湖北 朱木清

物理《選修3 - 4》，例析彈簧振子和單擺模型，介紹了簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)規(guī)律表達(dá)式(也叫振動(dòng)方程)。結(jié)合繩波和彈簧波模型，講解了機(jī)械波的形成機(jī)理與過(guò)程：沿著波的傳播方向，介質(zhì)中相鄰質(zhì)點(diǎn)間相互作用，前面的質(zhì)點(diǎn)依次帶動(dòng)后面的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)，后一質(zhì)點(diǎn)總是重復(fù)前一質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)，“滯后”一定的時(shí)間和相位。

一、平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程

設(shè)Ox軸上有一平面簡(jiǎn)諧波傳播，波速為v，已知其中某質(zhì)點(diǎn)(可能是波源，也可能不是，稱(chēng)為始點(diǎn))偏離平衡位置的位移y0與時(shí)間t關(guān)系為

y0=Acosωt

二、波動(dòng)方程在高考中的應(yīng)用

(ⅰ)波速及波的傳播方向；

(ⅱ)質(zhì)點(diǎn)Q的平衡位置的x坐標(biāo)。

甲

乙

【解析】(ⅰ)由圖1甲知波長(zhǎng)λ=36 cm

由圖1乙知周期T=2 s

(ⅱ)P、Q平衡位置間距離不是特殊值，故適用波動(dòng)方程求解。由圖1乙，設(shè)質(zhì)點(diǎn)Q的偏離平衡位置的位移與時(shí)間關(guān)系式為yQ=Asinωt

故yQ=Asinπt

偏離平衡位置的位移與時(shí)間的關(guān)系式分別為

故質(zhì)點(diǎn)Q的平衡位置的x坐標(biāo)xQ=9 cm。

【拓展】如表1，仿照對(duì)質(zhì)點(diǎn)Q的描述，完成質(zhì)點(diǎn)O和P的對(duì)應(yīng)分析。

表1

表2

(ⅰ)簡(jiǎn)諧波的周期、波速和波長(zhǎng)；

(ⅱ)質(zhì)點(diǎn)O的位移隨時(shí)間變化的關(guān)系式。

t=1 s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)A第一次回到平衡位置

得周期T=4 s

波長(zhǎng)λ=vT=30 cm

t=0時(shí)刻波形圖如圖3所示。

圖3

(ⅱ)t=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)O位于y=4 cm處

得振幅A=8 cm

故質(zhì)點(diǎn)O的位移隨時(shí)間變化關(guān)系式為

解法二：(ⅰ)t=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)A位于波峰位置

t=1 s時(shí)，A處質(zhì)點(diǎn)第一次回到平衡位置

t=1 s時(shí)，A第一次到平衡位置

波長(zhǎng)λ=vT=30 cm。

(ⅱ)設(shè)質(zhì)點(diǎn)O的振動(dòng)方程為

y=Asin(ωt+φ0)

又t=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)O的位移為y=4 cm，4=Asin(0+φ0)

得質(zhì)點(diǎn)O的位移隨時(shí)間變化關(guān)系式