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        合理選擇主元解決一類方程整數(shù)根的問題

        2018-12-13 08:46:22江蘇省無(wú)錫市第一女子中學(xué)秦唯超
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2018年24期
        關(guān)鍵詞:主元正整數(shù)一元二次方程

        ☉江蘇省無(wú)錫市第一女子中學(xué)秦唯超

        初中數(shù)學(xué)中方程整數(shù)根的問題,按常規(guī)解法往往需要考慮多個(gè)方面,計(jì)算量大,步驟繁多,讓大部分學(xué)生望而生畏.如果對(duì)這些司空見慣的常規(guī)解法進(jìn)行再思考,跳出定式思維,改變思考問題的角度,也許我們能夠收到意想不到的效果.

        高中數(shù)學(xué)解題中“主元思想”的應(yīng)用是非常普遍的,但是,在初中數(shù)學(xué)解題中并不常見.其實(shí),主元思想對(duì)初中生來(lái)說并不陌生.比如,當(dāng)一個(gè)方程中存在兩個(gè)字母時(shí),我們常常規(guī)定這個(gè)方程是“關(guān)于x的”某個(gè)方程,而將另一個(gè)字母視作待定系數(shù)或常量,這就是一種“主元思想”.在解決含有多個(gè)字母(元)的數(shù)學(xué)問題的過程中,選擇其中一個(gè)字母作為研究的主要對(duì)象,即視其為主元,而將其余字母視作參數(shù)或常量,從而達(dá)到簡(jiǎn)化過程的解題思想即為“主元思想”.

        本文就幾個(gè)典型例題的分析和解題研究,簡(jiǎn)單介紹一下如何合理選擇主元、運(yùn)用主元思想解決一類方程整數(shù)根問題.

        例1關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有兩個(gè)不相等的整數(shù)根,求正整數(shù)k的值.

        分析:原方程中含有x和k兩個(gè)字母,常規(guī)解法是將方程視作以x為主元的一元二次方程,利用根的判別式作為切入點(diǎn)解決問題.如果將k看作主元,則可以將方程降階為一元一次方程,或許能更快地解決問題.

        解法1:由關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的根,得Δ=4-4(2k-4)>0,則k<.

        又k為正整數(shù),則k=1或2,

        當(dāng)k=2時(shí),原方程為x2+2x=0,則x1=0,x2=-2(符合題意).

        綜上所述,k=2.

        解法2:將k看作主元.將原方程整理成以k為主元的方程,得2k+x2+2x-4=0,則k=為正整數(shù).

        又x為整數(shù),則(x+1)2=1.

        則x+1=±1.

        則x1=0,x2=-2(符合題意).

        則k=2.

        點(diǎn)評(píng):從例1可以看出,首先要確定主元,一旦選定主元,就明確了解題的主要方向.本題將k看作主元的這種換位思想,由于直接降階,解法比常規(guī)解法更簡(jiǎn)潔.

        例2已知方程x2+mx-m+1=0有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根,求m的值.

        分析:將x視作主元,從一元二次方程根的判別式入手的常規(guī)解法,肯定是可以解決問題的,但是沒有明確m取哪一類數(shù),所以需要進(jìn)一步判斷.而將m看作主元,得到的是含x的待定系數(shù)方程,要進(jìn)行分類討論.到底哪一種方法更好,實(shí)踐出真知.

        解法1:由關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等根,得Δ=m2-4(-m+1)=m2+4m-4>0.

        方程有兩個(gè)正整數(shù)根,不妨設(shè)為x1、x2,則x1+x2=-m是正整數(shù);則m2+4m-4是完全平方數(shù).

        不妨令m2+4m-4=n(2n為正整數(shù)).

        則(m+2)2-8=n2.

        則(m+2+n)(m+2-n)=8.

        解法2:將m看作主元.

        將原方程整理成以m為主元的方程,得(x-1)m+x2+1=0 (*).

        當(dāng)x=1時(shí),(*)顯然不成立.

        方程有兩個(gè)正整數(shù)根,不妨設(shè)為x1、x2,則x1+x2=-m是正整數(shù).

        則m是負(fù)整數(shù).

        則x-1=±2或±1.

        則x=3、-1(舍)、2或0(舍).

        則m=-5.

        點(diǎn)評(píng):從例2可以看出,常規(guī)解法從考慮根的判別式入手,兼顧奇偶性,過程比較繁雜;而將m看作主元的方法,靈活、機(jī)敏地挖掘出了問題的本源,達(dá)到了“出奇制勝”的效果.

