☉湖南省常德芷蘭實(shí)驗(yàn)學(xué)校初中部陳金紅

*基金項(xiàng)目：本文系全國(guó)教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2013年度教育部規(guī)劃課題“生命課堂視野下的教學(xué)案例研究”（課題編號(hào)：FHB130512）的成果之一.

各地中考題，基礎(chǔ)全覆蓋、形式各異，核心素養(yǎng)咋落地？武漢試題有見(jiàn)地：第10題翻折還原出驚奇；第16題條件離散難落地、特征構(gòu)造露詭計(jì)；第23題三個(gè)小題，透出真諦，同型化歸，相互幫襯就非難題！下面就談?wù)勥@三題：

例題1：（2018年湖北武漢市中考數(shù)學(xué)卷第16題）如圖1，在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是邊AB的中點(diǎn)，E是邊BC上一點(diǎn).若DE平分△ABC的周長(zhǎng)，則DE的長(zhǎng)是______.

圖1

圖2

1.思路解析

（1）針對(duì)已知條件“若DE平分△ABC的周長(zhǎng)”，學(xué)生一般推理到BE=1+CE，或BC=1+2CE就止步了，如何再走方向不明！

要想前進(jìn)必須聯(lián)想，針對(duì)已知條件“∠ACB=60°，AC=1”，其實(shí)它是等邊三角形的部分特征，“補(bǔ)美補(bǔ)全”構(gòu)造出等邊三角形即正△ACF，見(jiàn)圖2.

（2）于是一個(gè)中間“鏈條”即正△ACF來(lái)“續(xù)”上，此時(shí)“臨近”推理出AC=AF=CF=1，又可以計(jì)算推理出BF=BC-CF=（1+2CE）-1=2CE.學(xué)生一般推理到BF=2CE就止步了，如何再走方向又不明了！

要想前進(jìn)必須聯(lián)想，上面的中間結(jié)果“BF=2CE”是三角形中位線定理的結(jié)論之一，顯然與△ABF相關(guān)聯(lián)，此時(shí)“D是邊AB的中點(diǎn)”乃已知條件！于是不妨取AF的中點(diǎn)G，連接DG，即得△ABF的中位線，且DG=BF=CE，見(jiàn)圖3.

圖3

圖4

（3）一般學(xué)生由于不習(xí)慣于借助“已知和中間推理出來(lái)的結(jié)論”和觀察由此帶來(lái)的“變化后的圖形”，到圖3也就止步了！

要想前進(jìn)必須聯(lián)想，上面的中間結(jié)果DG=CE，DG∥CE，即有“一組對(duì)邊平行且相等”，此乃判定平行四邊形的方法之一，連接CG，見(jiàn)圖4，于是有平行四邊形CGDE，于是所求DE即CG的長(zhǎng)度！而CG所在的三角形是一個(gè)正三角形，邊長(zhǎng)為1，立即可以求得

顯然是“推理、聯(lián)想”同時(shí)上，交錯(cuò)著“攻擊”前進(jìn)的結(jié)果！

2.解答概要

（1）在邊CB上取線段CF=AC，連接AF.因∠ACB=60°，可得正△ACF.

（2）又DE平分△ABC的周長(zhǎng)，D是邊AB的中點(diǎn)?BE=1+CE，或BC=1+2CE?BF=BC-CF=2CE.

（3）再取AF邊的中點(diǎn)G，連接GD、CG.于是GD是△ABF的中位線，且DG=BF=CE，即DG=CE.又DG∥CE，則可得平行四邊形CGDE?DE=CG.

3.教學(xué)觀察

（1）思路線索上：先直觀分析出BE與CE的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)計(jì)算推理演算再發(fā)現(xiàn)BC與AC、CE的數(shù)量關(guān)系（BC=1+2CE），由已知邊AC長(zhǎng)為1、∠ACB=60°，中間結(jié)論2CE，聯(lián)想到構(gòu)造正三角形、構(gòu)造三角形中位線、構(gòu)造平行四邊形、構(gòu)造直角三角形等，由此即彼地推理著、聯(lián)想著、交錯(cuò)著，前進(jìn)……邏輯思維環(huán)環(huán)相扣，推理和聯(lián)想“步步驚心”.

