向 雋

（湖北省秭歸縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)）

在各版本初中數(shù)學(xué)教材中，都編入了平移、旋轉(zhuǎn)這一內(nèi)容.對(duì)于這部分內(nèi)容，教學(xué)時(shí)從哪里著力，才能引領(lǐng)學(xué)生更好地、整體地洞察圖形結(jié)構(gòu)并推理圖形中相關(guān)的位置與數(shù)量關(guān)系？

筆者認(rèn)為，針對(duì)平移、旋轉(zhuǎn)內(nèi)容的教學(xué)，一是從數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的角度用力，欣賞平移和旋轉(zhuǎn)帶給世界的美的同時(shí)，落實(shí)平移和旋轉(zhuǎn)這一核心知識(shí)點(diǎn)；二是從解題策略的角度用力，滲透把平移、旋轉(zhuǎn)作為推理論證的依據(jù)，提升學(xué)生的思維能力.

本文僅從數(shù)學(xué)解題的角度，以例題呈現(xiàn)的形式，探討在解題教學(xué)中，如何指導(dǎo)學(xué)生用平移、旋轉(zhuǎn)的知識(shí)和思路，優(yōu)化解答策略.

一、借用平移旋轉(zhuǎn)求坐標(biāo)，落實(shí)核心知識(shí)點(diǎn)

例1如圖1，將△ABC繞點(diǎn)C(2，-3) 旋轉(zhuǎn)180°得△DCE，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(m，n)，求點(diǎn)D的坐標(biāo).

圖1

圖2

解析：如圖2，將線段A D向上平移，使點(diǎn)C經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，根據(jù)點(diǎn)C與點(diǎn)O的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)平移規(guī)律，從而得到點(diǎn)A平移后的坐標(biāo)為M(m-2，n+3).點(diǎn)D平移后到達(dá)點(diǎn)N的位置，M與N關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，從而得點(diǎn)N的坐標(biāo)為N(2 -m，-n-3).再將點(diǎn)N向下平移3個(gè)單位，向右平移2個(gè)單位即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)為D(4 -m，-n-6).

圖2的解法為將點(diǎn)A向左上平移，根據(jù)點(diǎn)C的平移規(guī)律，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再將點(diǎn)N向右下平移，退回到原來(lái)的位置，從而求出點(diǎn)D的坐標(biāo).

此題也可以按圖3所示的方法進(jìn)行解答，即過(guò)相關(guān)的點(diǎn)作x軸或者y軸的平行線，構(gòu)造直角三角形，利用全等及相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題.

圖3

對(duì)比兩種解法，圖2是依據(jù)題目條件，直接借助點(diǎn)的坐標(biāo)平移規(guī)律，一移一退，直取目標(biāo)；圖3是回溯三角形全等及坐標(biāo)的幾何意義這一知識(shí)元.顯然圖2中著眼于點(diǎn)的平移特征及點(diǎn)的坐標(biāo)平移的數(shù)量關(guān)系，平移線段AD，巧用原點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)找規(guī)律，圖形簡(jiǎn)潔明了，計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單，結(jié)果一目了然.

例2如圖4，點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(-2，-3)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(m，n)，將AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得AB，求點(diǎn)B的坐標(biāo).

圖4

圖5

解析：如圖5，將線段AC向右平移2個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位，使平移后的點(diǎn)A剛好經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，此時(shí)點(diǎn)C平移到點(diǎn)E的位置，得到點(diǎn)E的坐標(biāo)為E(m+2，n+3).根據(jù)△OEF≌△DOG可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為D(-n-3，m+2).再將線段OD退回到線段AB的位置，從而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-n-3-2，m+2-3)，整理得B(-n-5，m-1).

此題可以用兩種方法求解，一是如圖5，通過(guò)平移線段的方法，將點(diǎn)A平移到原點(diǎn)的位置，找出平移的規(guī)律，求出線段上另一個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)，利用全等相關(guān)知識(shí)，求出平移后旋轉(zhuǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)，再將點(diǎn)D退回到原來(lái)的位置，得到要求的點(diǎn)B的坐標(biāo).二是如圖6，過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線，分別與過(guò)點(diǎn)B，C作y軸的平行線相交于點(diǎn)D，點(diǎn)E，則有△ADB≌△CEA，根據(jù)線段AE=m+2，CE=n+3，得到線段AD=n+3，BD=m+2，從而求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為B(-n-5，m-1).