        例3關(guān)于x的方程(a-1)x2+2x-a-1=0的根都是整數(shù),則符合條件的整數(shù)a有____個(gè).

        分析:不管是將x視作主元,還是將a視作主元,都是待定系數(shù)方程,必須進(jìn)行分類討論.將a視作主元的方程中,待定系數(shù)出現(xiàn)了二次,可能會(huì)給解題設(shè)置一定的障礙.

        解法1:當(dāng)a=1時(shí),x=1.

        由方程的根都是整數(shù),得1-a=±1或±2.

        則a=0、2、-1或3.

        綜上所述,a=1、0、2、-1或3,共有5個(gè).

        解法2:當(dāng)a=1時(shí),x=1.

        當(dāng)a≠1時(shí),將a看作主元.

        將原方程整理成以a為主元的方程,得(x2-1)a-x2+2x-1=0 (*).

        ①當(dāng)x=-1時(shí),(*)顯然不成立.

        ②當(dāng)x=1時(shí),(*)恒成立,是原方程的一個(gè)固定根.

        由方程的根都是整數(shù),a是整數(shù),得x+1=±1或±2.則a=0、2、-1或3.

        綜上所述,a=1、0、2、-1或3,共有5個(gè).

        點(diǎn)評(píng):從例3中可以看出,由于原方程有x=1這個(gè)固定根的存在,且Δ=4a2從形式上看就是一個(gè)簡(jiǎn)潔的完全平方式,將x看作主元的常規(guī)解法顯得更為簡(jiǎn)潔.所以,不必拘泥于以哪個(gè)字母作為主元,更有利于優(yōu)化解題,我們就選擇哪一個(gè).

        例4關(guān)于x的方程ax2+2(a-3)x+(a-2)=0至少有一個(gè)整數(shù)根,求整數(shù)a的值.

        分析:不管將哪一個(gè)字母作為主元,都是待定系數(shù)方程,必須分類討論,并且,方程給出的條件是至少有一個(gè)整數(shù)根,所以以x為主元的常規(guī)解法必須針對(duì)這一條件進(jìn)行討論,可能比較復(fù)雜.而以a為主元的解法或許能柳暗花明又一村.

        ①當(dāng)x1為整數(shù),b為正奇數(shù)時(shí),3-b=±2-4.則b=1、5或7.

        ②當(dāng)x2為整數(shù),b為正奇數(shù)時(shí),3+b=4.

        則b=1.

        綜上所述,b=1、5或7.

        則a=2、-4或-10.

        當(dāng)a≠0時(shí),將a看作主元.

        將原方程整理成以a為主元的方程,得:(x2+2x+1)a+(-6x-2)=0 (*).

        ①當(dāng)x=-1時(shí),(*)顯然不成立.

        由原方程至少有一個(gè)整數(shù)根,得x+1=±1、±2.

        則a=2或-10或-4(經(jīng)檢驗(yàn),符合題意).

        點(diǎn)評(píng):當(dāng)方程的整數(shù)根至少有一個(gè)時(shí),以a為主元的解法有效避免了對(duì)根的討論,挖掘出了題目的特殊性,大大簡(jiǎn)化了解題過程,達(dá)到了化繁為簡(jiǎn)的目的.

        主元思想,是一種重要的數(shù)學(xué)思想,它發(fā)源于“解決問題抓主要矛盾和矛盾的主要方面”這一哲學(xué)思想.通過實(shí)例我們可以看到,在含有兩個(gè)變量的方程問題中,跳出定式思維,合理選擇主元,運(yùn)用主元思想對(duì)方程進(jìn)行整理和變形,從兩個(gè)變?cè)羞x擇一個(gè)作為主元,讓解決問題的目標(biāo)和方向更明確、清晰,往往能夠達(dá)到“化繁為簡(jiǎn)、直達(dá)目標(biāo)”的效果,優(yōu)化我們的解題過程.用主元法,在初中階段,不僅在解決方程整數(shù)根的問題中可以使用,其實(shí)還有許多用武之地,比如,分解因式、等式或不等式的證明、對(duì)稱式等問題中都能見到它的身影.總之,數(shù)學(xué)研究和學(xué)習(xí),有序邏輯推理是根本,這取決于思維的起點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn),而主元思想正站在這樣一個(gè)點(diǎn)上.W

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