☉山東省萊蕪市雪野旅游區(qū)雪野鎮(zhèn)中心中學王德軍
反思是數(shù)學學習中一個非常重要的環(huán)節(jié),同時是一個良好的數(shù)學習慣和思維品質.美國著名數(shù)學教育家喬治·波利亞曾經(jīng)說過:“數(shù)學問題的解決僅僅成功了一半,更重要的是解題后的反思.”由此可見反思的重要性.
不斷對所學的數(shù)學知識和解決的問題進行反思,能夠深化對問題的理解,拓展解題思維途徑,揭示問題的本質和規(guī)律,促進知識的同化、遷移和應用,溝通知識之間的縱橫聯(lián)系.下面舉例說明如何在數(shù)學學習中進行反思.
俗話說:“條條大路通羅馬.”很多數(shù)學問題的解法往往并不止一種.另外,由于不同學生對同一問題的思考方法不一樣,因而解法往往會因人而異,但都可以得到問題的正確結果.因此我們在解決數(shù)學問題時,不能僅滿足于將問題解答出來,解答完畢之后還應該思考這個問題還有沒有其他的解決方法,并嘗試運用另外的方法進行解答.例如,下面這樣一道證明題:如圖1,在△ABC中,AB=AC,點P是BC邊上任意一點,PD和PE分別是AB、AC邊上的高.求證:CF=PD+PE.
圖1
圖2
圖3
圖4
證明該題,既可運用截長法,即過點P作PM⊥CF于M(如圖2),容易證明四邊形PMFD是矩形,從而PD=FM.然后證剩下的線段CM與PE相等.可通過證明△PCM與△CPE全等實現(xiàn).也可運用截短法,即過點C作CN⊥DP交DP的延長線于點N(如圖3),容易證明四邊形NCFD是矩形,從而CF=DN.然后證延長的線段PN與PE相等.可通過證明△CPN與△CPE全等實現(xiàn).無論是截長法還是補短法,都需要證明三角形全等,比較麻煩.注意到題目條件中的高,聯(lián)想到三角形的面積公式,因此可以借助三角形面積之間的關系巧證本題.即連接AP(如圖4),利用△ABC的面積等于△ABP與△ACP的面積之和證明.另外,在學習了三角函數(shù)的知識之后,本題還可應用三角函數(shù)進行巧證. 易知PD=BP·sin∠ABC,PE=CP·sin∠ACB,CF=BC·sin∠ABC,然后利用BC=BP+CP可以簡捷證明本題.
圖5
圖6
再如下面一道證明題:如圖5,在∠AOB的兩邊OA、OB上分別取OQ=OP,OT=OS,PT和QS相交于點C.求證:OC平分∠AOB.本題的常規(guī)證法是先證△OPT△OQS,得到∠OTP=∠OSQ.再證△QCT△PCS,得到QC=PC.再證△QCO△PCO,得到∠AOC=∠BOC,從而OC平分∠AOB.需要三次證明三角形全等,雖然思路簡單,但過程比較麻煩.結合待證結論,自然聯(lián)想到角的平分線性質定理的逆定理“到一個角的兩邊相等的點在這個角的平分線上”,可過點C分別作∠AOB兩邊的垂線.并結合面積進行證明.如圖6,分別過點C作CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分別為D、E.可先證△OPT△OQS,得到S△OPT=S△OQS.進而易證S△QCT=S△PCS.根據(jù)已知條件很容易證明QT=PS,從而CD=CE.則OC平分∠AOB.這種證明方法只需證明一次三角形全等,相對來說比較簡捷.
我們所學的數(shù)學知識前后是相互聯(lián)系的,而不是孤立的,我們要用聯(lián)系的觀點學習數(shù)學知識,將所學的數(shù)學知識有機整合在一起,構建知識“集成塊”.要用聯(lián)系的觀點看待數(shù)學問題,抓住數(shù)學問題之間的聯(lián)系,從而把握問題的本質.
先看這樣兩個數(shù)學問題:
題1:如圖6,在正方形ABCD中,E是BC邊上任意一點,CF是外角平分線,若∠AEF=90°,求證:AE=EF.
題2:如圖7,在正三角形ABC中,M是BC邊上任意一點,P是BC的延長線上一點,N是∠ACP的平分線上一點,若∠AMN=60°,則AM=MN是否成立?