圖6

兩種方法都是立足于點(diǎn)的坐標(biāo)和三角形全等這一知識(shí)元而進(jìn)行圖形構(gòu)建，所不同的是，圖5是構(gòu)建全等后轉(zhuǎn)化為方程，而圖6中是回到圖形平移的性質(zhì)，緊扣平移規(guī)律，先進(jìn)再退，直觀可得.

二、活用平移旋轉(zhuǎn)求線段，明晰推理依據(jù)

例3如圖7，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四邊形ABCD的面積是24 cm2.求AC的長(zhǎng).

圖7

圖8

解析：如圖8，將△ADC以點(diǎn)A為中心按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°至△ABE處，則邊AD與邊AB剛好完全重合，∠EAB=∠CAD，∠EBA=∠CDA，AE=AC，所以∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠CAD+∠BAC=∠BAD=90°.因?yàn)椤螧AD+∠BCD=2×90°=180°，所以∠ABC+∠ADC=360°-180°=180°.于是∠ABC+∠ABE=180°.故E，B，C三點(diǎn)共線，可知△AEC為等腰直角三角形.過(guò)點(diǎn)A作邊EC上的高AF，則，所以. 于是，則.

此題主要考查四邊形中有關(guān)線段的計(jì)算.利用旋轉(zhuǎn)的知識(shí)將△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到△ABE的位置，從而得到△AEC是等腰直角三角形.利用等腰直角三角形的特殊性質(zhì)求出高AF和底邊EC之間的關(guān)系，再根據(jù)△AEC的面積求得AC的長(zhǎng).通過(guò)旋轉(zhuǎn)將任意四邊形轉(zhuǎn)化成學(xué)生熟悉的等腰直角三角形來(lái)解決問(wèn)題，化難為易，這也正是解決四邊形有關(guān)問(wèn)題的常用方法.

當(dāng)然，也可以在如圖9所示的圖形中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，然后證明Rt△ABE≌Rt△ADF，得四邊形AECF為正方形，通過(guò)面積割補(bǔ)得，從而求出.這種方法本質(zhì)上可以從圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)中找到計(jì)算推理的依據(jù).

圖9

三、靈動(dòng)平移旋轉(zhuǎn)求角度，優(yōu)化推理思路

例4如圖10，正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，∠PAD=∠PDA=15°，連接PB，PC，試問(wèn)△PBC是等邊三角形嗎？為什么？

圖10

圖11

解析：如圖11，將△APD繞點(diǎn)D逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到△DMC，再作△DMC關(guān)于DC對(duì)稱得△DNC，則△DNC≌△DMC≌△APD.因?yàn)镻D=ND，∠PDN=90°-15°-15°=60°，所以△PDN是等邊三角形.所以∠PND=60°.則∠PNC=150°.根據(jù)PN=DN=CN，可得∠PCD=30°.則∠PCB=60°.所以PC=BC=PB.則△PBC是等邊三角形.

此題關(guān)鍵是說(shuō)明∠PCD=∠PBA=30°，利用已知條件可以設(shè)想將△APD繞點(diǎn)D逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，而使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，此時(shí)問(wèn)題得到解決.解法中通過(guò)旋轉(zhuǎn)有機(jī)地將看上去不相關(guān)的線段和角聯(lián)系在一起，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到一系列的等腰三角形和等邊三角形，為后續(xù)部分解決問(wèn)題帶來(lái)方便.這一解答思路，實(shí)質(zhì)上是對(duì)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)這一知識(shí)點(diǎn)有深層的理解，并把圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作為推理論證的依據(jù)，從而優(yōu)化了推理論證思路.

例5如圖12，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊BC，CD上一點(diǎn)，且BE+DF=EF，求∠EAF的度數(shù).

圖12

圖13

解析：如圖13，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°到△ABM的位置，則AD與AB重合.因?yàn)椤鰽DF≌△ABM，∠ABM=∠ADF=90°=∠ABE，所以∠ABM+∠ABE=180°，則M，B，E三點(diǎn)共線.則有△AME≌△AFE，所以∠MAE=∠FAE=45°.