（2）圖形主要涉及：等邊三角形、直角三角形、平行四邊形.

（3）結(jié)論主要涉及：勾股定理或銳角三角函數(shù)的定義、三角形中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì).

（4）方法注要涉及：除了分析和綜合法，就是構(gòu)造法！

由上述不難體會(huì)出：雖是一道小小的填空題，卻涉及圖形、知識(shí)和方法不少且均是初中數(shù)學(xué)的重中之重，顯然不失為一道考查學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的好題！考場(chǎng)上，數(shù)學(xué)壓軸題（填空或大題）常常似曾相似，卻又觸手不可及，一般是因?yàn)閱?wèn)題條件過(guò)于“離散”，聯(lián)系空間過(guò)于“曠闊”，已知和所求一時(shí)難以“牽手”，這也是我們研究中考答題的“節(jié)點(diǎn)”，一種有效的方式是：推理、聯(lián)想同時(shí)“上”，交錯(cuò)“攻擊”向前進(jìn)，也就是：前進(jìn)一步、再前進(jìn)一步！

例題2：（2018年湖北武漢市中考數(shù)學(xué)卷第10題）如圖5，在⊙O中，點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上，將弧BC沿BC折疊后剛好經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)D.若⊙O的半徑為，AB=4，則BC的長(zhǎng)是（）.

圖5

圖6

1.思路解析

要想前進(jìn)必須聯(lián)想，結(jié)合上面的中間結(jié)果AD=DB=AE=2，于是連接DE得EF，再連接BF得四邊形FBCE.此時(shí)有兩個(gè)特殊三角形，即等腰Rt△AED和等腰Rt△BFD，各邊長(zhǎng)即可求得，見(jiàn)圖7.

圖7

圖8

（2）針對(duì)已知條件“將弧BC沿BC折疊后剛好經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)D”，好像“好處”就像上面所說(shuō)的只能運(yùn)用垂徑定理，真的嗎？

要想前進(jìn)必須聯(lián)想，要證明四邊形FBCE是矩形，只差一個(gè)直角條件了，比如，證明出CB⊥BF即可達(dá)到目的！

用軸對(duì)稱變換的觀點(diǎn)看：弧BC（原像）的像是弧BDC，對(duì)稱軸是BC所在的直線；⊙O的其他部分比如弧、弦及弦上的點(diǎn)比如點(diǎn)D等的原像呢？“一一還原”，見(jiàn)圖8.

其實(shí)兩個(gè)圓是等圓，所求BC是相交兩等圓的公共弦，公共弦BC所在的直線是這兩個(gè)等圓構(gòu)成的整體圖形的對(duì)稱軸！立即可以推出：∠ABC=∠A′BC、∠ABF=∠A′BG=45°?BC⊥FB，結(jié)合∠C=∠F=90°，得四邊形FBCE是矩形

2.解答概要

（1）連接OD，構(gòu)造直徑EB，連接AE、EC?OD=1、AD=DB=AE=2.

（2）連接DE得EF?等腰Rt△AED和等腰Rt△BFD及各邊長(zhǎng).

（3）用軸對(duì)稱變換的觀點(diǎn)“一一還原”⊙O的各個(gè)部分比如弧、弦及弦上的點(diǎn)比如點(diǎn)D等的原像?∠ABC=∠A′BC、∠ABF=∠A′BG=45°?BC⊥FB，結(jié)合∠C=∠F=90°，可得四邊形FBCE是矩形

