☉山東省萊蕪市雪野旅游區(qū)雪野鎮(zhèn)中心中學(xué)王德軍

反思是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一個(gè)非常重要的環(huán)節(jié)，同時(shí)是一個(gè)良好的數(shù)學(xué)習(xí)慣和思維品質(zhì).美國著名數(shù)學(xué)教育家喬治·波利亞曾經(jīng)說過：“數(shù)學(xué)問題的解決僅僅成功了一半，更重要的是解題后的反思.”由此可見反思的重要性.

不斷對所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和解決的問題進(jìn)行反思，能夠深化對問題的理解，拓展解題思維途徑，揭示問題的本質(zhì)和規(guī)律，促進(jìn)知識的同化、遷移和應(yīng)用，溝通知識之間的縱橫聯(lián)系.下面舉例說明如何在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中進(jìn)行反思.

一、反思問題的其他解法

俗話說：“條條大路通羅馬.”很多數(shù)學(xué)問題的解法往往并不止一種.另外，由于不同學(xué)生對同一問題的思考方法不一樣，因而解法往往會因人而異，但都可以得到問題的正確結(jié)果.因此我們在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，不能僅滿足于將問題解答出來，解答完畢之后還應(yīng)該思考這個(gè)問題還有沒有其他的解決方法，并嘗試運(yùn)用另外的方法進(jìn)行解答.例如，下面這樣一道證明題：如圖1，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)P是BC邊上任意一點(diǎn)，PD和PE分別是AB、AC邊上的高.求證：CF=PD+PE.

圖1

圖2

圖3

圖4

證明該題，既可運(yùn)用截長法，即過點(diǎn)P作PM⊥CF于M（如圖2），容易證明四邊形PMFD是矩形，從而PD=FM.然后證剩下的線段CM與PE相等.可通過證明△PCM與△CPE全等實(shí)現(xiàn).也可運(yùn)用截短法，即過點(diǎn)C作CN⊥DP交DP的延長線于點(diǎn)N（如圖3），容易證明四邊形NCFD是矩形，從而CF=DN.然后證延長的線段PN與PE相等.可通過證明△CPN與△CPE全等實(shí)現(xiàn).無論是截長法還是補(bǔ)短法，都需要證明三角形全等，比較麻煩.注意到題目條件中的高，聯(lián)想到三角形的面積公式，因此可以借助三角形面積之間的關(guān)系巧證本題.即連接AP（如圖4），利用△ABC的面積等于△ABP與△ACP的面積之和證明.另外，在學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的知識之后，本題還可應(yīng)用三角函數(shù)進(jìn)行巧證. 易知PD=BP·sin∠ABC，PE=CP·sin∠ACB，CF=BC·sin∠ABC，然后利用BC=BP+CP可以簡捷證明本題.

圖5

圖6

再如下面一道證明題：如圖5，在∠AOB的兩邊OA、OB上分別取OQ=OP，OT=OS，PT和QS相交于點(diǎn)C.求證：OC平分∠AOB.本題的常規(guī)證法是先證△OPT△OQS，得到∠OTP=∠OSQ.再證△QCT△PCS，得到QC=PC.再證△QCO△PCO，得到∠AOC=∠BOC，從而OC平分∠AOB.需要三次證明三角形全等，雖然思路簡單，但過程比較麻煩.結(jié)合待證結(jié)論，自然聯(lián)想到角的平分線性質(zhì)定理的逆定理“到一個(gè)角的兩邊相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上”，可過點(diǎn)C分別作∠AOB兩邊的垂線.并結(jié)合面積進(jìn)行證明.如圖6，分別過點(diǎn)C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D、E.可先證△OPT△OQS，得到S△OPT=S△OQS.進(jìn)而易證S△QCT=S△PCS.根據(jù)已知條件很容易證明QT=PS，從而CD=CE.則OC平分∠AOB.這種證明方法只需證明一次三角形全等，相對來說比較簡捷.

二、反思問題之間的聯(lián)系

我們所學(xué)的數(shù)學(xué)知識前后是相互聯(lián)系的，而不是孤立的，我們要用聯(lián)系的觀點(diǎn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識有機(jī)整合在一起，構(gòu)建知識“集成塊”.要用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待數(shù)學(xué)問題，抓住數(shù)學(xué)問題之間的聯(lián)系，從而把握問題的本質(zhì).

先看這樣兩個(gè)數(shù)學(xué)問題：

題1：如圖6，在正方形ABCD中，E是BC邊上任意一點(diǎn)，CF是外角平分線，若∠AEF=90°，求證：AE=EF.

