陳維龍
高度發(fā)達(dá)的信息技術(shù),一方面在技術(shù)層面推動(dòng)了數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)結(jié)構(gòu)及信息傳遞方式的變革;另一方面在知識(shí)信息加工層面給數(shù)學(xué)教師的教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)實(shí)施提供了新的視角和新的啟發(fā).本文結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容介紹了在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)實(shí)施時(shí)對(duì)認(rèn)知材料進(jìn)行信息化加工的三點(diǎn)體會(huì).
一、充分利用信息技術(shù),增強(qiáng)學(xué)生的空間觀念
空間圖形是三維空間里的圖形,認(rèn)識(shí)空間圖形,研究空間圖形的性質(zhì)和判定,用它的性質(zhì)和判定解決問(wèn)題等均需要學(xué)生有一定的空間觀念,培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念也正是這個(gè)部分教材肩負(fù)的重任.在過(guò)去的教學(xué)中,教師會(huì)帶著自制的教具走進(jìn)課堂,還會(huì)采用讓學(xué)生動(dòng)手折紙、捏橡皮泥等操作來(lái)增強(qiáng)學(xué)生的空間.如今,信息技術(shù)迅猛發(fā)展,為我們短時(shí)間高效達(dá)成教學(xué)目標(biāo)提供了強(qiáng)有力的支撐.直線在平面內(nèi)的射影、二面角、二面角的平面角等都可以通過(guò)多媒體制作的動(dòng)畫讓每個(gè)學(xué)生都不覺(jué)得難以想象.
二、優(yōu)化數(shù)學(xué)知識(shí)信息的呈現(xiàn)時(shí)序,激發(fā)學(xué)生自主意識(shí)
根式概念教學(xué)中嘗試將信息呈現(xiàn)的時(shí)序進(jìn)行合理重排,能取得了令人欣慰的較好效果.
平方根—立方根—二次根式—三次根式—n次根式,這是最經(jīng)典的知識(shí)信息呈現(xiàn)順序.這個(gè)順序與知識(shí)形成的邏輯順序比較接近.理解平方根概念就有了理解立方根概念的基礎(chǔ),在平方根概念基礎(chǔ)上很容易引入二次根式,理解二次根式概念就有了理解三次根式的基礎(chǔ),再由二次根式、三次根式拓展到n次根式,這種順序也符合學(xué)生由簡(jiǎn)到繁、由淺入深的認(rèn)知規(guī)律.不過(guò)這里有個(gè)難點(diǎn)往往容易被忽視,就是n次根式有兩類:一類是偶次根式、另一類是奇次根式.或許有人說(shuō),這不容易嘛:當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)是偶次根式,而當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)是奇次根式.事實(shí)上對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)這可不是容易的事.在初中學(xué)習(xí)二次根式時(shí),學(xué)生接觸到的知識(shí)信息只有二次根式,沒(méi)有三次根式信息的干擾,在九年義務(wù)教育的教材中壓根就沒(méi)有出現(xiàn)三次根式的模樣.學(xué)生沒(méi)有碰到不是二次根式的其他根式的擔(dān)心.現(xiàn)在學(xué)生升入高中階段學(xué)習(xí),他們碰到了.但碰到的是和二次根式一類的偶次根式、還是和三次根式同類的奇次根式,他們搞不清楚.還有,二次根式與三次根式區(qū)別在哪里?學(xué)生恐怕還一無(wú)所知.如果學(xué)生們連二次根式與三次根式的區(qū)別在哪里都不知道的話,那么偶次根式與奇次根式的區(qū)別在哪里他們更不清楚了.這么分析下來(lái),我們應(yīng)該首先設(shè)法讓學(xué)生弄清平方根與立方根區(qū)別,其次應(yīng)該讓學(xué)生弄清二次根式與三次根式的區(qū)別,接下來(lái)還要讓學(xué)生學(xué)會(huì)識(shí)別偶次根式與奇次根式并聯(lián)想歸類于二次根式與三次根式.按這樣的知識(shí)信息順序展開(kāi)我們的教學(xué),達(dá)成教學(xué)目標(biāo)的周期一定會(huì)大大超出課程教學(xué)計(jì)劃的安排要求,這樣時(shí)間的使用效率達(dá)于低下,浪費(fèi)了學(xué)生寶貴的青春年華.
