翟曉婧 朱 丹

（南昌大學，江西 南昌 330000）

在過去，GARCH模型得到了廣泛的擴展。但是，將Copula理論運用于高頻數(shù)據(jù)的研究還不多。大致上，可以將Copula理論運用于高頻數(shù)據(jù)研究的文獻分為三類，一類是直接將Copula與邊緣模型相結(jié)合對多變量高頻數(shù)據(jù)之間的關系進行研究。一類是用高頻數(shù)據(jù)計算出“已實現(xiàn)”波動率等構(gòu)建邊緣分布模型，再與Copula模型結(jié)合進行低頻數(shù)據(jù)波動關系的研究。最后一類是將Copula和ACD模型結(jié)合運用于超高頻數(shù)據(jù)?？紤]到高頻數(shù)據(jù)的日歷效應特征并結(jié)合SJC-Copula為建模工具對金融市場尾部波動溢出進行的研究還未出現(xiàn)，本文的研究有助于填補這一空白。

一、模型和研究方法

（一）多成分GARCH模型的基本理論

本文把采集高頻收益率樣本的天數(shù)依次標記為t(t=1,…,T)。在每天里收集N個收益率樣本，每天的高頻樣本依次標記為i(i=1,…,N)。可以構(gòu)造出多成分GARCH模型的基本形式：

在上式 (1)里，rt,i表示第t天第i個對數(shù)高頻收益率數(shù)據(jù)，μt,i為rt,i的條件均值，εt,i為殘差項。qt,i代表日內(nèi)標準差成分，σt為第t日收益波動的標準差，si為日歷標準差成分，zt,i服從iid(0,1)標準化新息，zt,i服從的分布較常見的有高斯分布、學生t分布等。本文選擇使用學生t分布，并設自由度參數(shù)為λ。

這里，本文將多成分GARCH模型進一步表示成：

上式(2)中，μ代表均值的常數(shù)部分，p為選定的最大滯后階數(shù)。rt,i-j為rt,i的第j個滯后項。

（二）多成分GARCH模型的參數(shù)估計

考慮到多成分GARCH模型既利用了低頻數(shù)據(jù)又使用了高頻數(shù)據(jù)，本文使用分步法進行估計：

第一步先估計σt。在對每日收益標準差σt估計時，我們選用GJR-GARCH（1，1）模型進行。

第二步，對日歷標準差成分si和多成分GARCH模型的參數(shù)等進行估計。估計方程式如下：

在本文里，我們用剔除對數(shù)高頻收益率條件均值后的殘差替換對數(shù)高頻收益進行估計。估計式變?yōu)椋?/p>

如果我們將（2）式的前兩個方程式分別代入（3）式和（4）式，可以發(fā)現(xiàn)使用（4）式計算日歷標準差成分比（3）式更能明晰表現(xiàn)出日歷標準差的估計式與多成分GARCH模型里設定的日歷標準差的對應關系。

其后，將第一步估計得到的σ?t和（4）式確定的s?i的表達式代入（2）式，對多成分GARCH模型用極大似然法進行估計得到參數(shù)值和殘差序列。在式（2）里，有參數(shù)，那么，學生t分布下的對數(shù)似然函數(shù)可以表示為：

在上式（5）中，Yt,i表示直到t日第i個樣本點的信息集合，Γ（·）為Gamma函數(shù)，并要求學生t分布的自由度參數(shù)λ＞2。

（三）SJC-Copula模型的形式及參數(shù)估計

Copula理論的發(fā)展極大地豐富了多元變量之間相關性研究的內(nèi)容。尾部相關系數(shù)可以用來捕捉當一個預測變量為極值時，另一個觀測變量也出現(xiàn)極值的概率。尾部相關系數(shù)引申出來的一個概念是條件尾部相關系數(shù)。在實證研究中，常用τU(τL)表示條件上(下)尾相關系數(shù)。當τU(τL)大于零且小于等于1時，則說明存在上尾（下尾）相關關系，否則就表示不存在這種相關關系。Joe-Clayton Copula函數(shù)形式為：

上式中 κ=1/log2(2- τU)，γ=-1/log2τL且 τU∈(0,1),τL∈(0,1)。Joe-Clayton Copula不僅能對尾部相關關系進行靜態(tài)描述，也可以對它們的動態(tài)的變化進行刻畫。Patton發(fā)現(xiàn)Joe-Clayton Copula無法度量出上下尾相關系數(shù)相等的情況，提出了SJCCopula。其具體函數(shù)形式可表示為：

