x)，可以直接構(gòu)造新函數(shù)：

（6）由f′(x)+f(x)＞0，可以直接構(gòu)造新函數(shù)：

F(x)=ex?f(x)，之后再對F(x)求導(dǎo)

（7）由f′(x)-f(x)＞0，可以直接構(gòu)造新函數(shù)：

我們將上面的幾種結(jié)構(gòu)重新梳理一下，可以發(fā)現(xiàn)模型實質(zhì)為F(x)=f(x)?xk,k=?1,1,2。和F(x)=f(x)?ek x，k=?1,1，的形式。

（8）對于k f(x)+f′ (x) (kR )的情況：可設(shè)函數(shù)：

F(x)=ek xf(x)，之后再對F(x)求導(dǎo)。