李生波

【摘要】在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，直線與圓的兩解問題是一種重要類型題.本文將結(jié)合筆者自身的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，探討直線和圓問題的一般解法，著重分析直線和圓的兩解問題，結(jié)合幾道例題，對(duì)其求解過程進(jìn)行具體研究.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；直線和圓；兩解問題

直線和圓的兩解問題是高中數(shù)學(xué)中的一類重要問題，也是我們?cè)诳荚囍腥菀壮霈F(xiàn)錯(cuò)誤的題目.在解答直線和圓的兩解問題時(shí)，要注意答題方法和答題策略的選擇，在解題過程中進(jìn)行全方位的思考，并對(duì)解題過程進(jìn)行檢查，從而減少失誤.針對(duì)直線和圓兩解問題的重要性，有必要在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中提高重視，注意總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)解題準(zhǔn)確率的逐步提高.

一、高中數(shù)學(xué)中直線和圓問題的一般解法

直線和圓是高中解析幾何的重點(diǎn)知識(shí)內(nèi)容，以客觀題的形式出現(xiàn)較多，需要我們?cè)谡莆栈A(chǔ)知識(shí)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，靈活運(yùn)用各種解題思維和解題方法，從而快速、準(zhǔn)確地得出正確答案.在求解直線和圓的問題時(shí)，應(yīng)用的基本概念公式主要包括直線斜率、直線點(diǎn)斜式方程、直線位置關(guān)系、圓的方程以及直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系等.在牢固掌握這些基本概念性質(zhì)的同時(shí)，還要掌握利用直線和圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行求解的方法，此外代數(shù)思想、分類討論思想和構(gòu)造法等，也在直線和圓的問題求解過程中有重要應(yīng)用.下面以一道例題為例，對(duì)直線和圓問題的一般解法進(jìn)行具體說明.

例1 已知圓C的方程為（x-3）2+（y-5）2=5，過圓心C作直線l與圓C相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸相交于點(diǎn)P.如果點(diǎn)A是線段BP的中點(diǎn)，求解直線l的方程.

在求解過程中，分別設(shè)點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，即A（x1，y1），B（x2，y2），根據(jù)題意，A為PB中點(diǎn)，則x2=2x1，設(shè)直線方程為y-5=k（x-3），令x=0，可以得到y(tǒng)=5-3k，即P（0，5-3k），與圓的方程聯(lián)立，消y后可以得到（1+k2）x2-6（1+k2）x+9k2+4=0.根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，有x1+x2=6，x1x2=9k2+41+k2，由此可以求解出x1=2，x2=4，x1x2=8，因此k=±2，直線l的方程為y=2x-1或y=-2x+11.

二、高中數(shù)學(xué)中直線與圓的兩解問題分析

（一）利用直線性質(zhì)進(jìn)行求解

高中數(shù)學(xué)中的直線和圓是幾何知識(shí)中的重要組成部分，包含大量的概念、性質(zhì)，對(duì)其基本性質(zhì)的應(yīng)用，往往是求解問題的關(guān)鍵.因此，我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)深入理解直線和圓的性質(zhì)的推導(dǎo)過程，對(duì)其進(jìn)行深刻記憶，避免在做題過程中，出現(xiàn)概念混淆，或性質(zhì)條件考慮不周的情況.下面以一道例題為例，對(duì)直線性質(zhì)的應(yīng)用進(jìn)行說明.

例2 求解過點(diǎn)（-2，2），在x軸上截距是y軸上截距2倍的直線方程.

在求解該題時(shí)，首先要明確一點(diǎn)，0是0的任意倍，如果忽略這種情況，就會(huì)導(dǎo)致漏解.

在求解過程中，分別設(shè)直線在x軸、y軸上的截距為a和b，根據(jù)題意有a=2b，然后對(duì)其進(jìn)行分類討論.在a=2b=0的情況下，設(shè)直線方程為y=kx，將點(diǎn)（-2，2）代入后可以得出k=-1，直線方程為y=-x.另一種情況為a=2b≠0，設(shè)直線方程為xa+yb=1，將點(diǎn)（-2，2）代入后可以得到a=2，b=1，因此直線方程為x+2y-2=0，因此此題有兩解，即直線方程為y=-x或x+2y-2=0.

如果沒有考慮a=2b=0的情況，則會(huì)出現(xiàn)漏解，因此，在做題過程中，應(yīng)對(duì)此類題目加以重視，在應(yīng)用直線性質(zhì)定理的同時(shí)進(jìn)行全方面考慮，避免出現(xiàn)錯(cuò)誤.

（二）利用圓的性質(zhì)進(jìn)行求解

利用圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行求解道理類似，應(yīng)對(duì)一些問題進(jìn)行分類討論，下面以一道例題為例進(jìn)行說明.

例3 直線l經(jīng)過點(diǎn)（-4，0），且與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=8.已知圓C的方程為（x+1）2+（y-2）2=25，求解直線l的方程.

在求解此題時(shí)需要注意的問題是應(yīng)對(duì)直線斜率是否存在進(jìn)行探討，然后再利用圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行求解.若直線l斜率存在，可以解出方程為5x+12y+20=0，若直線斜率不存在，則方程為x+4=0.

（三）利用構(gòu)造法求解

構(gòu)造法是求解直線和圓兩解問題的重要方法，可以使一些看似復(fù)雜的問題得到簡(jiǎn)化，并利用相關(guān)的概念性質(zhì)，快速解出答案.以一道例題為例，對(duì)構(gòu)造法的應(yīng)用進(jìn)行具體說明.

例4 圓O的方程為x2+y2=1，過點(diǎn)P（2，0）分別作圓O的兩條切線，與圓O相切于A，B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)|AB|.

利用構(gòu)造法求解此題，構(gòu)造一個(gè)以O(shè)P為直徑的圓方程，與圓O相減，即可得到公共弦方程，進(jìn)而利用勾股定理求出弦長(zhǎng).構(gòu)造的圓方程為（x-1）2+y2=1，最后結(jié)果為3.

三、結(jié)束語

綜上所述，直線和圓的兩解問題是高中數(shù)學(xué)中的易錯(cuò)題目，在牢固掌握基本概念定理的基礎(chǔ)上，靈活運(yùn)用各種解題方法，可以幫助我們提高做題準(zhǔn)確率，避免出現(xiàn)丟解、漏解的情況.通過對(duì)直線和圓兩解問題求解方法的分析，可以總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)，幫助我們提高解題能力.

【參考文獻(xiàn)】

[1]林奇.高中數(shù)學(xué)中有關(guān)直線和圓的兩解問題[J].新課程，2012（12）：102.