二次根式(平方根)—三次根式(立方根)—n次根式,這樣的知識(shí)信息呈現(xiàn)順序既不違背知識(shí)形成的邏輯順序,又貼近學(xué)生認(rèn)知生態(tài),還能提高時(shí)間的使用效率.
在學(xué)習(xí)的初始階段,我們可以讓學(xué)生回憶二次根式的概念,并通過(guò)下面的問(wèn)題來(lái)加深對(duì)二次根式概念的理解:
下列各式是否二次根式?為什么?
(1)3;(2)-5;(3)x.
學(xué)生能憑借初中所學(xué)回答出“形如a(a≥0)的式子叫二次根式”,這對(duì)我們的學(xué)生來(lái)說(shuō)不是難事.不過(guò)一定有不少學(xué)生不會(huì)在意“a≥0”這個(gè)附加的條件,而這個(gè)條件是絕對(duì)不能忽視的,怎么強(qiáng)化?我們可以追問(wèn)“a中a的取值有什么限制?”.在學(xué)生通過(guò)討論得出正確結(jié)論后再進(jìn)行上述問(wèn)題的研討.不過(guò)這樣問(wèn)就過(guò)于簡(jiǎn)單生硬,對(duì)于基礎(chǔ)不扎實(shí)或者初中數(shù)學(xué)知識(shí)有所遺忘的學(xué)生來(lái)說(shuō),這樣會(huì)讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)是懸在半空中的,使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)望而生畏,怎能激發(fā)他們自發(fā)探尋知識(shí)的欲望!實(shí)踐證明,在學(xué)生正確地答出“形如a(a≥0)的式子叫二次根式”后就可以組織學(xué)生開(kāi)始上述問(wèn)題的研究.因?yàn)閷W(xué)生在思考問(wèn)題中“為什么?”時(shí)自然會(huì)回憶平方根概念,從而自發(fā)地探尋、討論并理解“a≥0”的必要性.在此基礎(chǔ)上,我們可以把二次根式的定義改為“如果a有意義,那么式子a叫二次根式”.為下一步的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備.
在學(xué)習(xí)的中期,要進(jìn)行“三次根式(立方根)”的教學(xué).我們可以通過(guò)讓學(xué)生討論下面的問(wèn)題來(lái)進(jìn)行:
(1)二次根式a的“二次”在式子a中怎么沒(méi)有看到呢?
(2)受問(wèn)題(1)的答案啟發(fā),請(qǐng)說(shuō)出什么叫三次根式.
對(duì)于問(wèn)題(2),我們的學(xué)生一定能不假思索地給出答案.只不過(guò)可能有人會(huì)選擇“形如3a的式子叫三次根式”作為答案;也可能有人會(huì)選擇“如果3a有意義,那么式子3a叫三次根式”作為答案.作為教師,我們可不能覺(jué)得學(xué)生們已經(jīng)理解了三次根式的概念,我們還得通過(guò)下面的問(wèn)題診斷下:
(1)在“形如3a的式子叫三次根式”中,為什么不像二次根式定義里那樣加上“a≥0”這么個(gè)附加條件?
(2)如果3a有意義,那么式子3a叫三次根式.難道3a會(huì)無(wú)意義嗎?
上面這兩個(gè)用于判斷的問(wèn)題可以促進(jìn)學(xué)生聯(lián)系立方根概念及其與平方根的區(qū)別來(lái)生成三次根式的正確概念,為下一步的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備.
在學(xué)生掌握了二次根式、三次根式概念后引入n次根式應(yīng)該是水到渠成了.再配上下列問(wèn)題讓學(xué)生思考解答,就能成功突破掌握n次根式概念的難點(diǎn):
(1)下列各式是否根式?若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由;若是,請(qǐng)指出其根指數(shù)、被開(kāi)方數(shù).
13;3-2.7;4-5;5x;8a.
(2)求值:
(-1.4)2;
3-233;
4(-7)4;
5(a-b)5(a>b);
6(3-π)6.