3.教學(xué)觀察

先是條件自然發(fā)散即可得出“一串串”中間過(guò)渡但很有價(jià)值的信息，很有人情味的“誘導(dǎo)”設(shè)計(jì)；至此解題思路“戛然而止”，凸顯“翻折”條件如果只是“蜻蜓點(diǎn)水”式的“挖掘”是不可能輕易解決問(wèn)題的，如果對(duì)幾何變換做整體完整的直觀理解，必是：像尋原像，圖形補(bǔ)全，推出軸對(duì)稱圖形，從而突破“翻折”條件“黑障區(qū)”，思路豁然開(kāi)朗！可見(jiàn)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地，問(wèn)題載體恰當(dāng)與否決定成敗，其中問(wèn)題即有直觀可以感受的信息源，亦必須有“只有充分”挖掘才可前進(jìn)的“資本”，啟迪我們的教學(xué)方向：理念問(wèn)題化，問(wèn)題要有“設(shè)計(jì)”，這個(gè)“設(shè)計(jì)”就是要有思維“黑障區(qū)”！

例題3：（2018年湖北武漢市中考數(shù)學(xué)卷第23題）在△ABC中，∠ABC=90°.

（1）如圖9，分別過(guò)A、C兩點(diǎn)作經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線的垂線，垂足分別為M、N，求證：△ABM △BCN.

（2）如圖10，P是邊BC上一點(diǎn)，∠BAP=∠C，tan∠PAC=，求tanC的值.

圖9

圖10

（3）如圖11，D是邊CA的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AE=AB，∠DEB=，直接寫(xiě)出tan∠CEB的值.

圖11

1.思路解析

對(duì)于（1），在兩個(gè)已知的直角三角形ABM與直角三角形CBN中，有很多角角關(guān)系如互余，再加上∠ABC=90°，與頂點(diǎn)B處的兩個(gè)銳角結(jié)合，又會(huì)產(chǎn)生新的角角關(guān)系如互余或相等，立即可得所證的三角形相似.若連接AC，立即可得菲爾德總統(tǒng)證明勾股定理的“模型圖”.

對(duì)于（2），結(jié)合第（1）小題的“模型圖”，構(gòu)造如下：

過(guò)P點(diǎn)作PN⊥AP交AC于N點(diǎn)，過(guò)N作NM⊥BC于M點(diǎn)；Rt△MNC左邊的圖形四邊形ABMN就是“模型圖”.

圖12

圖13

對(duì)于（3），同樣結(jié)合第（1）小題的“模型圖”，構(gòu)造如下：

過(guò)A作AH⊥EB交EB于H，過(guò)C作CK⊥EB交EB的延長(zhǎng)線于K；四邊形AHKC就是“模型圖”.

2.解答概要

（1）一對(duì)直角及同角的余角相等?∠1=∠2?△ABM△BCN.

（2）過(guò)P點(diǎn)作PN⊥AP交AC于N點(diǎn)，過(guò)N作NM⊥BC于M點(diǎn).易得△BAP △MPN

3.教學(xué)觀察

小題之間，貌似獨(dú)立，實(shí)則聯(lián)系：題（1）乃基本相似，其實(shí)就是直角三角形勾股定理的“菲爾德總統(tǒng)證明方法”模型圖；題（2）可化歸于（1），圖不同路同，同型化歸路通透，信息充足立可求；題（3）仍化歸為（1）之模型圖，思路清晰、利索干凈！總是仿（1）構(gòu)圖就是模型圖，題（1）鋪路，承前啟后，方法照舊，模型點(diǎn)睛，問(wèn)題定清！啟迪我們的教學(xué)方向：難題教學(xué)分解的“腳手架”和“模型圖”是“橋梁”，關(guān)鍵在于要有“設(shè)計(jì)”！使學(xué)生內(nèi)化理念：站在題目的“肩膀上”，會(huì)使我們?nèi)腩}快、想得深、速得分，學(xué)科素養(yǎng)“亮晶晶”！

毋須多例，由上面三題的教學(xué)賞析不難得出：無(wú)論是從考查內(nèi)容、問(wèn)題的設(shè)計(jì)，還是知識(shí)覆蓋、思維程度、縱橫跨度無(wú)不讓人點(diǎn)贊，還有更多好題，限于篇幅，建議收集查悉，因此我妄言：數(shù)學(xué)素養(yǎng)落地于問(wèn)題，問(wèn)題承載價(jià)值要設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)“看齊”武漢題，教學(xué)指導(dǎo)接地氣！