孫玲玲

【摘 要】主成分分析法與因子分析法都是尋找各變量之間的共性因素的統(tǒng)計(jì)方法。本文通過案例研究，分別用主成分分析法與因子分析法對(duì)案例進(jìn)行分析，得出兩種方法之間具有密切的聯(lián)系。

【關(guān)鍵詞】主成分分析；因子分析；多元統(tǒng)計(jì)方法；公因子

中圖分類號(hào)： G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 2095-2457（2018）21-0226-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.21.104

【Abstract】The principal component analysis and the factor analysis are statistical methods to find the common factors among the variables.In this paper，we study the case by the methods of principal component analysis method and the factor analysis method，and we obtain that there are close relationship between the two methods.

【Key words】Principal component analysis；Factor analysis；Multiple statistical methods；Common factor

0 前言

主成分分析法與因子分析法是醫(yī)學(xué)研究中的常用統(tǒng)計(jì)分析方法，其中王文博[1]探討了多指標(biāo)綜合評(píng)價(jià)中主成分分析與因子分析方法中的比較，龔燕冰[2]研究了因子分析法在臨床中的應(yīng)用，林海明[3]、熊志斌[4]研究了主成分分析法在綜合評(píng)價(jià)中應(yīng)注意的問題。本文主要應(yīng)用兩種分析方法得出兒童心臟生長(zhǎng)發(fā)育的各項(xiàng)指標(biāo)中起主要作用的指標(biāo)。

1 主成分分析法與因子分析法的介紹

主成分分析是運(yùn)用降低原始變量維度的方法，將n個(gè)變量指標(biāo)化為p個(gè)互不相關(guān)的綜合指標(biāo)的統(tǒng)計(jì)方法，其中0

設(shè)有n個(gè)指標(biāo)Y1，Y2，…，Yn欲尋找可以概括這幾個(gè)指標(biāo)的主要信息綜合指標(biāo)W1，W2，…，Wn即尋找一組常數(shù)ki1，ki2，…，kin，i=1，2，…，n使這n個(gè)指標(biāo)的線性組合：

因子分析是在主成分分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行推廣，在（1）式中，找出起主要作用的綜合因子，使得這些因子在每個(gè)原始指標(biāo)上的公共度都達(dá)到較為滿意的水。因子分析法仍需對(duì)各原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化，求出相關(guān)系數(shù)矩陣RX如下：

將相關(guān)矩陣的對(duì)角元換為公因子方差h2i即得約相關(guān)矩陣R*，此時(shí)當(dāng)h2i=1，則Rx=R*，相應(yīng)的解即為主成分解，與主成分分析的結(jié)果完全一致，此時(shí)的主成分即是公因子；若h2i≠1，則相應(yīng)的解為主因子解，此時(shí)需要先估計(jì)的h2i值，一般地，h2i取RX第i行上各相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值的最大值（主對(duì)角元除外），即得約相關(guān)矩陣

進(jìn)一步求出因子載荷陣。

本文以下述案例為主，討論主成分分析法、因子分析法在醫(yī)學(xué)研究中的應(yīng)用。

案例：某研究者在兒童生長(zhǎng)發(fā)育調(diào)查中測(cè)量了許多指標(biāo)，其中關(guān)于心臟的指標(biāo)為心臟橫徑Y(jié)1、心臟縱徑Y(jié)2、心臟寬徑Y(jié)3、胸腔橫徑Y(jié)4和心臟面積Y5，具體數(shù)據(jù)見下表：

2 主成分分析法相關(guān)結(jié)果

由總方差解釋陣可知，只有第一個(gè)特征值為4.229大于1，故保留第一個(gè)特征值，此時(shí)累計(jì)貢獻(xiàn)率為84.573%，接近85%。

此時(shí)主成分的表達(dá)式如下：

由主成分分析對(duì)樣本進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)，相應(yīng)的得分為：

一般地，綜合評(píng)分越高，則表明該樣本的綜合效果越好，例如：原序號(hào)32的綜合評(píng)價(jià)值為3.05，總分最高，即該兒童的心臟發(fā)育總體水平最好；當(dāng)綜合評(píng)價(jià)值為負(fù)數(shù)時(shí)，這不一定說明該兒童心臟不正常，此時(shí)僅表示該兒童的心臟發(fā)育水平與這33名兒童的水平位置關(guān)系，所以出現(xiàn)負(fù)數(shù)是由于將原始指標(biāo)值標(biāo)準(zhǔn)化的緣故。

3 因子分析法相關(guān)結(jié)果

當(dāng)h2i=1時(shí)，Rx=R*，相應(yīng)的解即為主成分解，與主成分分析的結(jié)果完全一致，其中碎石圖如下：

由碎石圖知，在第二個(gè)特征值處發(fā)生轉(zhuǎn)折，之后較為平穩(wěn)，由特征值的選取原理，完全符合理論原則，即只需選擇第一個(gè)特征值。

當(dāng)h2i≠1，則相應(yīng)的解為主因子解，此時(shí)計(jì)算出R*的特征值仍然只有第一個(gè)特征值大于1，故保留該特征值，其貢獻(xiàn)率與主成分分析法一致，接近85%，說明第一主成分概括了原始指標(biāo)值的綜合信息。當(dāng)用因子分析法求得的公因子的專業(yè)意義不清楚時(shí)，可以通過因子旋轉(zhuǎn)的方法來解決，此案例中，因子分析的結(jié)果顯示公因子第一主成分已經(jīng)能夠很好地反映個(gè)指標(biāo)所包含的大部分信息，故無需做因子旋轉(zhuǎn)。

4 結(jié)語(yǔ)

由以上分析可知，因子分析是在主成分分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行推廣，因子分析的解與約相關(guān)矩陣由關(guān)，當(dāng)約相關(guān)矩陣取法不唯一時(shí)，因子分析的解也不唯；當(dāng)約相關(guān)矩陣與相關(guān)矩陣相同時(shí)，因子分析法的解與主成分分析法的解完全一致。兩種方法都能很好地反映各指標(biāo)的綜合信息，是醫(yī)學(xué)研究的重要統(tǒng)計(jì)分析方法。

【參考文獻(xiàn)】

[1]王文博，陳秀芝.多指標(biāo)綜合評(píng)價(jià)中主成分分析和因子分析方法的比較[J].統(tǒng)計(jì)與信息論壇，2006（05）：19-22.

[2]龔燕冰，羅增剛，高思華，倪青，易丹輝，謝雁鳴，王永炎.運(yùn)用因子分析方法探索2型糖尿病證候要素及其靶位特征[J].中醫(yī)雜志，2011，52（13）：1100-110

[3]林海明，杜子芳.主成分分析綜合評(píng)價(jià)應(yīng)該注意的問題[J].統(tǒng)計(jì)研究，2013，30（08）：25-31.

[4]熊志斌.基于非線性主成分分析的信用評(píng)估模型研究[J].數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究，2013，30（10）：138-150.

[5]趙耐青.醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué).第2版.人民衛(wèi)生出版社，2005：423-440.