亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        數(shù)學(xué)教學(xué),應(yīng)注重反思

        2018-12-13 08:46:22山東省萊蕪市雪野旅游區(qū)雪野鎮(zhèn)中心中學(xué)王德軍
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2018年24期
        關(guān)鍵詞:證明題平分線矩形

        ☉山東省萊蕪市雪野旅游區(qū)雪野鎮(zhèn)中心中學(xué)王德軍

        反思是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一個(gè)非常重要的環(huán)節(jié),同時(shí)是一個(gè)良好的數(shù)學(xué)習(xí)慣和思維品質(zhì).美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家喬治·波利亞曾經(jīng)說(shuō)過(guò):“數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決僅僅成功了一半,更重要的是解題后的反思.”由此可見(jiàn)反思的重要性.

        不斷對(duì)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和解決的問(wèn)題進(jìn)行反思,能夠深化對(duì)問(wèn)題的理解,拓展解題思維途徑,揭示問(wèn)題的本質(zhì)和規(guī)律,促進(jìn)知識(shí)的同化、遷移和應(yīng)用,溝通知識(shí)之間的縱橫聯(lián)系.下面舉例說(shuō)明如何在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中進(jìn)行反思.

        一、反思問(wèn)題的其他解法

        俗話說(shuō):“條條大路通羅馬.”很多數(shù)學(xué)問(wèn)題的解法往往并不止一種.另外,由于不同學(xué)生對(duì)同一問(wèn)題的思考方法不一樣,因而解法往往會(huì)因人而異,但都可以得到問(wèn)題的正確結(jié)果.因此我們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),不能僅滿足于將問(wèn)題解答出來(lái),解答完畢之后還應(yīng)該思考這個(gè)問(wèn)題還有沒(méi)有其他的解決方法,并嘗試運(yùn)用另外的方法進(jìn)行解答.例如,下面這樣一道證明題:如圖1,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)P是BC邊上任意一點(diǎn),PD和PE分別是AB、AC邊上的高.求證:CF=PD+PE.

        圖1

        圖2

        圖3

        圖4

        證明該題,既可運(yùn)用截長(zhǎng)法,即過(guò)點(diǎn)P作PM⊥CF于M(如圖2),容易證明四邊形PMFD是矩形,從而PD=FM.然后證剩下的線段CM與PE相等.可通過(guò)證明△PCM與△CPE全等實(shí)現(xiàn).也可運(yùn)用截短法,即過(guò)點(diǎn)C作CN⊥DP交DP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N(如圖3),容易證明四邊形NCFD是矩形,從而CF=DN.然后證延長(zhǎng)的線段PN與PE相等.可通過(guò)證明△CPN與△CPE全等實(shí)現(xiàn).無(wú)論是截長(zhǎng)法還是補(bǔ)短法,都需要證明三角形全等,比較麻煩.注意到題目條件中的高,聯(lián)想到三角形的面積公式,因此可以借助三角形面積之間的關(guān)系巧證本題.即連接AP(如圖4),利用△ABC的面積等于△ABP與△ACP的面積之和證明.另外,在學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的知識(shí)之后,本題還可應(yīng)用三角函數(shù)進(jìn)行巧證. 易知PD=BP·sin∠ABC,PE=CP·sin∠ACB,CF=BC·sin∠ABC,然后利用BC=BP+CP可以簡(jiǎn)捷證明本題.

        圖5

        圖6

        再如下面一道證明題:如圖5,在∠AOB的兩邊OA、OB上分別取OQ=OP,OT=OS,PT和QS相交于點(diǎn)C.求證:OC平分∠AOB.本題的常規(guī)證法是先證△OPT△OQS,得到∠OTP=∠OSQ.再證△QCT△PCS,得到QC=PC.再證△QCO△PCO,得到∠AOC=∠BOC,從而OC平分∠AOB.需要三次證明三角形全等,雖然思路簡(jiǎn)單,但過(guò)程比較麻煩.結(jié)合待證結(jié)論,自然聯(lián)想到角的平分線性質(zhì)定理的逆定理“到一個(gè)角的兩邊相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上”,可過(guò)點(diǎn)C分別作∠AOB兩邊的垂線.并結(jié)合面積進(jìn)行證明.如圖6,分別過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分別為D、E.可先證△OPT△OQS,得到S△OPT=S△OQS.進(jìn)而易證S△QCT=S△PCS.根據(jù)已知條件很容易證明QT=PS,從而CD=CE.則OC平分∠AOB.這種證明方法只需證明一次三角形全等,相對(duì)來(lái)說(shuō)比較簡(jiǎn)捷.