用旋轉(zhuǎn)的方法將△ADF和△ABE整合在一起，湊成一個(gè)新的三角形，將不相關(guān)的線段、角集中到一起，構(gòu)成△AME，再尋找與其全等的三角形，使問(wèn)題迎刃而解.此題除了上述旋轉(zhuǎn)方法外，也可以如圖14所示，將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到Rt△ADG的位置，也可以敘述為延長(zhǎng)CD至點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，同樣可以求解.無(wú)論哪種方法，其本質(zhì)都是利用旋轉(zhuǎn)三角形的性質(zhì)作為推理的依據(jù)來(lái)解決問(wèn)題.

圖14

四、妙用平移旋轉(zhuǎn)求面積，彰顯轉(zhuǎn)化策略

例6如圖15，將一塊含30°角的直角三角板ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°至△EBD的位置，其中∠BAC=30°，BC=6，則邊AC掃過(guò)的陰影面積為多少？

圖15

圖16

解析：如圖16，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)A到點(diǎn)E的路徑是以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑的一段弧，點(diǎn)C到點(diǎn)D的路徑是以點(diǎn)B為圓心，BC為半徑的一段弧，所以. 從而得.

仔細(xì)分析這道題，從旋轉(zhuǎn)角度入手，繼續(xù)將△ABC繞點(diǎn)B按同樣的方式旋轉(zhuǎn)，7次后，可以得到8個(gè)面積相等的掃過(guò)的圖形面積，最后的圖形正好回到學(xué)

生熟悉的圓環(huán)面積，所以AC掃過(guò)的面積為.這樣利用圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，并把圖形旋轉(zhuǎn)有意識(shí)地作為解答思路中的一種轉(zhuǎn)化策略，嘗試連續(xù)旋轉(zhuǎn)，就把不規(guī)則的幾何圖形轉(zhuǎn)化成了學(xué)生常見(jiàn)的而且非常熟悉的圖形，問(wèn)題解決就變得簡(jiǎn)單直觀.

五、嘗試圓與平移旋轉(zhuǎn)，發(fā)揮其工具性效用

例7如圖17，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙P的圓心坐標(biāo)是P(3，a)(a＞3)，半徑為3，函數(shù)y=x的圖象被⊙P截得的弦長(zhǎng)AB為，求a的值.FD=OD=PE.在Rt△FOD中，·(a-3)，在Rt△PEB中，，則有

圖17

圖18

解析：如圖18，將直線AB向上平移使其經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，交y軸于點(diǎn)F，設(shè)直線PF的解析式為y=x+b，因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，所以有a=3+b.變形得b=a-3.過(guò)點(diǎn)F，P分別作直線AB的垂線，垂足分別為點(diǎn)D，E，則有.解得.

上述解法利用平移的性質(zhì)，立足于平移知識(shí)，并將平移作為溝通圖形的工具，把與圓不相關(guān)的直線與圓進(jìn)行關(guān)聯(lián)，自然構(gòu)建垂徑定理得解.在解答中，將直線y=x向上平移，使其經(jīng)過(guò)圓心P，利用函數(shù)思想來(lái)解決問(wèn)題.將平移后的直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)用a表示出來(lái)，進(jìn)而得到線段FD的長(zhǎng).再利用勾股定理、垂徑定理等知識(shí)求出線段PE的長(zhǎng)，利用線段相等構(gòu)造方程，求出a的值.

此題也可過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，利用求線段的長(zhǎng)度來(lái)轉(zhuǎn)化進(jìn)而求點(diǎn)的坐標(biāo).比較兩種思維方式，平移直線AB，構(gòu)造關(guān)于a的方程，利用函數(shù)思想、數(shù)學(xué)建模的思想，求出a的值，解決問(wèn)題簡(jiǎn)潔明了.