Patton在定義Joe-Clayton Copula函數(shù)中的參數(shù)時變性的基礎上，得到了時變條件上下尾相關系數(shù)的表達式。

其中的Λ（·）表示的是logistic轉(zhuǎn)換函數(shù)，其表示形式為Λ(x)=(e-x+1)-1，這一變換有助于保證上下尾相關系數(shù)永遠處于(0,1)范圍內(nèi)。

在對SJC-Copula進行估計時，本文運用基于核密度的極大似然法(MLK)來實現(xiàn)。在運用MLK法進行Copula參數(shù)估計時，需要分兩步進行。

第一步，利用核平滑分布估計函數(shù)將標準殘差xnt轉(zhuǎn)換為均勻變量unt；

其中，hnT為窗寬，kT(·)為核函數(shù)，一般取Gaussian核函數(shù)。

第二步，估計c（·）的待估參數(shù)向量θ：

二、實證研究

（一）實證樣本數(shù)據(jù)選取及其統(tǒng)計特征描述

多成分GARCH模型既用到了低頻數(shù)據(jù)也用到了高頻數(shù)據(jù)，本文低頻數(shù)據(jù)來源于Wind數(shù)據(jù)庫，高頻數(shù)據(jù)來源于銳思高頻數(shù)據(jù)庫，結(jié)合本文的需要對數(shù)據(jù)進行處理，分別計算出每日和每10分的對數(shù)收益率：

Rt，Pt分別表示第t個交易日的收益率和收盤價格；rt,i,Pt,i表示第t個交易日第i個收益率和收盤價格。另外，本文規(guī)定，當i=1時pt,i-1取上一日最后采集的收盤價格。對四個行業(yè)指數(shù)10分鐘高頻數(shù)據(jù)樣本分別進行統(tǒng)計特征分析,發(fā)現(xiàn)呈現(xiàn)出明顯的尖峰厚尾性。同時它們也表現(xiàn)出顯著的左偏特征。四個樣本都顯然不服從正態(tài)分布，而且除地產(chǎn)指數(shù)（DCZS）外，其它三個指數(shù)都不能拒絕存在序列自相關性的假設。

（二）邊緣分布模型的參數(shù)估計及檢驗

通過使用Ljung-Box-Q檢驗和Kolmogorov-Smirnov檢驗變換后的序列，發(fā)現(xiàn)這4個時間序列服從iid(0,1)的均勻分布。這表明，多成分GARCH模型能夠較好地擬合邊緣分布，可以用它進行四個指數(shù)高頻收益率序列的建模。

（三）時變SJC-Copula模型的參數(shù)估計及檢驗

依據(jù)SJC-Copula模型的理論，將得到的概率積分變換后數(shù)據(jù)代入SJC-Copula模型估計參數(shù)，得到靜態(tài)SJC-Copula模型的上下尾相關參數(shù)以及時變SJC-Copula模型（8）和（9）式中參數(shù)，并計算出AIC的值。

（四）上海股市行業(yè)板塊高頻風險傳染實證結(jié)果分析

1.下尾相依性分析。只有在地產(chǎn)指數(shù)與其它行業(yè)指數(shù)之間存在時變的高頻下尾相依性，而在其它指數(shù)之間則不存在時變的下尾相依性。從波動幅度可以看出，地產(chǎn)板塊與商業(yè)板塊之間的下尾相依性波動較大，地產(chǎn)板塊與工業(yè)板塊、公用事業(yè)板塊的下尾相依性波動幅度則較小。

2.上尾相依性分析。只有在地產(chǎn)指數(shù)與其它行業(yè)指數(shù)之間存在時變的高頻上尾相依性，而在其它指數(shù)之間則不存在時變的上尾相依性。從變動幅度可以看出，地產(chǎn)板塊與商業(yè)板塊之間的上尾相依性變動較小，地產(chǎn)板塊與工業(yè)板塊、公用事業(yè)板塊的下尾相依性波動幅度卻較大，這點與下尾相依性表現(xiàn)的正好相反。同時，下尾相依性比上尾相依性更大，而且在表現(xiàn)出時變上下尾相依性特點的地產(chǎn)指數(shù)與其它板塊之間相依性的波動也呈現(xiàn)出明顯的不對稱特點。

本文使用能夠同時描述靜態(tài)和動態(tài)上下尾相依性的SJC-Copula和適用于高頻數(shù)據(jù)的多成分GARCH模型分析了上海股市行業(yè)板塊之間的風險溢出關系。研究發(fā)現(xiàn)工業(yè)指數(shù)、商業(yè)指數(shù)和公用事業(yè)指數(shù)之間有較強的上下尾相依性，且這種相依性呈現(xiàn)出較為恒定的狀態(tài)。但在地產(chǎn)指數(shù)與其它指數(shù)之間，則呈現(xiàn)出相對較弱的時變上下尾相依性。