☉江蘇省海安市李堡鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)儲(chǔ)秀梅

最近一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，我們基于整合不同學(xué)科教學(xué)內(nèi)容的想法，從物理學(xué)科中光線反射的問題出發(fā)，引出幾何中的軸對(duì)稱性質(zhì)的拓展應(yīng)用，并鏈接數(shù)學(xué)史的“法尼亞諾”“問題，組織學(xué)生理解“數(shù)學(xué)難題”的證明思路，實(shí)踐弗賴登塔爾“有指導(dǎo)的再創(chuàng)造”教學(xué)思想，取得了較好的教學(xué)效果.本文梳理該課教學(xué)活動(dòng)與設(shè)計(jì)意圖，并跟進(jìn)教學(xué)立意的闡釋，供研討.

一、教學(xué)活動(dòng)與預(yù)設(shè)意圖

教學(xué)環(huán)節(jié)（一） 物理光線作圖題

問題1：請(qǐng)利用平面鏡成像的特點(diǎn)作出從光源S發(fā)出的一條光線，經(jīng)平面鏡發(fā)射后恰好經(jīng)過A點(diǎn)的光路圖.

圖1

圖2

預(yù)設(shè)意圖：這個(gè)問題由物理老師提供，物理老師預(yù)設(shè)的是絕大多數(shù)學(xué)生很快就能作出圖2，但物理老師也指出，在物理學(xué)科不需要學(xué)生進(jìn)行證明，只要會(huì)畫圖就行了.所以數(shù)學(xué)課上，我們就從這個(gè)作圖情境出發(fā)，先做物理史話的鏈接介紹，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)費(fèi)馬光行最速原理.1657年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出著名的光行最速原理：光線所行進(jìn)的“光程”最短.簡(jiǎn)略地說，光行進(jìn)的時(shí)間最短.由于光速不變，即光線由點(diǎn)S經(jīng)平面鏡反射后到達(dá)點(diǎn)A的路程最短.進(jìn)一步把問題抽象成數(shù)學(xué)問題，安排學(xué)生證明費(fèi)馬光行最速原理.

數(shù)學(xué)問題：已知，如圖3，點(diǎn)S、點(diǎn)A在直線MN同側(cè)，點(diǎn)C為直線MN上任意一點(diǎn).

求證：當(dāng)∠SCM=∠ACN時(shí)，SC＋AC最短.

圖3

圖4

預(yù)設(shè)意圖：引導(dǎo)學(xué)生在直線MN上另取一點(diǎn)C′，連接SC′、AC′、A′C′，比較SC′+AC′與SC＋AC的大小，利用對(duì)稱性轉(zhuǎn)化到△A′SC′即可實(shí)現(xiàn)證明.

教學(xué)環(huán)節(jié)（二） 兩條“折線段”之和最短問題變式研究

問題2：如圖5，AD是等邊三角形ABC的邊BC上的中線，點(diǎn)M是AD上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，且AE=AC，在AD上找出點(diǎn)M的位置，使EM、CM之和最短.

圖5

圖6

教學(xué)預(yù)設(shè)：這是兩定點(diǎn)到直線上一動(dòng)點(diǎn)的線段距離和最短問題，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造出圖6即可成功解決.根據(jù)點(diǎn)B、C關(guān)于AD對(duì)稱，可連接BE交AD于點(diǎn)M，連接CM、EM.此時(shí)CM+EM最小.

問題3：如圖7，在銳角三角形ABC中，∠BAC=60°.∠BAC的角平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn).試分析BM＋MN的最小值與邊長(zhǎng)AB的大小，并說明理由.

圖7

圖8

教學(xué)預(yù)設(shè)：這屬于“一定點(diǎn)、一動(dòng)點(diǎn)”到直線上一動(dòng)點(diǎn)組成的線段距離和最短問題.引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造出圖8，即取點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)B′，注意點(diǎn)B′恰落在邊AC上，這樣作B′N⊥AB于點(diǎn)N，交AD于點(diǎn)M.連接BM、MN，此時(shí)BM＋MN取得最小值.在直角三角形AB′N中，B′N小于AB′，而AB′=AB，于是BM＋MN的最小值比邊長(zhǎng)AB要小.

問題4：如圖9，∠AOB=45°，它的內(nèi)部有點(diǎn)P，在角的兩邊上有兩點(diǎn)Q、R（均不同于O點(diǎn)），當(dāng)△PQR的周長(zhǎng)取得最小值時(shí)，試比較該最小值與OP長(zhǎng)的大小關(guān)系.

圖9

圖10

教學(xué)預(yù)設(shè)：這是一定點(diǎn)與兩條直線上兩動(dòng)點(diǎn)組成的三角形周長(zhǎng)和最短問題，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造圖10進(jìn)行分析，分別取點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P′、P′′，連接P′P′′交OA、OB于點(diǎn)Q、R，則△PQR的周長(zhǎng)可轉(zhuǎn)化為P′P′′的長(zhǎng)，接著想清OP=OP′=OP′′，∠P′OP′′=2∠AOB=90°，而P′P′′在△P′OP′′中是斜邊，于是可判斷大小，即△PQR的周長(zhǎng)的最小值大于OP的長(zhǎng).