六、寫(xiě)在最后

以平移和旋轉(zhuǎn)立意為背景的中考題常見(jiàn)而又有創(chuàng)意，這類題在考查學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的同時(shí)，注重學(xué)生的基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和動(dòng)手操作能力.借助試題講評(píng)與指導(dǎo)構(gòu)思解題教學(xué)時(shí)，我們應(yīng)當(dāng)從哪里用力？怎樣有意地向?qū)W生滲透平移旋轉(zhuǎn)的知識(shí)性、依據(jù)性和工具性？

偉大的數(shù)學(xué)家華羅庚先生告誡我們：復(fù)雜的問(wèn)題要善于退，足夠地退，退到最原始而不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竊.例1和例2回到平移和旋轉(zhuǎn)知識(shí)去求點(diǎn)的坐標(biāo)，正是基于教材習(xí)題的再生長(zhǎng)，復(fù)習(xí)平移和旋轉(zhuǎn)知識(shí)點(diǎn)的同時(shí)，自覺(jué)將其內(nèi)化成方法.用平移退回到原點(diǎn)求解，不失為一種適合學(xué)生的解題方法，比用“一線、三直角”構(gòu)造全等轉(zhuǎn)化的方法要清楚、快捷.

運(yùn)用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，并把圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作為推理的依據(jù)，正是基于平移和旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小等基本幾何變換性質(zhì)，進(jìn)行自覺(jué)分析與挖掘，在割補(bǔ)法經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，自然聯(lián)想，順利求出例3中的線段AC的長(zhǎng)；例4和例5是很典型的利用圖形旋轉(zhuǎn)法解題的例子，由于每名學(xué)生處理問(wèn)題的視角和習(xí)慣不同，選擇的旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)方向不同，可以得到不同的解題思路，但是都能順利求出角的度數(shù)，在此題基礎(chǔ)上，可以借助旋轉(zhuǎn)，進(jìn)行一系列生長(zhǎng)和變化.

一只站在樹(shù)上的鳥(niǎo)兒，從來(lái)不會(huì)害怕樹(shù)枝斷裂，因?yàn)樗嘈诺牟皇菢?shù)枝，而是自己的翅膀.正是因?yàn)閷?duì)圖形平移和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)理解比較透徹，把圖形旋轉(zhuǎn)提升到推理及轉(zhuǎn)化的工具性位置，并將其作為一種解題策略的轉(zhuǎn)化手段，才會(huì)在整體思想的理念下對(duì)例6依次旋轉(zhuǎn)8次，回歸到圓環(huán)面積，以較高的思維代價(jià)，取代繁雜的圖形分割和計(jì)算，深層次揭示出題目的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，借助圓的旋轉(zhuǎn)不變性，以及圖形完美性可以解決很多幾何問(wèn)題.解題時(shí)，如果將其與平移和旋轉(zhuǎn)相融合，可以像例7和例8那樣，快速、完美地獲得解題思路.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）對(duì)圖形變換教學(xué)作出了統(tǒng)一規(guī)定和要求，明確圖形變換具有知識(shí)性、依據(jù)性和工具性的特征，讓學(xué)生養(yǎng)成用變換的觀點(diǎn)思考圖形和圖形之間的關(guān)系，拓寬解決圖形問(wèn)題的思路.章建躍博士指出，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該前后一致，邏輯連貫，一以貫之，對(duì)一些基本的、可遷移的、可生長(zhǎng)的元知識(shí)、元方法狠下功夫.想要從日常教學(xué)資源中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)生長(zhǎng)的“種子”，關(guān)鍵是要對(duì)數(shù)學(xué)有深刻的理解.鑒于此，筆者認(rèn)為，平移與旋轉(zhuǎn)既是《標(biāo)準(zhǔn)》要求學(xué)生掌握的核心知識(shí)點(diǎn)，更重要的也是核心方法.

教學(xué)平移和旋轉(zhuǎn)內(nèi)容時(shí)，要教會(huì)學(xué)生理解教材、思前想后、關(guān)聯(lián)整合、串點(diǎn)成線，把平移和旋轉(zhuǎn)從知識(shí)點(diǎn)上升到一種解決問(wèn)題的方法，能夠?qū)⑵渥鳛樘幚韴D形性質(zhì)與位置常用的自覺(jué)思考意識(shí)，就會(huì)巧妙解答幾何計(jì)算題和證明題.基于從學(xué)生熟悉的知識(shí)點(diǎn)和圖形性質(zhì)出發(fā)，為學(xué)生解題思路的生長(zhǎng)，種下有生命力的“種子”.