圖7
圖8
表面上看,這兩個問題有點兒風馬牛不相及,毫不相干,一個以四邊形為載體,一個以三角形為載體,實際上,這兩個問題從題目條件到結論還有證明方法都非常相似.首先,正方形和正三角形都是正多邊形,CF和CN都是外角平分線,∠AEF=90°與∠AMN=60°都等于正多邊形的一個內(nèi)角,待證結論都是證明兩條類似的線段相等.圖6中的A、E、C、F四點共圓,圖7中的A、M、C、N四點共圓.再看證明方法,兩個題目都可以運用截長法和補短法構造全等非直角三角形證明;也可通過構造全等直角三角形證明;還可通過構造等腰三角形證明(要用到四點共圓).通過比較不難發(fā)現(xiàn),問題1和問題2實際上是同一問題的“不同表現(xiàn)形式”,本質是一樣的.
再看下面三個問題:
圖9
圖10
圖11
圖11
題1:如圖8,矩形ABCD中,AB=3cm,AD=6cm,點E為AB邊上任意一點,四邊形EFGB也是矩形,且EF=2BE,則S△AFC=________cm2.
題2:如圖9,菱形ABCD和菱形ECGF的邊長分別為2和3,∠DAB=120°,則圖中陰影部分的面積是().
題3:正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如圖10所示,點G在線段DK上,正方形BEFG的邊長為4,則△DEK的面積為________.
上面三個問題表面上看也不相干,實際上是同一問題的“不同表現(xiàn)形式”.題1中的矩形EFGB和矩形ABCD相似,題2中的菱形ABCD和菱形ECGF也相似,題3是把菱形改成了正方形,而且多加了一個正方形.三個問題都可以利用代數(shù)方法直接計算,也可以利用幾何方法,通過構造平行線,利用等底等高的三角形面積相等求解.
通過比較不同數(shù)學問題的已知條件、數(shù)字特征、圖形特征、待證結論,同時對其反思,我們抓住了表面上看起來不同的數(shù)學問題之間的聯(lián)系,把握了問題的本質.
數(shù)學中的選擇題和填空題是一類只注意結果而不注重過程的試題,而解答題和證明題是一類需要寫出解答(證明)過程的試題.我們曾經(jīng)遇到過這樣的現(xiàn)象:有些學生的解答(證明)過程出現(xiàn)錯誤但結果是正確的,有時中間出現(xiàn)的錯誤非常隱蔽,不易發(fā)現(xiàn).因此,我們有必要對問題的解答(證明)過程進行反思.先看下面一道看似簡單的幾何證明題:
圖12
已知:如圖11,?ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,過點O分別作OE⊥AD于E,OF⊥BC于F. 求證:OE=OF.
一些學生是這樣證明的:
由?ABCD的對角線AC、BD相交于點O,得OA=OC.
由OE⊥AD,OF⊥BC,得∠AEO=∠CFO=90°.
又∠1=∠2(對頂角相等),則△AOE△COF.
則OE=OF.
上述證明表面上看似乎天衣無縫,但為什么有∠1=∠2?證明者實質上是默認了E、O、F三點共線,但原題設中沒有說明E、O、F三點共線,故不能肯定∠1和∠2是對頂角,因此需要補證E、O、F三點共線.
可以說,上面的錯誤比較隱蔽,如果不對證明過程進行反思,很難發(fā)現(xiàn)這個錯誤.當然,由于證明∠1=∠2比較麻煩,但證明∠EAO=∠FCO比較簡單,因此可從證明∠EAO=∠FCO入手證明△AOE△COF.另外,注意到條件“OE⊥AD,OF⊥BC”,聯(lián)想到全等三角形對應邊上的高相等,也可以考慮證明△AOD△COB.
以上僅從三個方面談了在數(shù)學學習過程中如何進行反思.當然,數(shù)學中的反思包括很多方面:對數(shù)學中相似定理進行反思,如三角形全等的判定方法有“邊邊邊”“邊角邊”“角邊角”“角角邊”“斜邊、直角邊”,而三角形相似的判定方法有“邊邊邊”“邊角邊”“角角”“斜邊、直角邊”,對三角形全等和相似判定方法的異同點進行反思;對數(shù)學定理、性質中的規(guī)定進行反思,如等式性質2“等式兩邊乘同一個數(shù),或除以同一個不為0的數(shù),結果仍相等”,為什么要加上“不為0”這個限制條件?而等式性質1“等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子),結果仍相等”為什么沒有加“不為0”這個限制條件?反思對于同一個數(shù)學題目哪種解法簡捷,哪種解法更容易想出……
在平時學習數(shù)學知識的過程中,我們要養(yǎng)成反思的好習慣,經(jīng)常進行數(shù)學反思.這樣不僅有助于抓住數(shù)學知識之間的聯(lián)系,揭示數(shù)學問題的本質,提高我們解決數(shù)學問題的能力,同時有助于提高我們的數(shù)學素養(yǎng),構建自己的知識框架.W