題2：如圖7，在正三角形ABC中，M是BC邊上任意一點(diǎn)，P是BC的延長線上一點(diǎn)，N是∠ACP的平分線上一點(diǎn)，若∠AMN=60°，則AM=MN是否成立？

圖7

圖8

表面上看，這兩個(gè)問題有點(diǎn)兒風(fēng)馬牛不相及，毫不相干，一個(gè)以四邊形為載體，一個(gè)以三角形為載體，實(shí)際上，這兩個(gè)問題從題目條件到結(jié)論還有證明方法都非常相似.首先，正方形和正三角形都是正多邊形，CF和CN都是外角平分線，∠AEF=90°與∠AMN=60°都等于正多邊形的一個(gè)內(nèi)角，待證結(jié)論都是證明兩條類似的線段相等.圖6中的A、E、C、F四點(diǎn)共圓，圖7中的A、M、C、N四點(diǎn)共圓.再看證明方法，兩個(gè)題目都可以運(yùn)用截長法和補(bǔ)短法構(gòu)造全等非直角三角形證明；也可通過構(gòu)造全等直角三角形證明；還可通過構(gòu)造等腰三角形證明（要用到四點(diǎn)共圓）.通過比較不難發(fā)現(xiàn)，問題1和問題2實(shí)際上是同一問題的“不同表現(xiàn)形式”，本質(zhì)是一樣的.

再看下面三個(gè)問題：

圖9

圖10

圖11

圖11

題1：如圖8，矩形ABCD中，AB=3cm，AD=6cm，點(diǎn)E為AB邊上任意一點(diǎn)，四邊形EFGB也是矩形，且EF=2BE，則S△AFC=________cm2.

題2：如圖9，菱形ABCD和菱形ECGF的邊長分別為2和3，∠DAB=120°，則圖中陰影部分的面積是（）.

題3：正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如圖10所示，點(diǎn)G在線段DK上，正方形BEFG的邊長為4，則△DEK的面積為________.

上面三個(gè)問題表面上看也不相干，實(shí)際上是同一問題的“不同表現(xiàn)形式”.題1中的矩形EFGB和矩形ABCD相似，題2中的菱形ABCD和菱形ECGF也相似，題3是把菱形改成了正方形，而且多加了一個(gè)正方形.三個(gè)問題都可以利用代數(shù)方法直接計(jì)算，也可以利用幾何方法，通過構(gòu)造平行線，利用等底等高的三角形面積相等求解.

通過比較不同數(shù)學(xué)問題的已知條件、數(shù)字特征、圖形特征、待證結(jié)論，同時(shí)對其反思，我們抓住了表面上看起來不同的數(shù)學(xué)問題之間的聯(lián)系，把握了問題的本質(zhì).

三、反思問題的解法是否合理

數(shù)學(xué)中的選擇題和填空題是一類只注意結(jié)果而不注重過程的試題，而解答題和證明題是一類需要寫出解答（證明）過程的試題.我們曾經(jīng)遇到過這樣的現(xiàn)象：有些學(xué)生的解答（證明）過程出現(xiàn)錯(cuò)誤但結(jié)果是正確的，有時(shí)中間出現(xiàn)的錯(cuò)誤非常隱蔽，不易發(fā)現(xiàn).因此，我們有必要對問題的解答（證明）過程進(jìn)行反思.先看下面一道看似簡單的幾何證明題：

圖12

已知：如圖11，?ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O分別作OE⊥AD于E，OF⊥BC于F. 求證：OE=OF.

一些學(xué)生是這樣證明的：

由?ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，得OA=OC.

由OE⊥AD，OF⊥BC，得∠AEO=∠CFO=90°.

又∠1=∠2（對頂角相等），則△AOE△COF.

則OE=OF.

上述證明表面上看似乎天衣無縫，但為什么有∠1=∠2？證明者實(shí)質(zhì)上是默認(rèn)了E、O、F三點(diǎn)共線，但原題設(shè)中沒有說明E、O、F三點(diǎn)共線，故不能肯定∠1和∠2是對頂角，因此需要補(bǔ)證E、O、F三點(diǎn)共線.

可以說，上面的錯(cuò)誤比較隱蔽，如果不對證明過程進(jìn)行反思，很難發(fā)現(xiàn)這個(gè)錯(cuò)誤.當(dāng)然，由于證明∠1=∠2比較麻煩，但證明∠EAO=∠FCO比較簡單，因此可從證明∠EAO=∠FCO入手證明△AOE△COF.另外，注意到條件“OE⊥AD，OF⊥BC”，聯(lián)想到全等三角形對應(yīng)邊上的高相等，也可以考慮證明△AOD△COB.

以上僅從三個(gè)方面談了在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中如何進(jìn)行反思.當(dāng)然，數(shù)學(xué)中的反思包括很多方面：對數(shù)學(xué)中相似定理進(jìn)行反思，如三角形全等的判定方法有“邊邊邊”“邊角邊”“角邊角”“角角邊”“斜邊、直角邊”，而三角形相似的判定方法有“邊邊邊”“邊角邊”“角角”“斜邊、直角邊”，對三角形全等和相似判定方法的異同點(diǎn)進(jìn)行反思；對數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)中的規(guī)定進(jìn)行反思，如等式性質(zhì)2“等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等”，為什么要加上“不為0”這個(gè)限制條件？而等式性質(zhì)1“等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等”為什么沒有加“不為0”這個(gè)限制條件？反思對于同一個(gè)數(shù)學(xué)題目哪種解法簡捷，哪種解法更容易想出……

在平時(shí)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程中，我們要養(yǎng)成反思的好習(xí)慣，經(jīng)常進(jìn)行數(shù)學(xué)反思.這樣不僅有助于抓住數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，提高我們解決數(shù)學(xué)問題的能力，同時(shí)有助于提高我們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，構(gòu)建自己的知識框架.W