        二、反思問(wèn)題之間的聯(lián)系

        我們所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)前后是相互聯(lián)系的,而不是孤立的,我們要用聯(lián)系的觀點(diǎn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí),將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)整合在一起,構(gòu)建知識(shí)“集成塊”.要用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待數(shù)學(xué)問(wèn)題,抓住數(shù)學(xué)問(wèn)題之間的聯(lián)系,從而把握問(wèn)題的本質(zhì).

        先看這樣兩個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題:

        題1:如圖6,在正方形ABCD中,E是BC邊上任意一點(diǎn),CF是外角平分線,若∠AEF=90°,求證:AE=EF.

        題2:如圖7,在正三角形ABC中,M是BC邊上任意一點(diǎn),P是BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn),N是∠ACP的平分線上一點(diǎn),若∠AMN=60°,則AM=MN是否成立?

        圖7

        圖8

        表面上看,這兩個(gè)問(wèn)題有點(diǎn)兒風(fēng)馬牛不相及,毫不相干,一個(gè)以四邊形為載體,一個(gè)以三角形為載體,實(shí)際上,這兩個(gè)問(wèn)題從題目條件到結(jié)論還有證明方法都非常相似.首先,正方形和正三角形都是正多邊形,CF和CN都是外角平分線,∠AEF=90°與∠AMN=60°都等于正多邊形的一個(gè)內(nèi)角,待證結(jié)論都是證明兩條類似的線段相等.圖6中的A、E、C、F四點(diǎn)共圓,圖7中的A、M、C、N四點(diǎn)共圓.再看證明方法,兩個(gè)題目都可以運(yùn)用截長(zhǎng)法和補(bǔ)短法構(gòu)造全等非直角三角形證明;也可通過(guò)構(gòu)造全等直角三角形證明;還可通過(guò)構(gòu)造等腰三角形證明(要用到四點(diǎn)共圓).通過(guò)比較不難發(fā)現(xiàn),問(wèn)題1和問(wèn)題2實(shí)際上是同一問(wèn)題的“不同表現(xiàn)形式”,本質(zhì)是一樣的.

        再看下面三個(gè)問(wèn)題:

        圖9

        圖10

        圖11

        圖11

        題1:如圖8,矩形ABCD中,AB=3cm,AD=6cm,點(diǎn)E為AB邊上任意一點(diǎn),四邊形EFGB也是矩形,且EF=2BE,則S△AFC=________cm2.

        題2:如圖9,菱形ABCD和菱形ECGF的邊長(zhǎng)分別為2和3,∠DAB=120°,則圖中陰影部分的面積是().

        題3:正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如圖10所示,點(diǎn)G在線段DK上,正方形BEFG的邊長(zhǎng)為4,則△DEK的面積為_(kāi)_______.

        上面三個(gè)問(wèn)題表面上看也不相干,實(shí)際上是同一問(wèn)題的“不同表現(xiàn)形式”.題1中的矩形EFGB和矩形ABCD相似,題2中的菱形ABCD和菱形ECGF也相似,題3是把菱形改成了正方形,而且多加了一個(gè)正方形.三個(gè)問(wèn)題都可以利用代數(shù)方法直接計(jì)算,也可以利用幾何方法,通過(guò)構(gòu)造平行線,利用等底等高的三角形面積相等求解.

        通過(guò)比較不同數(shù)學(xué)問(wèn)題的已知條件、數(shù)字特征、圖形特征、待證結(jié)論,同時(shí)對(duì)其反思,我們抓住了表面上看起來(lái)不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題之間的聯(lián)系,把握了問(wèn)題的本質(zhì).

        三、反思問(wèn)題的解法是否合理

        數(shù)學(xué)中的選擇題和填空題是一類只注意結(jié)果而不注重過(guò)程的試題,而解答題和證明題是一類需要寫出解答(證明)過(guò)程的試題.我們?cè)?jīng)遇到過(guò)這樣的現(xiàn)象:有些學(xué)生的解答(證明)過(guò)程出現(xiàn)錯(cuò)誤但結(jié)果是正確的,有時(shí)中間出現(xiàn)的錯(cuò)誤非常隱蔽,不易發(fā)現(xiàn).因此,我們有必要對(duì)問(wèn)題的解答(證明)過(guò)程進(jìn)行反思.先看下面一道看似簡(jiǎn)單的幾何證明題:

        圖12

        已知:如圖11,?ABCD中,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O分別作OE⊥AD于E,OF⊥BC于F. 求證:OE=OF.

        一些學(xué)生是這樣證明的:

        由?ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,得OA=OC.