按照“二次根式(平方根)—三次根式(立方根)—n次根式”這樣的順序呈現(xiàn)知識(shí)信息、展開(kāi)教學(xué),把平方根、立方根概念的教學(xué)過(guò)程節(jié)約式嵌入到“二次根式—三次根式—n次根式”這條教學(xué)主線中,既不沖淡教學(xué)主線、淹沒(méi)教學(xué)主題,又能發(fā)揮學(xué)生主體作用—自發(fā)地進(jìn)行知識(shí)的檢索、探尋、討論、整理,讓學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣,在很短的時(shí)間內(nèi)突破難點(diǎn)、掌握根式概念.
以上是在數(shù)學(xué)概念教學(xué)的實(shí)踐中摸索出的數(shù)學(xué)知識(shí)信息呈現(xiàn)時(shí)序的處理技巧,在其他數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)中我們依然可以運(yùn)用這里說(shuō)到的信息處理技巧來(lái)優(yōu)化我們的數(shù)學(xué)知識(shí)信息呈現(xiàn)的時(shí)序,培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)意識(shí)和自主學(xué)習(xí)能力,從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).比如學(xué)生學(xué)習(xí)“向量的坐標(biāo)運(yùn)算”前要學(xué)習(xí)“基底向量和用基底向量表示向量”,而在學(xué)習(xí)“基底向量和用基底向量表示向量”之前要學(xué)習(xí)“向量的坐標(biāo)”,所以“向量的坐標(biāo)—基底向量和用基底向量表示向量—向量的坐標(biāo)運(yùn)算”是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的知識(shí)信息展開(kāi)時(shí)序.采用前面總結(jié)的信息處理技巧,我們可以把“基底向量和用基底向量表示向量”節(jié)約式嵌入“向量的坐標(biāo)運(yùn)算”的教學(xué)過(guò)程中.
三、對(duì)認(rèn)知材料進(jìn)行信息化加工,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)
(一)認(rèn)知材料的視覺(jué)信息加工
曾經(jīng)聽(tīng)過(guò)一位教師的冪函數(shù)概念課,他將認(rèn)知材料“y=x,y=x2,y=x12,y=x-1”中的“y=x”用紅色標(biāo)出,將指數(shù)“2,12,-1”用深藍(lán)色標(biāo)出,在PPT中利用動(dòng)畫分別對(duì)這兩部分進(jìn)行閃爍、移動(dòng)等強(qiáng)化,學(xué)生們一下就看出這組式子的異同,從而得出“形如y=xα(α≠0)的函數(shù)叫作冪函數(shù)”.
冪函數(shù)的本質(zhì)特征作為信息隱藏在這組認(rèn)知材料之中,把冪函數(shù)的本質(zhì)特征處理成更易引起視覺(jué)反映的信息,新奇的視覺(jué)信息會(huì)激發(fā)學(xué)生興趣并在大腦皮層形成相應(yīng)的神經(jīng)連接,這樣學(xué)生就能輕松地形成冪函數(shù)概念.
把認(rèn)知材料中形式相同、相異之處進(jìn)行信息化處理,對(duì)學(xué)生的視覺(jué)產(chǎn)生強(qiáng)烈的刺激,學(xué)生很容易自己發(fā)現(xiàn)所要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的形式特點(diǎn),從而形成初步但深刻的印象.這位教師的成功之處也正在于此.同樣的方法還可以用于指數(shù)函數(shù)概念教學(xué)、正弦型函數(shù)概念教學(xué)等.
(二)認(rèn)知材料的聽(tīng)覺(jué)信息加工
數(shù)學(xué)知識(shí)的符號(hào)化程度很高,特別是認(rèn)知成果的符號(hào)化.認(rèn)知成果的符號(hào)化表達(dá)是文字表達(dá)的升華,是思維層次的飛躍,總之符號(hào)化的優(yōu)點(diǎn)很多.但認(rèn)知成果的符號(hào)化表達(dá)是建立在學(xué)生對(duì)認(rèn)知成果的理解基礎(chǔ)上的,如果教師發(fā)現(xiàn)我們的學(xué)生對(duì)認(rèn)知成果理解不夠深刻,我們?nèi)绾窝a(bǔ)救呢?這里我們介紹一個(gè)方法,就是把符號(hào)化的材料口語(yǔ)化,實(shí)踐證明這樣可以增強(qiáng)學(xué)生的理解和記憶.