教學(xué)環(huán)節(jié)（三）閱讀理解“法尼亞諾”問題與費(fèi)耶爾證法

“法尼亞諾”問題：△ABC是銳角三角形，M、N、P分別為邊BC、AB、AC上的點(diǎn)，連接MN、NP、MP.△PMN就是△ABC的內(nèi)接三角形.M、N、P三點(diǎn)在什么位置時(shí)，△MNP的周長(zhǎng)最??？

圖11

圖12

教學(xué)預(yù)設(shè)：先介紹數(shù)學(xué)史上的所謂“法尼亞諾“問題，然后安排學(xué)生獨(dú)立探究，2分鐘后詢問學(xué)生是否沒有進(jìn)展（估計(jì)這道難題學(xué)生短時(shí)間內(nèi)不會(huì)有所進(jìn)展）.接著向?qū)W生講解這個(gè)問題是由意大利數(shù)學(xué)家法尼亞諾首先提出的.直到二百多年后，匈牙利科學(xué)院院士費(fèi)耶爾還在柏林大學(xué)讀書時(shí)，受光行最速原理的啟發(fā)，運(yùn)用軸對(duì)稱解決了這個(gè)問題.費(fèi)耶爾先構(gòu)造出圖12這樣的示意圖，具體是，先在邊BC上任取一點(diǎn)M，過點(diǎn)M作直線AB、AC的對(duì)稱點(diǎn)M′、M′′，連接AM′、AM′′、M′M′′，M′M′′與AB、AC分別交于N、P兩點(diǎn)，此時(shí)△PMN的周長(zhǎng)最小.接下來安排學(xué)生理解上述證法，并說明理由.

思路預(yù)設(shè)：根據(jù)對(duì)稱性，引導(dǎo)學(xué)生想清△AM′M′′是等腰三角形，且頂角∠M′AM′′恰為∠BAC的兩倍，是一個(gè)確定的角度，則等腰三角形AM′M′′的底邊長(zhǎng)就受腰長(zhǎng)影響，而腰長(zhǎng)AM′=AM，當(dāng)AM最短時(shí)，相應(yīng)的就有M′M′′最短，△PMN的周長(zhǎng)又可轉(zhuǎn)化為M′M′′的長(zhǎng)，于是問題獲得突破.AM為高時(shí)，△PMN的周長(zhǎng)最小.

成果擴(kuò)大：課后引導(dǎo)優(yōu)秀學(xué)生繼續(xù)鉆研，當(dāng)AM為高時(shí)，有人連接BP、CN，則它們是三角形ABC的另外兩條高！這種發(fā)現(xiàn)有道理嗎？

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

1.重視其他學(xué)科現(xiàn)實(shí)，適當(dāng)引入數(shù)學(xué)課堂開展探究

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》關(guān)于教學(xué)問題情境的創(chuàng)設(shè)，提出要兼顧生活現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)及其他學(xué)科現(xiàn)實(shí)，本文的課例就選自物理學(xué)科現(xiàn)實(shí)，在與物理老師共同備課期間，得知物理學(xué)科并不要求學(xué)生證明光線最短問題，只需要學(xué)生會(huì)畫光路圖，而數(shù)學(xué)不滿足于此，需要給出證明，所以我們選擇這個(gè)情境引入新課，先復(fù)習(xí)物理上畫圖的簡(jiǎn)單內(nèi)容，然后從數(shù)學(xué)角度進(jìn)行闡釋和證明.

2.立足數(shù)學(xué)學(xué)科背景，抽象出數(shù)學(xué)問題或模型研究

針對(duì)當(dāng)前有些教材、課堂教學(xué)過分強(qiáng)調(diào)創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入、片面聯(lián)系實(shí)際等現(xiàn)象，單墫教授曾直言不諱地指出：“數(shù)學(xué)課要講數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)課的主要任務(wù)是教數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)，是解決數(shù)學(xué)問題，而不是解決實(shí)際問題.”像上文中的課例中引入的情境雖然是物理學(xué)科的一道光線畫圖問題，但是在數(shù)學(xué)課上我們主要的任務(wù)是從中抽象出數(shù)學(xué)問題或數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用軸對(duì)稱性質(zhì)進(jìn)行解釋和證明.

3.教學(xué)進(jìn)程融入HPM，開展“有指導(dǎo)的再創(chuàng)造”活動(dòng)

當(dāng)前以華東師大汪曉勤教授領(lǐng)銜的HPM團(tuán)隊(duì)研發(fā)了很多HPM數(shù)學(xué)課例，對(duì)我國(guó)HPM課例研究的豐富起到很大推動(dòng)作用.在這里有必要指出來的是，數(shù)學(xué)史上很多問題都是具有挑戰(zhàn)性的較難題，這些較難題的解決往往推動(dòng)了數(shù)學(xué)的進(jìn)展.在課堂上選擇這類有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)難題、數(shù)學(xué)名題時(shí)，教師需要提前預(yù)設(shè)“有指導(dǎo)的再創(chuàng)造”教學(xué)活動(dòng)，而不能任由學(xué)生獨(dú)立研究.課堂教學(xué)時(shí)間有限，教師可以通過閱讀理解、關(guān)鍵步驟的解讀等方式引導(dǎo)學(xué)生參與理解、完善解法.當(dāng)然，這也是在踐行弗賴登塔爾的“有指導(dǎo)的再創(chuàng)造”教學(xué)思想.