毛大平

（浙江省杭州市富陽(yáng)區(qū)永興中學(xué)）

一、試題呈現(xiàn)與分析

題目（2017年浙江·杭州卷）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)y1=(x+a)(x-a-1)，其中

（1）若函數(shù)y1的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1，-2)，求函數(shù)y1的表達(dá)式；

（2）若一次函數(shù)y2=ax+b的圖象與y1的圖象經(jīng)過x軸上同一點(diǎn)，探究實(shí)數(shù)a，b滿足的關(guān)系式；

（3)已知點(diǎn)P(x0，m)和Q(1，n)在函數(shù)y1的圖象上，若m

此題考查了含參數(shù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，其中第（1）小題主要考查學(xué)生求解二次函數(shù)解析式的方法，同時(shí)蘊(yùn)涵整體思想；第（2）小題主要考查函數(shù)圖象與函數(shù)解析式之間的數(shù)形轉(zhuǎn)化，交點(diǎn)坐標(biāo)與方程組解之間的數(shù)形轉(zhuǎn)化；第（3）小題主要考查二次函數(shù)背景下求解函數(shù)增、減性問題的方法.整道試題的求解關(guān)鍵是在數(shù)形結(jié)合思想下，理解在參數(shù)a的變化過程中對(duì)稱軸直線是不變的.

二、妙解賞析

1.第（1）小題的解法與評(píng)析

解法1：由題意，得(1+a)(1-a-1)=-2，

即a(a+1)=2.

因?yàn)閥1=x2-x-a(a+1)，

所以y1=x2-x-2.

【評(píng)析】若學(xué)生發(fā)現(xiàn)a(a+1)=2是一個(gè)整體，代入y1=x2-x-a(a+1)后可快速求解.

解法2：由題意，得(1+a)(1-a-1)=-2，

即a2+a-2=0.

解得a1=-2，a2=1.

所以y1=(x-2)(x+1)=x2-x-2.

【評(píng)析】若學(xué)生沒有發(fā)現(xiàn)a(a+1)=2是一個(gè)整體，通過解一元二次方程a2+a-2=0，將a的兩個(gè)解代入y1后會(huì)驚喜的發(fā)現(xiàn)是同一個(gè)結(jié)果，和方法1有異曲同工之妙.

解法3：由題意，得函數(shù)y1的對(duì)稱軸為直線.

因?yàn)楹瘮?shù)y1過點(diǎn)(1，-2)，

所以函數(shù)y1也過點(diǎn)(0，-2).

所以y1=x(x-1)-2=x2-x-2.

【評(píng)析】由y1=(x+a)(x-a-1)可得其與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-a，0)，(a+1，0)，則二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線.(1，-2)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是(0，-2)，可以快速求得解析式為y1=x(x-1)-2=x2-x-2.

解法4：由題意，可得函數(shù)y1的對(duì)稱軸為直線.

2.第（2）小題的解法與評(píng)析

解法1：由題意可知，函數(shù)y1的圖象與x軸交于點(diǎn)(-a，0)和(a+1，0).

當(dāng)y2的圖象過點(diǎn)(-a，0)時(shí)，得a2-b=0；

當(dāng)y2的圖象過點(diǎn)(a+1，0)時(shí)，得a2+a+b=0.

【評(píng)析】因?yàn)閥2與y1經(jīng)過x軸上同一點(diǎn)，先求出函數(shù)y1的圖象與x軸交于點(diǎn)(-a，0)和(a+1，0)，將這兩個(gè)點(diǎn)分別代入y2就可以得到a，b的兩個(gè)關(guān)系式.

解法2：因?yàn)椋?/p>

所以y2=ax+b的圖象與x軸的交點(diǎn)是.

因?yàn)閥1的圖象過點(diǎn)

【評(píng)析】因?yàn)楹瘮?shù)y2與y1的圖象經(jīng)過x軸上同一點(diǎn)，先求出函數(shù)y2=ax+b的圖象與x軸的交點(diǎn)是，將其代入y就可以得到a，b的兩個(gè)關(guān)系式.1

解法3：因?yàn)閥1與y2的圖象經(jīng)過x軸上同一點(diǎn)，

設(shè)y1與y2的圖象都經(jīng)過點(diǎn)(m，0)，

【評(píng)析】抓住y1，y2圖象經(jīng)過x軸上一點(diǎn)，則可以設(shè)這個(gè)點(diǎn)為(m，0)，將其代入兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式可以得到關(guān)于m的含參數(shù)方程組，通過消元可以得到方法2中的算式.