虛數(shù)單位i有這樣的性質(zhì):i4n=1;i4n+1=i;i4n+2=-1;i4n+3=-i.
對(duì)于一些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生來(lái)講,要記住它就得費(fèi)一番腦筋,落實(shí)到具體問(wèn)題中應(yīng)用它更非易事.可是課堂教學(xué)的進(jìn)程已經(jīng)到了記住并應(yīng)用它了,教師又不能折返回去,再組織材料讓學(xué)生重新“發(fā)現(xiàn)”一次吧,一堂課的時(shí)間就那么長(zhǎng),這樣做對(duì)接受知識(shí)比較快的孩子也不公平呀.這時(shí)教師可以把它翻譯成通俗的口頭語(yǔ)言:4n是能被4整除的數(shù),4n+1是被4除余1的數(shù),4n+2是被4除余2的數(shù),4n+3是被4除余3的數(shù).把符號(hào)語(yǔ)言翻譯成這些通俗的口頭語(yǔ)言,學(xué)生聽(tīng)到耳朵中、記在心底里,加深了對(duì)符號(hào)的理解、記憶,用它來(lái)求諸如i2007一類值時(shí)也更方便.
在符號(hào)化程度較高的視覺(jué)材料不好掌握的情況下,可以把它轉(zhuǎn)化為通俗的聽(tīng)覺(jué)材料,這種信息化處理有助于提高學(xué)生思維水平和應(yīng)用能力.數(shù)學(xué)教材中適用這一教學(xué)模式的地方還是很多的,如正弦型函數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的概念、余弦定理、正弦定理等等.
(三)認(rèn)知材料的視、聽(tīng)覺(jué)信息加工
學(xué)完指數(shù)函數(shù)性質(zhì)后教師們常常用下面的思考題促使學(xué)生加深對(duì)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的理解:
利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),比較1.935與1.958的大小.
引發(fā)學(xué)生想到用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的因素是多方面的.單從數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)材料信息化角度來(lái)看,讓學(xué)生想到指數(shù)函數(shù)的前提是從這個(gè)問(wèn)題的式子里提取指數(shù)函數(shù)定義中所包含的兩個(gè)重要的信息:① 底數(shù)是常量、② 指數(shù)和冪是變量.怎樣能讓大多數(shù)(而不是少數(shù))學(xué)生迅速?gòu)摹?.935與1.958”中提取出信息①、②呢?我們可以這樣做,在PPT中出現(xiàn)兩個(gè)1.9的同時(shí)教師用口頭語(yǔ)言強(qiáng)調(diào):冪的底數(shù)同樣是1.9,接著,在PPT中出現(xiàn)35和58前教師用口頭語(yǔ)言強(qiáng)調(diào):可是冪的指數(shù)不同,分別是35和58.用PPT展示1.9、35和58,這是用視覺(jué)信息呈現(xiàn)認(rèn)知材料,用口頭語(yǔ)言旁白“冪的底數(shù)同樣是1.9”和“冪的指數(shù)不同,分別是35和58”,這是用聽(tīng)覺(jué)信息呈現(xiàn)認(rèn)知材料.這里,我們把認(rèn)知材料包含的目標(biāo)信息用視、聽(tīng)覺(jué)信息分步或同步展現(xiàn)的模式,大多數(shù)學(xué)生都會(huì)迅速?gòu)摹?.935與1.958”中提取出信息①、②,從而聯(lián)想到指數(shù)函數(shù),用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)解決此問(wèn)題.
把認(rèn)知材料一下子呈現(xiàn)在學(xué)生面前讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn),這種做法對(duì)大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)效果不好.如果我們把認(rèn)知材料中的目標(biāo)信息分別以視覺(jué)信息方式、聽(tīng)覺(jué)信息方式分步或同步呈現(xiàn)給我們的學(xué)生,這更有助于學(xué)生攝取“目標(biāo)信息”,從而想到相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí),并用其來(lái)解決問(wèn)題.利用冪函數(shù)性質(zhì)、對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)、三角函數(shù)性質(zhì)解決問(wèn)題的教學(xué)過(guò)程等,均適合這種模式.