        由OE⊥AD,OF⊥BC,得∠AEO=∠CFO=90°.

        又∠1=∠2(對(duì)頂角相等),則△AOE△COF.

        則OE=OF.

        上述證明表面上看似乎天衣無(wú)縫,但為什么有∠1=∠2?證明者實(shí)質(zhì)上是默認(rèn)了E、O、F三點(diǎn)共線,但原題設(shè)中沒(méi)有說(shuō)明E、O、F三點(diǎn)共線,故不能肯定∠1和∠2是對(duì)頂角,因此需要補(bǔ)證E、O、F三點(diǎn)共線.

        可以說(shuō),上面的錯(cuò)誤比較隱蔽,如果不對(duì)證明過(guò)程進(jìn)行反思,很難發(fā)現(xiàn)這個(gè)錯(cuò)誤.當(dāng)然,由于證明∠1=∠2比較麻煩,但證明∠EAO=∠FCO比較簡(jiǎn)單,因此可從證明∠EAO=∠FCO入手證明△AOE△COF.另外,注意到條件“OE⊥AD,OF⊥BC”,聯(lián)想到全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等,也可以考慮證明△AOD△COB.

        以上僅從三個(gè)方面談了在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中如何進(jìn)行反思.當(dāng)然,數(shù)學(xué)中的反思包括很多方面:對(duì)數(shù)學(xué)中相似定理進(jìn)行反思,如三角形全等的判定方法有“邊邊邊”“邊角邊”“角邊角”“角角邊”“斜邊、直角邊”,而三角形相似的判定方法有“邊邊邊”“邊角邊”“角角”“斜邊、直角邊”,對(duì)三角形全等和相似判定方法的異同點(diǎn)進(jìn)行反思;對(duì)數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)中的規(guī)定進(jìn)行反思,如等式性質(zhì)2“等式兩邊乘同一個(gè)數(shù),或除以同一個(gè)不為0的數(shù),結(jié)果仍相等”,為什么要加上“不為0”這個(gè)限制條件?而等式性質(zhì)1“等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子),結(jié)果仍相等”為什么沒(méi)有加“不為0”這個(gè)限制條件?反思對(duì)于同一個(gè)數(shù)學(xué)題目哪種解法簡(jiǎn)捷,哪種解法更容易想出……

        在平時(shí)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中,我們要養(yǎng)成反思的好習(xí)慣,經(jīng)常進(jìn)行數(shù)學(xué)反思.這樣不僅有助于抓住數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系,揭示數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì),提高我們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力,同時(shí)有助于提高我們的數(shù)學(xué)素養(yǎng),構(gòu)建自己的知識(shí)框架.W

        猜你喜歡
        證明題平分線矩形
        巧用函數(shù)的性質(zhì)求解不等式證明題
        玩轉(zhuǎn)角的平分線
        角平分線形成的角
        兩矩形上的全偏差
        多用角的平分線證題
        化歸矩形證直角
        從矩形內(nèi)一點(diǎn)說(shuō)起
        一類不等式證明題的常規(guī)證法
        折疊莫忘角平分線
        學(xué)生在解決幾何證明題中的深度體驗(yàn)
        亚洲中文字幕在线一区| 欧美日韩一线| 五月天亚洲av优女天堂| 亚洲av成熟国产一区二区| 欧美精品videosex极品| 免费人成视频在线观看视频| 国产精品成人无码久久久久久| 在线亚洲AV成人无码一区小说| 一区二区无码精油按摩| 色婷婷久久综合中文蜜桃| 国产精品av在线| 国产内射性高湖| 天堂Av无码Av一区二区三区| 亚洲天堂av黄色在线观看| 97se亚洲国产综合自在线观看| 国产成熟人妻换╳╳╳╳| 老男人久久青草AV高清| 久久精品av一区二区免费| 亚洲乱码av中文一区二区| 国模欢欢炮交啪啪150| 国产系列丝袜熟女精品视频| 国内精品少妇久久精品| 欧美大胆性生话| 精品人妻系列无码一区二区三区| 欧美刺激午夜性久久久久久久| 高清av一区二区三区在线| 一区二区国产av网站| 国产 字幕 制服 中文 在线| 久久国产品野战| 国产诱惑人的视频在线观看| 午夜时刻免费入口| 妺妺窝人体色www在线图片| 性感人妻一区二区三区| 国产黄色av一区二区三区| 国产乱妇乱子在线播视频播放网站| 久久这里只精品国产99热| 日韩在线精品视频免费| 亚洲精品无码不卡| 国产精品亚洲综合色区韩国| 国产精品nv在线观看| 一本色道久久88—综合亚洲精品|