3.第（3）小題的解法與評(píng)析

解法1：由題意知，函數(shù)y1的對(duì)稱軸為直線.

所以點(diǎn)Q(1，n)與點(diǎn)(0，n)關(guān)于直線對(duì)稱.

因?yàn)楹瘮?shù)y1的圖象開口向上，

當(dāng)m

所以0

【評(píng)析】學(xué)生在解答時(shí)利用二次函數(shù)圖象的軸對(duì)稱性和增減性，借助數(shù)形結(jié)合，可以快速得出答案.

解法2：由題意，可得x0-a(a+1)，n=(1+a)(1-a-1)=-a(a+1).

因?yàn)閙

解得0

【評(píng)析】抓住m

解法3：由題意知，函數(shù)的對(duì)稱軸為直線.

因?yàn)閽佄锞€開口向上，

所以離對(duì)稱軸越近，函數(shù)值越小.

因?yàn)辄c(diǎn)P(x0，m)和Q(1，n)在函數(shù)y1上，且m

所以0

【評(píng)析】因?yàn)槎魏瘮?shù)y1=(x+a)(x-a-1)的圖象開口向上，當(dāng)圖象上的點(diǎn)與對(duì)稱軸距離越近，則函數(shù)值越小，所以當(dāng)m

三、教學(xué)導(dǎo)向分析

1.函數(shù)教學(xué)中重視概念和性質(zhì)的理解

這道中考試題考查了眾多關(guān)于函數(shù)概念和性質(zhì)的知識(shí).例如，知識(shí)點(diǎn)1：在引進(jìn)參數(shù)a后對(duì)變量的識(shí)別；知識(shí)點(diǎn)2：根據(jù)題目條件靈活求解二次函數(shù)解析式；知識(shí)點(diǎn)3：函數(shù)解析式和函數(shù)圖象之間的相互轉(zhuǎn)化；知識(shí)點(diǎn)4：利用二次函數(shù)的增、減性解決問題.

若要較好地掌握函數(shù)概念和性質(zhì)，靈活地解決這道中考試題，教師在函數(shù)概念教學(xué)中需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)多個(gè)真實(shí)的生活情境，讓學(xué)生感受“在一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x和y，當(dāng)x確定時(shí)，y也唯一確定，我們就說y是x的函數(shù)”，這樣學(xué)生就能比較好的理解和分清知識(shí)點(diǎn)1中的參量和變量.

在二次函數(shù)三種解析式的學(xué)習(xí)過程中，教師需要和學(xué)生一起理清對(duì)二次函數(shù)一般式的約定和將二次函數(shù)一般式進(jìn)行因式分解得到二次函數(shù)交點(diǎn)式，以及將二次函數(shù)進(jìn)行配方得到頂點(diǎn)式的演變過程，這樣學(xué)生才會(huì)清楚地理解每種解析式的特點(diǎn)，達(dá)到知識(shí)點(diǎn)2中靈活求解二次函數(shù)解析式的目的.

學(xué)生在八年級(jí)上學(xué)期學(xué)習(xí)的第一個(gè)具體函數(shù)是一次函數(shù)，在學(xué)習(xí)從解析式法到圖象法解決一次函數(shù)問題的過程中，教師若能和學(xué)生一起借助幾何畫板軟件，通過對(duì)滿足解析式的點(diǎn)進(jìn)行追蹤，觀察它的運(yùn)動(dòng)軌跡，體會(huì)函數(shù)的完備性（坐標(biāo)滿足函數(shù)表達(dá)式的點(diǎn)在函數(shù)圖象上）和純粹性（圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)表達(dá)式），則能比較好的理解知識(shí)點(diǎn)3，實(shí)現(xiàn)題目條件從“形”向“數(shù)”的轉(zhuǎn)化.

在學(xué)習(xí)二次函數(shù)的增減性后，教師可以從特殊點(diǎn)函數(shù)值的大小比較入手，得出二次函數(shù)中函數(shù)值大小比較的四種常用方法，即代入法、圖象法、距離法、作差法，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行條件變換，將具體的點(diǎn)的橫坐標(biāo)變成一個(gè)范圍，再比較函數(shù)值的大小，發(fā)現(xiàn)用到的是同樣的方法，這樣就能真正解決知識(shí)點(diǎn)4的問題.

教師只有重視對(duì)函數(shù)的概念和性質(zhì)的教學(xué)，才能讓學(xué)生很好地理解函數(shù)的本質(zhì)，而不是一味用解析式法去求解函數(shù)問題，而偏廢了對(duì)函數(shù)內(nèi)容的教與學(xué).

2.課堂教學(xué)中重視讓學(xué)生建立知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要重視知識(shí)之間的聯(lián)系，并且通過教學(xué)讓學(xué)生建立起知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性，使學(xué)生在回答問題時(shí)能找到越來越多與解題相關(guān)的特征，將多個(gè)零散的知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來，形成完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)來回答或解決較為復(fù)雜的問題，并在此基礎(chǔ)上提出更多問題，學(xué)習(xí)更多的抽象知識(shí).

此題中y1=(x+a)(x-a-1)是一個(gè)含參二次函數(shù)，它代表一簇二次函數(shù)，每取一個(gè)a，就有一個(gè)特殊的二次函數(shù)，但是這一簇二次函數(shù)中蘊(yùn)含著不變的量，那就是對(duì)稱軸都是直線.教師在教學(xué)過程中需要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并得出在變化過程中不變的量，這樣，對(duì)第（1）小題，學(xué)生就容易想到運(yùn)用解法3的兩根式和解法4的頂點(diǎn)式求解析式，這也是第（3）小題中解法1和解法3解決問題的關(guān)鍵.在第（2）小題的解題過程中，三種解法都需要將二次函數(shù)由“形”向“數(shù)”進(jìn)行轉(zhuǎn)化，這需要學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)圖象的過程中建立起函數(shù)解析式法和圖象法的關(guān)聯(lián)，利用數(shù)形結(jié)合理解好函數(shù)的完備性和純粹性.在第（3）小題的解題過程中，學(xué)生需要將二次函數(shù)的增減性和函數(shù)值的大小比較聯(lián)系起來，將比較大小的四種方法相互聯(lián)系起來，將已知自變量的取值范圍求函數(shù)值的大小和已知函數(shù)值求自變量取值范圍的這種互逆求法聯(lián)系起來.這樣的學(xué)習(xí)才是基于理解的學(xué)習(xí)，能夠促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，提高學(xué)生解決問題的能力.

3.問題解決過程中用一題多解提升數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)水平

一題多解就是通過不同的解題方法、運(yùn)算規(guī)律和思維方式解答同一道題目.在對(duì)第（1）小題一題多解的過程中，可以加深學(xué)生對(duì)二次函數(shù)一般式、交點(diǎn)式和頂點(diǎn)式“是什么”和“為什么”的理解.“是什么”包括對(duì)各種二次函數(shù)解析式知識(shí)意義的理解，能從不同角度去認(rèn)識(shí)知識(shí)的性質(zhì)，知識(shí)的類屬，以及知識(shí)的背景；“為什么”是對(duì)知識(shí)之間邏輯關(guān)系的理解，即各種二次函數(shù)解析式之間的聯(lián)系和因果關(guān)系.只有通過對(duì)不同解法的思考，才能達(dá)到對(duì)知識(shí)之間邏輯關(guān)系的理解，加強(qiáng)學(xué)生知識(shí)遷移的能力，有助于學(xué)生把理解的知識(shí)、形成的基本技能遷移到新的情境中去，促進(jìn)新知識(shí)的學(xué)習(xí)或解決不同情境中的問題.同時(shí)，一題多解的訓(xùn)練還可以提升學(xué)生知識(shí)遷移的能力，學(xué)生利用一題多解過程中積累的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，能夠?qū)栴}進(jìn)行變式，從而得到一些新的問題和結(jié)論.例如，通過第（2）小題一題多解的訓(xùn)練，可以提出如下的變式題：兩個(gè)一元二次方程x2+kx-1=0與x2+x+k-2=0有且僅有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，求k的值.此外，還可能實(shí)現(xiàn)方法的突破，用不同的方法解決一些常規(guī)的問題，形成數(shù)學(xué)學(xué)科思維.例如，通過對(duì)第（3）小題一題多解的訓(xùn)練，學(xué)生可以積累起用特殊值法、圖象法、作差法、距離法這四種方法求解二次函數(shù)背景下函數(shù)值大小比較問題的經(jīng)驗(yàn)，這樣學(xué)生就會(huì)很容易發(fā)現(xiàn)，若將第（3）小題的條件和結(jié)論互換，變成“在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)y1=(x+a)(x-a-1)，其中a≠0.已知點(diǎn)P(x0，m)和Q(1，n)在函數(shù)y1的圖象上，若0